排列組合概率隨變量及其分布列

1、排列組合概率隨變量及其分布列作者:日期:排列組合、概率、隨機變量及其分布列Q1-抓f主命題方向慝猾定位除耳(2012 江蘇，22)設 E 為隨機變量，從棱長為 1 的正方體的 12 條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，E=0;當兩條棱平行時，E 的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，E=1.(1)求概率 P(土 0);(2)求 E 的分布列，并求其數學期望 E(譏審題視點點 P 的坐標滿足的條件 a-b=3,可知 1Wb=a3Wn3,從而確定點 P的個數.(2)由題意知 ab 是 3 的倍數，記 a-b=3k,由 1wb=a3kwn3k,再對 n 分類討論.解(1)點 P 的坐標滿足條件 1Wb

2、=a3Wn3,所以 An=n3.(2)設 k 為正整數，記 fn(k)為滿足條件以及 ab=3k 的點 P 的個數，只要討論 fn(k)1 的情形.由 1wb=a3kwn3k 知 fn(k)=n3k,且 kwn,設 n1=3m+r,其中 mCN*,r3c、帛一cJTJT3mm+1m2n3m3C011,2,則kwm,所以Bn=g1fn(k)=g1(n3k)=mn?=2，n1r,_將 m=n1代入上式，化簡得3【應對策略】(1)準確分類與分步是解決排列組合問題的基礎，選準方法是關鍵，備考中要強化常用方法的訓練，反復理解體會解題中的數學思想與方法，但不要做太復雜的題目.(2)離散型隨機變量的概率分布

3、與數學期望是建立在傳統(tǒng)的概率問題的基礎之上的內容,常以實際應用題的形式出現，與數學建模能力的考查結合在一起，考查學生的數學應用意識以及運用數學知識分析和解決實際問題的能力.解決這一類問題，一定要注意認真審題，不僅要能在弄清題意的基礎上，迅速地尋找出正確的解題思路，還要能夠規(guī)范的表述解題的過程.這些，需要在復習中引起足夠的重視，注意做好針對性的訓練，力求做到求解這一類問題時能夠得心應手、準確無誤.n1n26rr1所以 Bn=n1n26.櫛BieBie l2MlSHIFANig!FAl2MlSHIFANig!FA.一Q2必備知識方法必必記學相長必備知識1 .兩種計數原理分類計數原理和分步計數原理.

4、2 .排列,mn!(1)排列的定義；(2)排列數公式：An=n(n1)(n2)(nm+1)=(mWn,m,n、nm!、N*).3 .組合(1)組合的定義；(2)組合數公式：Cm=nnT2n-m+1=一立一(mwn,m,nCN*).m!m!nm!組合數T的質：cm=cm；cm+cfT1=cm+1.4 .概率、隨機變量及其分布(1)離散型隨機變量及其概率分布的表示：離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量叫做離散型隨機變量；離散型隨機變量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；性質：1pi0(i=1,2,3,，n);2p+3+p3+pn=1;(2)特殊的概率分布列：01 分布(兩點分布)符

5、號表示：X01 分布；超幾何分布：10 符號表示：XH(n,M,N);2 概率分布列：XH(r；n,M,N)=P(X=r)=2 曾；二項分布(又叫獨立重復試驗，波努利試驗)：10 符號表示：XB(n,p);2概率分布列：P(X=k)=onpk(1-p)nk.注意：P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=r)+P(X=n)=1.必備方法5 .解排列、組合問題時注意以下幾點：(1)審題分析是排列問題，還是組合問題，按照元素的性質分類，按照事件發(fā)生的過程分步；(2)分清運算的性質，只要是分類計數，就是加法運算，只要是分步計數，就是乘法運算，在綜合問題中，常常在分類中有分步，在分步中有分類；

6、(3)要掌握定位排列的處理方法，掌握分類組合處理的思想方法；(4)排列、組合問題的答案較大時，不易直接驗證，因此在檢查結果是否正確時，應該著重檢查所設計的解決問題的方案是否完備，有無重復或遺漏，也可以通過一題多解驗證結論.6 .概率、隨機變量及其分布(1)求隨機變量的概率分布的基礎是求隨機變量取各個可能值的概率，其中要注意隨機變量取各個可能值的概率滿足的性質.對于常用的兩點分布、超幾何分布、二項分布要熟練掌握.n(2)隨機變量的均值(期望)：E(X)=.1xipi；03，熱點命題角度折：二點歌破命題角度一與計數原理有關的問題【例 1】？(2011 江蘇，23)設整數 n4,P(a,b)是平面直

