經(jīng)典控制理論——第五章2

1、 對于任意的開環(huán)傳遞函數(shù)，可按典型環(huán)節(jié)分解，將組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)分為三部分：1. 2.一階環(huán)節(jié)，包括慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)以及對應的非最小相位環(huán)節(jié)，交接頻率為 。3.二階環(huán)節(jié)，包括振蕩環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)以及對應的非最小相位環(huán)節(jié)，交接頻率為 。 記 為最小交接頻率，稱 的頻率范圍為低頻段。 0 ;vvKKKss或1Tnminmin具體步驟：1.開環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)分解；2.確定一階環(huán)節(jié)、二階環(huán)節(jié)的交接頻率，將各交接頻率標注在半對數(shù)坐標軸的 軸上；3.繪制低頻段漸近線特性，在 頻段內(nèi)，開環(huán)系統(tǒng)幅頻漸近線特性的斜率取決于 ，因而直線斜率為 。4.在 頻段，系統(tǒng)幅頻漸近線表現(xiàn)為分段折線。每兩個相鄰交

2、接頻率之間為直線，在每個交接頻率點處，斜率發(fā)生變化，變化規(guī)律取決于該交接頻率對應的典型環(huán)節(jié)種類。minvK20/vdB decminlBode圖的繪制例 一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為求得頻率特性為1212( )(1)(1)KG sTTs TsT s，221212( )20lg( )20lg20lg20lg()120lg()1( )0( 90 )arctan()arctan()LAKTTTT 繪制步驟：l確定交接頻率 標在角頻率軸上。l在1處，量出幅值20lgK，其中K為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)。（上圖中的A點） l通過A點作一條-20vdB/十倍頻的直線，其中v為系統(tǒng)的無差階數(shù)（對于本例，v=1），直到第一個

3、交接頻率 (圖中B點）。如果 ，則低頻漸進線的延長線經(jīng)過A點。 12121211TT，在本例中,，111T11l以后每遇到一個交接頻率，就改變一次漸進線斜率。 每當遇到 環(huán)節(jié)的交接頻率時， 漸進線斜率增加-20dB/十倍頻； 每當遇到 環(huán)節(jié)的交接頻率時， 斜率增加+20dB/十倍頻； 每當遇到 環(huán)節(jié)的交接頻率時， 斜率增加-40dB/十倍頻。11jjT) 1(ijT2222)(nnnjj繪出用漸進線表示的對數(shù)幅頻特性以后，如果需要，可以進行修正。通常只需在交接頻率處以及交接頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。 對于一階項，在交接頻率處的修正值為3dB； 在交接頻率的二倍頻和1/2倍頻處的

4、修正值為1dB。 對于二階項，在交接頻率處的修正值可由公式求出。 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()通過0分貝線，即 時的頻率 稱為穿越頻率。穿越頻率 是開環(huán)對數(shù)相頻特性的一個很重要的參量。 1)(或0)(ccALcc繪制開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)相頻特性時，可分環(huán)節(jié)繪出各分量的對數(shù)相頻特性，然后將各分量的縱坐標相加，就可以得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性。 系統(tǒng)類型與開環(huán)對數(shù)頻率特性 不同類型的系統(tǒng)，低頻段的對數(shù)幅頻特性顯著不同 。l0型系統(tǒng)l1型系統(tǒng) l2型系統(tǒng) l0型系統(tǒng) 0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式 11(1)()(1)mkiinjjKj TG jj T對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示 這一特性的特點： 在低

5、頻段，斜率為0dB/十倍頻；低頻段的幅值為20lgKk，由之可以確定穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。l1型系統(tǒng) 1型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式 111(1)()(1)mkiinjjKj TG jjj T對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示 這一特性的特點： 在低頻段的漸進線斜率為-20dB/十倍頻； 低頻漸進線（或其延長線）與0分貝的交點為k=Kk，由之可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)kv= Kk ； 低頻漸進線（或其延長線）在=1時的幅值為20lgKkdB。l2型系統(tǒng) 2型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式 1221(1)()()(1)mkiinjjKj TG jjj T對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示 這一特性的

6、特點： 低頻漸進線的斜率為-40dB/十倍頻； 低頻漸進線（或其延長線）與0分貝的交點為 ，由之可以確定加速度誤差系數(shù) ka= Kk ； 低頻漸進線（或其延長線）在=1時的幅值為20lgKkdB。 kkK例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性。解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 系統(tǒng)由5個典型環(huán)節(jié)組成: 轉(zhuǎn)折頻率 ；且 時L()=20lgK=20dB 或 L()=0作對數(shù)幅頻特性漸近線。 過=1，L()=20dB或=10，L()=0dB作一條斜率為-20dB/dec直線作為低頻段直線； ) 12 . 0)(11 . 0() 101. 0(10)(sssssG)2 . 01)(1 . 01 ()01

