拋物線及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)大全與經(jīng)典例題及解析

1、拋物線及其性質(zhì)【考綱說(shuō)明】1、掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決與拋物線有關(guān)問(wèn)題。2、通過(guò)類比，找出拋物線與橢圓，雙曲線的性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系?！局R(shí)梳理】1.拋物線定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線.2.拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì):圖形支參數(shù)p幾何意義參數(shù):p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊.開口方向右左上下標(biāo)準(zhǔn)方程2c,-、y=2px(p>0)2-，一、y=-2px(p>0)2c,-、x=2py(p>0)2c,八、x=-2py(p>0)焦點(diǎn)位置X正X負(fù)丫正Y負(fù)焦點(diǎn)坐標(biāo)(50)2(-旦0)2(°，m2(0,-2)

2、2準(zhǔn)線方程Px=-2px=2pyFpy=I范圍x>0,yRxW0,ywRy>0,x=Ry<0,x=R對(duì)稱軸X軸X軸Y軸Y軸頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)離心率e=1通徑2p葉徑A(xi,yi)AF=x1+衛(wèi)2AF=-x1+R2AF=y1+衛(wèi)2AF=y+衛(wèi)2焦點(diǎn)弦長(zhǎng)ab|(x1+x2)+p一(x+x?)+p(y1+y2)+p一(必+y?)+p焦點(diǎn)弦長(zhǎng)ab|以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切的補(bǔ)充Ay)B(x2,y2)若AB的傾斜角為a,陰=.2p若AB的傾斜角為ot,則AB=2psinacos2a2p2x1x2y1y2-P411AF+BFAB2AFBF-AF,BF-AF,BF-p3 .拋物線y

3、2=2px(p>0)的幾何性質(zhì)：(1)范圍因?yàn)閜>0,由方程可知x>0,所以拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸.(2)對(duì)稱性：對(duì)稱軸要看一次項(xiàng)，符號(hào)決定開口方向.頂點(diǎn)(0,0),離心率：e=1,焦點(diǎn)F(-,0),準(zhǔn)線x=-,焦準(zhǔn)距p.22(4)焦點(diǎn)弦：拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB,A(xi,yi),BM*),則|AB|=x+x2+p.弦長(zhǎng)|AB|=xi+x2+p,當(dāng)xi=x2時(shí)，通徑最短為2p。4 .焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)：焦點(diǎn)弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),焦點(diǎn)F(-,0)22_222-中。2p(2)

4、(4)右AB是拋物線y=2pXp>0)的焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)，且A(K,yi),B(x2,y2),則：咯=一,4若AB是拋物線y2=2pXp>0)的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為“，則ab|=2P(”才0)。sin2:c11AFBFAB2已知直線AB是過(guò)拋物線y2=2px(pA0)焦點(diǎn)F,'+'=£尤=AB=上AFBFAF*BFAFBFp焦點(diǎn)弦中通徑最短長(zhǎng)為2p。通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在的軸的焦點(diǎn)弦叫做通徑.(5)兩個(gè)相切：(1以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。5 .弦長(zhǎng)公式：A(x

5、1,yJ,B(x2,y2)是拋物線上兩點(diǎn)，則AB=J(x1一x2)2+(y一丫2)2=V1+k2|x1-x2|=、1+J|必-y2|【經(jīng)典例題】(1)拋物線一一二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的所有點(diǎn)的集合.其離心率e=1,這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個(gè)美好的1,既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.【例1】P為拋物線y2=2px上任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則以A.相交B.相切C.相離【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F'-,0i,準(zhǔn)線是2l:x=R.作PHLl于H,交y軸于Q,那么PF=PH2P且Q

6、H=OF.作MNLy軸于N則M渴梯形PQOF勺21,11中位線，MN=OF+PQ=-PH=-PF.故以222PF為直徑的圓與y軸相切，選B.【評(píng)注】相似的問(wèn)題對(duì)于橢圓和雙曲線來(lái)說(shuō)，其結(jié)論則分別是相離或相交的.PF為直徑的圓與丫軸（）D.位置由P確定（2）焦點(diǎn)弦一一?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦對(duì)破解這些試題是大有幫助的有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并掌握這個(gè)焦點(diǎn)弦的性質(zhì),A（x,v加*）兩點(diǎn),求證:(1)AB=x+x2+p11(2)十AFBF【證明】（1）如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,作AA-LlA1,BB1_Ll于B1,則AF=AA1|=x1+-p-BF=BBiAB(2)AF=x2十艮.兩式相加