7、角坐標系 xOy 中的點，其中 a,bC1,2,3,，n,ab.(1)記 An為滿足 a-b=3 的點 P 的個數，求 An；、一一11(2)記 Bn為滿足(ab)是整數的點 P 的個數，求 Bn.審題視點(1)點 P 的坐標滿足的條件 a-b=3,可知 1Wb=a3Wn3,從而確定點 P的個數.(2)由題意知 ab 是 3 的倍數，記 a-b=3k,由 1wb=a3kwn3k,再對 n 分類討論.解(1)點 P 的坐標滿足條件 1Wb=a3Wn3,所以 An=n3.(2)設 k 為正整數，記 fn(k)為滿足條件以及 ab=3k 的點 P 的個數，只要討論 fn(k)1 的情形.由 1wb=

8、a3kwn3k 知 fn(k)=n-3k,且 kwn;,設 n1=3m+r,其中 mCN*,r3一一一.一.一，_mm3mm+1e0,1,2,則kwm,所以 Bn=g1fn(k)=g(n3k)=mn2nn3,n 是整數，63所以 Bn=n1n2n,不不是整數.63方法錦此計數原理問題中要計算點的個數，因此要根據條件對正整數的取值進行分類，弄清可能的取值類別，再根據加法原理進行計算.【突破訓練 1】 (2012 江蘇， 23)設集合 Pn=1,2,， n,nCN*.記 f(n)為同時滿足下列條件的集合 A 的個數：A?Pn；若 xCA,則 2x?A;若 xC?PnA,則 2x?PnA.求 f(4

9、)；(2)求 f(n)的解析式(用 n 表示).m2n3m32將m=n1-r代入上式，化簡得3n1n26rr1解當 n=4 時，符合條件的集合 A 為：2,1,4,2,3,1,3,4,故 f(4)=4.(2)任取偶數 xCPn,將 x 除以 2,若商仍為偶數，再除以 2,，經過 k 次以后，商必為奇數，此時記商為 m,于是 x=m 2k,其中 m 為奇數，kCN*.由條件知，若 mCA,則 xCA?k 為偶數；若 m?A,則 xCA?k 為奇數.于是 x 是否屬于 A 由 m 是否屬于 A 確定.設 Qn是 Pn中所有奇數的集合，因此 f(n)等于Qn的子集個數.當 n 為偶數(或奇數)時，P

10、n中奇數的個數是 2 或匕 2，命題角度二概率、相互獨立事件和獨立重復實驗命題要點(1)等可能事件的概率(2)互斥事件、對立事件、相互獨立事件的概率【例 2】？(2012 南通模擬)某品牌設計了編號依次為 1,2,3,，n(n4,且 nCN*)的 n 種不同款式的時裝，由甲、乙兩位模特分別獨立地從中隨機選擇 i,j(0i,jn,且 i,jCN)種款式用來拍攝廣告.(1)若 i=j=2,且甲在 1 至 ijm(m 為給定的正整數，且 2mn2)號中選擇，乙在(m+1)到 n 號中選擇.記Pst(1WsWm,m+1wtwn)為款式(編號)s 和 t 同時被選中的概率，求所有的 Pst的和；(2)求

11、至少有一個款式為甲和乙共同認可的概率.審題視點首先求出兩款的所有等可能基本事件的種數，再確定款式 s 和 t(1Wswm,m+1t4+2x1=1，444. LJEJUAhLAO&HIDINGNINLJEJUAhLAO&HIDINGNIN一W.閱卷老師叮嚀注重之節(jié)：力爭潴分4.概率問題中必須突破的兩個關鍵點一、 分拆事件時一定要做到“不重不漏”.【例 1】？在一次數學考試中，第 21 題和第 22 題為選做題，規(guī)定每位考生必須且只須在 1其中選做一題,設 4 名考生選做這兩題的可能性均為 2,求其中甲、乙二名學生選做同一道題的概率.解設事件 A 表示“甲選做第 21 題”，事件

12、B 表示“乙選做第 21 題”，則甲、乙 2 名學生選做同一道題的事件為“AB 十五百”，且事件 A,B 相互獨立，11111.P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=巧 1+1 一 2X1=；老師叮嚀：甲、乙二名學生選做同一道題是指同時選第 21 題或 22 題，因此設事件 A 表示“甲選做第 21 題”，事件 B 表示“乙選做第 21 題”，則甲、乙 2 名學生選做同一道題的事件為“AB+AB,二、搞清隨機變量每個取值對應的隨機事件并準確計算【例 2】?某校要舉行一次演講比賽，比賽分為初賽、復賽、決賽三個階段進行，已知某選手通過初賽、復賽、決賽的概率分別是 2,1,1,且各階

13、段通過與否相互獨立.設該選手在334比賽中比賽的次數為 E,求 E 的分布列和數學期望.解(1)記“該選手通過初賽”為事件 A,“該選手通過復賽”為事件 B,“該選手通過決賽”為事件 C,則 P(A)=2,P(B)=1,P(C)=!334E 可能取值為 1,2,3.21P(E=1)=P(A)=1-=-,33P(E=2)=P(AB)=P(A)P(B)=2X1-o=4,3392、/12P(E=3)=P(AB)=P(A)P(B)=3x3=9.E 的分布列為：1239 的數學期望 EG)=1X-+2X4+3X2=3999老師叮嚀：搞清隨機變量每個取值對應的隨機事件和每個隨機事