7、. 01 (10)(jjjjjG100 ,10 , 5321110cK 過第一個轉(zhuǎn)折頻率 后，特性斜率按環(huán)節(jié)性質(zhì)變化，對數(shù)幅頻特性漸近線，如圖所示。 在各轉(zhuǎn)折頻率附近按誤差曲線加以修正，得對數(shù)幅頻特性的精確曲線，如圖虛線所示。51 對數(shù)頻率特性 本節(jié)介紹另一種重要且實用的方法乃奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)，是由H. Nyquist于1932年提出的 。 這一判據(jù)是利用開環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性（乃氏圖），來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的理論基礎是復變函數(shù)理論中的幅角定理，也稱映射定理。 5-4 頻率域的穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面

8、的原點及虛軸上無極點時，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可表示為：當從-+變化時的Nyquist曲線G(j)H(j)，逆時針包圍(-1，j0)點的次數(shù)N，等于系統(tǒng)G(s)H(s)位于右半s平面的極點數(shù)P，即N=P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則(NP)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)右極點數(shù)Z= P - N 。 由Nyquist曲線G(j)H(j) (從0+)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的Nyquist判據(jù)為G(j)H(j)曲線(：0+)逆時針包圍(-1，j0)的次數(shù)為 。 2P0001limlim1000 lim(1)( )( )(1) lim()()jjrrjrmmnsresrenjrsjsjsreK b sb sG s H

9、ssasa sKerG jH j開環(huán)有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)時：當?shù)綍r這說明增補段在00002radrad平面上的映射軌線由到沿半徑為無窮大的圓弧順時針轉(zhuǎn)過到時沿半徑為無窮大的圓弧順時針轉(zhuǎn)過極坐標圖例 已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點均在s平面的左半平面，開環(huán)頻率特性極坐標圖如下圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，從圖中看到由-+變化時，G(j) H(j)曲線不包圍(-1，j0)點，即N=0，Z=P-N=0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例 單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 作出=0+變化時G(j)曲線如下圖所示，鏡像對稱得：-0變化時

10、G(j)如圖中虛線所示。 系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，有一個位于s平面的右極點，即P=1。 1)(TsKsG22)(1)(11)(TTKjTKTjKjG極坐標圖 從G(j)曲線看出，當K1時，Nyquist曲線逆時針包圍(-1，j0)點一圈，即N=1，Z= P - N =0則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 當K1 ， 0。,xc 例。已知單位反饋系統(tǒng)設K分別為4和10，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性 31KG ss2233222131 333113 k=4 =-0.5 , h=2 1611.233,152.9 ,27.1k=10 =-1.25 , h=0.8 1.908,187.0 ,7.0 xxoocc

11、xooccKjKG jarctgG jG jG jG j 時，時，可分別作出K=4和K=10的開環(huán)幅相曲線。有奈氏判據(jù)知：K=4時，系統(tǒng)穩(wěn)定，K=10時，系統(tǒng)不穩(wěn)定， 。1,0;h1,0h2 G(s)H(s)(2)nns s例設二階系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)試求取相角裕度 和阻尼比 的關(guān)系式。24242412 241 arctgnc解：解：解： 2()()(2)nnG jHjjj 2222()()4nnG jHj ()()902nG jHjarctg ()()1ccG jHj，即 222214nccn 解 得 22224(4)ccnn 422244cncn 2222444(2)4cnnn 222

12、24214cnn 22422142cnn 42142cn ()()902cccnGjHjarctg 22142902arctg 180()()ccGjHj 22419022arctg )2241(22arctgctgtg )2241(122arctgtg 222412 222412arctg l開環(huán)對數(shù)頻率特性的基本性質(zhì)l系統(tǒng)暫態(tài)特性和開環(huán)頻率特性的關(guān)系l開環(huán)對數(shù)頻率特性的基本性質(zhì)波德定理(適用于最小相位系統(tǒng)）l波德第一定理指出，對數(shù)幅頻特性漸進線的斜率與相角位移有對應關(guān)系。例如對數(shù)幅頻特性斜率為-20NdB/十倍頻，對應于相角位移 。在某一頻率 時的相角位移，當然是由整個頻率范圍內(nèi)的對數(shù)幅頻