7、即得:2當(dāng)AB±x軸時(shí)，有=BF二p,V-1AFBF=2成立;p當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為:衛(wèi)1.代入拋物線方程:2k2x-p2=2px.化簡(jiǎn)得:k2x-pk222xk2014方程（1）之二根為Xi,x2,x1X24【例2】過(guò)拋物線y2=2px（pA0）的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于11aF-bf11十AABB1x2Xx2P2PPX1X2-)X2x1x2PX|x2p222=-二Pj£x1x2?-x1x2PP故不論弦AB與x軸是否垂直，恒有+AFlBF(3)切線一一拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的許多試題，又與它的切線有關(guān).理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的

8、基本功【例3】證明：過(guò)拋物線y2=2px上一點(diǎn)M(x。，y。)的切線方程是：y0y=P(x+x。)，.p.、，k=yxh=.由點(diǎn)斜式萬(wàn)程:y?！咀C明】對(duì)方程y2=2px兩邊取導(dǎo)數(shù)：2y,yhZP；y'=2切線的斜率yp2y-y。=一x-x。=y0y=px-px。y。1y。；*y；=2px。，代入(1即得：yoy=p(x+x。)(4)定點(diǎn)與定值一一拋物線埋在深處的寶藏拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)，卻容易為人疏忽的定點(diǎn)和定值.掌握它們，在解題中常會(huì)有意想不到的收獲.例如：1.一動(dòng)圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動(dòng)圓恒與直線x+2=。相切，則此動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)()A4,。B.2,。C.0,2D.。

9、,-2顯然.本題是例1的翻版，該圓必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，選B.22 .拋物線y=2px的通徑長(zhǎng)為2p；3 .設(shè)拋物線y2=2px過(guò)焦點(diǎn)的弦兩端分別為A(x1，y1),B(x2,y2),那么：%丫2=-p2以下再舉一例【例4】設(shè)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)弦AB在其準(zhǔn)線上的射影是A1B1,證明：以AB1為直徑的圓必過(guò)一定點(diǎn)【分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線的通徑，那么A1Bi=AB=2r而AB與AB的距離為p,可知該圓必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).由此我們猜想：一切這樣的圓都過(guò)拋物線的焦點(diǎn).以下我們對(duì)AB的一般情形給于證明.【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為A(,y1),B(x2,y2),那么：y1y2=-p=|CA1cB

10、i=|刈丫2=p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交x軸于C,那么CF|=p.2.AAFBCF=|CACB1.故NAFB1=90*.這就說(shuō)明：以AiBi為直徑的圓必過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)通法特法妙法（1）解析法一一為對(duì)稱問(wèn)題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問(wèn)題（如對(duì)稱問(wèn)題等）【例5】（10.四川文科卷.10題）已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B,則|AB|等于（）A.3B.4C.3.2D.4.2【分析】直線AB必與直線x+y=0垂直，且線段AB的中點(diǎn)必在直線x+y=0上，因得解法如下.【解析】,一點(diǎn)A、B關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，設(shè)直線A

11、B的方程為：y=x+m.x2xm-3=0y=xm2y=-x3設(shè)方程(1)之兩根為x1,x2,則x1+x2=-1.xxc1111設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x°,y°),則x0=.代入x+y=0:y0=.故有M,22222從而m=y-x=1.直線AB的方程為：y=x+1方程（1）成為：x2+x-2=0.解得:x=-2,1,從而y=1,2,故得：A(-2,-1),B(1,2).,AB=3。2,選C.（2）幾何法一一為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長(zhǎng)足的發(fā)展，但伴之而來(lái)的卻是難以避免的繁雜計(jì)算，這又使得許多考生對(duì)解析幾何習(xí)l,經(jīng)過(guò)F且斜率為J3的直線與拋物線在x軸題望而生畏.針對(duì)這種

12、現(xiàn)狀，人們研究出多種使計(jì)算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有成效的就是幾何法.【例6】（11.全國(guó)1卷.11題）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為上方的部分相交于點(diǎn)A,AK±l,垂足為K,則4AKF的面積（A.4B,3赤C.473【解析】如圖直線AF的斜率為時(shí)/AFX=60°.AFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線l交x軸于M,則FM=p=2,且/KFM=60,KF=4,S傍kf=*4?=4。3.選C.4【評(píng)注】(1)平面幾何知識(shí)：邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積用公式5人=巫22計(jì)算.4(2)本題如果用解析法，需先列方程組求點(diǎn)A的坐標(biāo)，再計(jì)算正三角形的邊長(zhǎng)和面積.雖不是很難，但決沒(méi)有如上的幾彳S