14、件包含的各種情況，對概率類型的準確判定與轉化是解題的基礎和關鍵，準確計算是解題的根本，因此在備考中要多下功夫，養(yǎng)成思維嚴密、轉換靈活、計算無誤的好習慣5.訓練1. 一個房間有 4 扇同樣的窗子，其中只有一扇窗子是打開的.有一只燕子自開著的窗子飛入這個房間，它只能從開著的窗子飛出去，燕子在房子里一次又一次地向著窗戶飛去，試圖飛出房間.燕子飛向各扇窗子是等可能的.(1)假定燕子是沒有記憶的，求它恰好在第 2 次試飛時出了房間的概率；(2)假定這只燕子是有記憶的， 它飛向任一窗子的嘗試不多于一次， 若這只燕子恰好在第刀次試飛時飛出了房間，求試飛次數刀的分布列及其數學期望.2. (2012 徐州質檢)

15、一投擲飛碟的游戲中，飛碟投入紅袋記 2 分，投入藍袋記 1 分，未投入袋記 0 分.經過多次試驗，某人投擲 100 個飛碟有 50 個入紅袋，25 個入藍袋，其余不能入袋.(1)求該人在 4 次投擲中恰有三次投入紅袋的概率；(2)求該人兩次投擲后得分 E 的數學期望 EE.3. 某居民小區(qū)有兩個相互才立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A 和 B,系統(tǒng) A 和 B 在任意時刻發(fā).一、.i.1 一生故障的概率分力1J 為 77 和 P.10(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為 49,求P的值；(2)設系統(tǒng) A 在 3 次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數為隨機變量巳求 E 的概率分布列及數學

16、期望 EE.4(2012 無錫五校聯考)無錫學校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有 2 人，會跳舞的有 5人，現從中選 2 人.設 E 為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數，且_7P(0)=10.(1)求文娛隊的隊員人數；10(2)寫出七的概率分布列并計算 E(譏5 .學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有 3 個白球，2 個黑球，乙箱子里裝有 1 個白球，2 個黑球，這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出 2 個球，若摸出的白球不少于 2 個，則獲獎(每次游戲結束后將球放回原箱)(1)求在一次游戲中摸出 3 個白球的概率；獲獎的概率.(2)求在兩次游戲

17、中獲獎次數 X 的分布列及數學期望 E(X).6 .(2012 南師附中信息卷)為拉動經濟增長，某市決定新建一批基礎設施工程、民生工程和產業(yè)建設工程三類，這三類工程所含項目個數分別占總數的1,1,現在 3 名工人獨立地236從中任意一個項目參與建設.(1)求他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率.(2)記 X 為 3 人中選擇的項目所屬于基礎設施工程或產業(yè)建設工程的人數，求 X 的分布列及數學期望.1(2)兩次投擲得分七的得分可取值為 0,1,2,3,4 則：P(0)=P(C)P(C)=16；P(a1)=C2P(B)P(C)=2X1X1=1；P(E=2)=C2P(A)P(C)+P(B)P(B)=

18、：5；44o16111.解參考答案1(1)由題息可知：燕子每次試飛出了房間的概率均為-.113所以燕子恰好在第 2 次試飛時出了房間的概率 P=1-*14416_,1C、311P(2)=45=43211P(3)=432=4321.1P(n=4)=4321=41234P111144442.解(1) “飛碟投入紅袋”，“飛碟投入藍袋”，“飛碟不入袋”分別記為事件_.501251則P(A1而=2,P(B)=P(C)=赤=4.因每次投擲飛碟為相互獨立事件，故 4 次投擲中恰有三次投入紅袋的概率為A,B,C.P4(3)=C331-11214.彳 11P(43)=C2P(A)P(B)=4；P(g4)=P(

19、A)P(A)=4，E($=0X-+1X：+2X 盤+3*工+4*!=、16816442(1)設“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件 C,那么1P(o)=12p=59.解得 p=5-10505，一 C1(2)由題意，P(E=0)=C3P(X=2)=今=急所以 X 的分布列是X012P9214910050100123.解1101p(41)=C310,11027c112)=C3W1-WQ1QP(43)=031而3=100024310007291000.4.解人5.解七0123P1100027100024310007291000E(尸 0 x,+1xZ+2x9+3xE=27E()0100010001000100010.730 弓2x3PO0)=P(登 1)=1P(土 0)=10，-p(=0)=,即oiq=7Q.7-2x6-2x3 一:62X=號，解得 x=2.故文娛隊共有 5 人.7x6x10C2o33 口一。、C21(2)”)=丁=5,P(e2)=0F 而，衛(wèi)012P33110510.E(=0X+1X3+2X=4105105.人-4,、，士小C2C2(1)設在 1 次游戲中摸出 i 個白球為事件 Ai(i=0,1,2,3