13、特性斜率來確定的，但是，在這一頻率 時的對數(shù)幅頻特性斜率，對確定 時的相角位移，起的作用最大。離這一頻率 越遠的幅頻特性斜率，起的作用越小。 )90(Nkkkkl波德第二定理指出，對于一個線性最小相位系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性之間的關(guān)系是唯一的。當給定了某一頻率范圍的對數(shù)幅頻特性時，在這一頻率范圍的相頻特性也就確定了。反過來說，給定了某一頻率范圍的相角位移，那么，這一頻率范圍的對數(shù)幅頻特性也就確定了?？梢苑謩e給定某一個頻率范圍的對數(shù)幅頻特性和其余頻率范圍的相頻特性，這時，這一頻率范圍的相角位移和其余頻率范圍的對數(shù)幅頻特性也就確定了。 開環(huán)對數(shù)幅頻特性的斜率和相頻特性的關(guān)系低頻段和高頻段特性斜率對

14、穩(wěn)定裕量的影響l低頻段特性虛線幅頻特性：實線的頻率特性： 20log 2KL相位裕量為。11211111, 180arctan180arctanarctancooccccccKjTG jjT 這時截止頻率時的相位因此，在低頻段有更大斜率的線段時，穩(wěn)定裕量減小，減小的程度和的值有關(guān)。l高頻段特性實線相當于虛線串聯(lián)了一個慣性環(huán)節(jié)，頻率特性 1222211arctanarctan22arctan240/cccccKG jjjTTdB 在高頻段有斜率為十倍頻的線段時，也使相位穩(wěn)定裕度減小。l放大系數(shù)的變化對相位裕量的影響之一l放大系數(shù)的變化對相位裕量的影響之二l放大系數(shù)的變化對相位裕量的影響之三 結(jié)

15、論l穿過 的幅頻特性斜率以-20dB/十倍頻為宜，一般最大不超過-30dB/十倍頻。 l低頻段和高頻段可以有更大的斜率。低頻段有斜率更大的線段可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標；高頻段有斜率更大的線段可以更好地排除高頻干擾。 l中頻段的截止頻率 的選擇，決定于系統(tǒng)暫態(tài)響應速度的要求。 l中頻段的長度對相位裕量有很大影響，中頻段越長，相位裕量越大。 ccl系統(tǒng)暫態(tài)特性和開環(huán)頻率特性的關(guān)系相位裕量 和超調(diào)量 之間的關(guān)系 以二階系統(tǒng)為例二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標準型式為 )(c%222( )2nBnnGsss二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 2( )1(2)2(1)2nnnnG ss sss()12 ()(1)2nnG

16、jjj開環(huán)頻率特性為 相位裕量 和超調(diào)量 之間的關(guān)系為 )(c%1422arctan)(42c()100c %100%21e 與 的關(guān)系圖如下 )(c%相位裕量 和調(diào)節(jié)時間 之間的關(guān)系 )(cst42243.5 1423.5241scnnsctt7tan ()scct 與 的關(guān)系圖如下 )(cst 由二階系統(tǒng)可以看出，調(diào)節(jié)時間 與相位裕度 有關(guān)。如果兩個系統(tǒng)，其 相同，那么它們的超調(diào)量大致是相同的，但是它們的暫態(tài)時間與 成反比。截止頻率 越大的系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時間 越短。所以在對數(shù)頻率特性中 是一個重要的參數(shù)，它不僅影響系統(tǒng)的相位裕度，也影響系統(tǒng)的暫態(tài)時間。)(cstst)(cccc主要內(nèi)容 由開環(huán)

17、頻率特性求取閉環(huán)頻率特性 等M圓（等幅值軌跡） 等N圓（等相角軌跡） 利用等M圓和等N圓求單位反饋系統(tǒng) 的閉環(huán)頻率特性 非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性)(1)()()()(sGsGsRsCsM單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 )(1)()()()(jGjGjRjCjM定義 設開環(huán)頻率特性 G(j)為 G(j) = p() + j()= x + j y 令 則整理得： (1-M2)x2+(1-M2)y2 -2M2x =M2 222211(1)G jxjyMM jG jxjyMxyxy 2222)1( yMMx22)1(MM)0 ,1(22jMM12MM等M圓