13、法簡(jiǎn)單.(3)定義法一一追本求真的簡(jiǎn)單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來(lái)很難.但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡(jiǎn)單【例7】(07.湖北卷.7題)雙曲線22一XVCi：-r與=1(a>0,b>0)的左準(zhǔn)線為l,左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為Fi和F2；拋物線C2的線為l,焦點(diǎn)為abF2；Ci與G的一個(gè)交點(diǎn)為M,則IF1F2_MFiMF1-MF2A.-1B.1C.-D.122【分析】這道題如果用解析法去做，計(jì)算會(huì)特別繁雜，而平面幾何知識(shí)又一時(shí)用不上，那么就從最原始的定義方面去尋找出路吧.如圖，我們先做必要的準(zhǔn)備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c,離心率為ejMH_Ll于H,令MFj=q,MF2|=r

14、2:,點(diǎn)M在拋物線上，|mfJImfJq二MH=MF2=r2,故=e,|MHI|MF2|r2這就是說(shuō)：|所|的實(shí)質(zhì)是離心率e.IMF2I其次，|F1F2|與離心率e有什么關(guān)系？注意到:|MF1|正上二/二二e1二二e-1.MF111Ie這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于FEIIMFJIMFJIMF2I=e-1e=-1.，選A.(4)三角法本身也是一種解析三角學(xué)蘊(yùn)藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關(guān)系實(shí)施“九九歸一”一一達(dá)到解題目的因此，在解析幾何解題中，恰當(dāng)?shù)匾肴琴Y源，常可以擺脫困境，簡(jiǎn)化計(jì)算【例8】(09.重

15、慶文科.21題)如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)。(I)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；(n)若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P,證明|FP|-|FP|cos2a為定值,并求此定值?！窘馕觥?I)焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線l；x=2.(n)直線AB：y=tanct(x2)(1)2y、一一一2一一一x代入(1)，整理得：ytana-8y-16tana=08設(shè)方程(2)之二根為y1,y2,則4y1+y2-tana.、y的=-16y_y1y2設(shè)AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則y024cot二2x0=cot-y02=4cot一：322.AB的垂直平分線方程是：y

16、-4cota=-cota(x-4cota2).令y=0,貝Ux=4cot2+6,有P(4cot2+6,0)一.,2/，2，一.2故FP=OP-OF=4cota+6-2=4(cota+1)=4cosa于是|FP|-|FP|cos2a=4csc2a(1-cos2a)=4csc2a2sin2a=8,故為定值(5)消去法一一合理減負(fù)的常用方法.避免解析幾何中的繁雜運(yùn)算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設(shè)而不求，它類似兵法上所說(shuō)的“不戰(zhàn)而屈人之兵”.【例9】是否存在同時(shí)滿足下列兩條件的直線l：(1)l與拋物線y2=8x有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B;(2)線段AB被直線L：x+5y-5=

17、0垂直平分.若不存在，說(shuō)明理由，若存在，求出直線l的方程.【解析】假定在拋物線y2=8x上存在這樣的兩點(diǎn)A(Xi,%),B(x2,y2)則有:yi-y2x-x2V1V2y；=8%y=8x2=(y1+y21yLy2)="x1-x2)=;線段AB被直線l1:x+5y-5=0垂直平分，且kii一8,-kAB-5,即5yV28-y1y2=一5設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0則y0=Y4,=.代入x+5y-5=0得x=1.于是:5AB中點(diǎn)為M,1,4:故存在符合題設(shè)條件的直線，其方程為:I5J4y=5(x1)即：25x-5y21=05(6)探索法一一奔向數(shù)學(xué)方法的高深層次有一些解析幾何習(xí)題，初看起來(lái)好似“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”想一一證明一一再彳!想一一再證明.終于發(fā)現(xiàn)“無(wú)限風(fēng)光在險(xiǎn)峰”.這時(shí)就得冷靜分析，探索規(guī)律，不斷地猜【例10(10.安徽卷.14題)如圖，拋物線y=-x2+i與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,將線段OA的n等分點(diǎn)從左至右依次