18、定義：閉環(huán)頻率特性的相角m為：令整理得：11()()1mG jxjyM jG jxjyyyC jarctgarctgR jxx mtgN222121Nyx22141N 當給定N值(等N值)時，上式為圓的方程， 圓心在 處，半徑為 , 稱為等N圓，見下圖。 )21 ,21(N2)21(41N等N圓1.等N圓實際上是等相角正切的圓，當相角增加180時，其正切相同，因而在同一個圓上；2.所有等N圓均通過原點和（-1,j0）點；3.對于等N圓，并不是一個完整的圓，而只是一段圓弧。意義：有了等M圓和等N圓圖，就可由開環(huán)頻率特性求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性和相頻特性。具體方法：將開環(huán)頻率特性的極坐標圖G(

19、j)疊加在等 M圓線上，如圖 (a)所示。G(j)曲線與等M圓相交于1，2，3.（a）等M圓（b）等N圓在=1 處，G(j)曲線與M=1.1的等M圓相交表明在1頻率下，閉環(huán)系統(tǒng)的幅值為M(1)=1.1依此類推。從圖上還可看出，M=2的等M圓正好與G(j)曲線相切，切點處的M值最大，即為閉環(huán)系統(tǒng)的諧振峰值Mr，而切點處的頻率即為諧振頻率r 。此外，G(j)曲線與M=0.707的等M圓交點處的頻率為閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬頻率b ，0b 稱為閉環(huán)系統(tǒng)的頻帶寬度。 同樣，將開環(huán)頻率特性的極坐標圖G(j)疊加在等N圓線上，如圖 (b)所示。G(j)曲線與等N圓相交于1，2，3. 如=1處，G (j)曲線與-10

20、的等N圓 相交，表明在這個頻率處，閉環(huán)系統(tǒng)的相角 為-10，依此類推得閉環(huán)相頻特性。 思路：上面介紹的等M圓和等N圓求取閉環(huán)頻率特性的方法，適用于單位反饋系統(tǒng)。對于一般的反饋系統(tǒng)，如下圖 (a)所示，則可等效成如下圖 (b)所示的結(jié)構(gòu)圖，其中單位反饋部分的閉環(huán)頻率特性 可按上述方法求取，再與頻率特性1/H(j)相乘，便可得到總的閉環(huán)頻率特性非單位反饋控制系統(tǒng) 由于繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性比繪制開環(huán)幅相頻率特性簡單的多；另外，改變開環(huán)放大倍數(shù)時，幅相頻率特性的形狀發(fā)生變化，必須重新繪制。而對數(shù)幅頻特性只是上下移動，更方便。 將等M圓和等N圓繪于對數(shù)幅相坐標中，可以提供這一方便條件。在對數(shù)幅相平面上，

21、由等M圓和等N圓軌跡構(gòu)成的曲線簇稱為尼科爾斯圖線。 見下圖。圖中橫坐標為開環(huán)系統(tǒng)的相角，以普通比例尺標度；縱坐標為開環(huán)系統(tǒng)的幅值，以對數(shù)比例尺標度。尼氏圖線閉環(huán)頻域性能指標諧振峰值Mr、諧振頻率r、帶寬頻率bl諧振峰值Mr諧振峰值Mr是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性的最大值。通常，Mr越大，系統(tǒng)單位過渡過程的超調(diào)量%也越大。 l諧振頻率r諧振頻率r是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性出現(xiàn)諧振峰值時的頻率。 l帶寬頻率b閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性幅值，由其初始值M(0)減小到0.707M(0)時的頻率（或由 分貝的增益減低3分貝時的頻率），稱為帶寬頻率b 。頻帶越寬，上升時間越短，但對于高頻干擾的過濾能力越差。 20log0Ml閉環(huán)系統(tǒng)

22、頻率特性與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系 1sin ()rcM l例 圖中， 在=35時與M=1.4dB的軌跡相切，所以閉環(huán)系統(tǒng)的諧振峰值為Mr=1.4dB（1.18），諧振頻率為 =35，而在=50時與M=-3dB的軌跡相交，故頻帶寬 =50。 ( )Gpb 對于二階系統(tǒng)，其頻域性能指標和時域性能指標之間有著嚴格的數(shù)學關(guān)系l諧振峰值Mr 和超調(diào)量%之間的關(guān)系21 2rn2121rM707. 0%,100%21etp與 r 之積為 由此可看出，當 為常數(shù)時，諧振頻率 r與峰值時間 tp成反比，r值愈大， tp愈小，表示系統(tǒng)時間響應愈快22121prtl和調(diào)節(jié)時間ts的關(guān)系42423.5,0.971422142snc scntttgarctgl帶寬頻頻率