排列組合概率隨變量及其分布列

1、排列組合概率隨變量及其分布列作者:日期:排列組合、概率、隨機(jī)變量及其分布列Q1-抓f主命題方向慝猾定位除耳(2012 江蘇，22)設(shè) E 為隨機(jī)變量，從棱長為 1 的正方體的 12 條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，E=0;當(dāng)兩條棱平行時(shí)，E 的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，E=1.(1)求概率 P(土 0);(2)求 E 的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望 E(譏審題視點(diǎn)點(diǎn) P 的坐標(biāo)滿足的條件 a-b=3,可知 1Wb=a3Wn3,從而確定點(diǎn) P的個(gè)數(shù).(2)由題意知 ab 是 3 的倍數(shù)，記 a-b=3k,由 1wb=a3kwn3k,再對(duì) n 分類討論.解(1)點(diǎn) P 的坐標(biāo)滿足條件 1Wb

2、=a3Wn3,所以 An=n3.(2)設(shè) k 為正整數(shù)，記 fn(k)為滿足條件以及 ab=3k 的點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)，只要討論 fn(k)1 的情形.由 1wb=a3kwn3k 知 fn(k)=n3k,且 kwn,設(shè) n1=3m+r,其中 mCN*,r3c、帛一cJTJT3mm+1m2n3m3C011,2,則kwm,所以Bn=g1fn(k)=g1(n3k)=mn?=2，n1r,_將 m=n1代入上式，化簡得3【應(yīng)對(duì)策略】(1)準(zhǔn)確分類與分步是解決排列組合問題的基礎(chǔ)，選準(zhǔn)方法是關(guān)鍵，備考中要強(qiáng)化常用方法的訓(xùn)練，反復(fù)理解體會(huì)解題中的數(shù)學(xué)思想與方法，但不要做太復(fù)雜的題目.(2)離散型隨機(jī)變量的概率分布

3、與數(shù)學(xué)期望是建立在傳統(tǒng)的概率問題的基礎(chǔ)之上的內(nèi)容,常以實(shí)際應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，與數(shù)學(xué)建模能力的考查結(jié)合在一起，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.解決這一類問題，一定要注意認(rèn)真審題，不僅要能在弄清題意的基礎(chǔ)上，迅速地尋找出正確的解題思路，還要能夠規(guī)范的表述解題的過程.這些，需要在復(fù)習(xí)中引起足夠的重視，注意做好針對(duì)性的訓(xùn)練，力求做到求解這一類問題時(shí)能夠得心應(yīng)手、準(zhǔn)確無誤.n1n26rr1所以 Bn=n1n26.櫛BieBie l2MlSHIFANig!FAl2MlSHIFANig!FA.一Q2必備知識(shí)方法必必記學(xué)相長必備知識(shí)1 .兩種計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理.

4、2 .排列,mn!(1)排列的定義；(2)排列數(shù)公式：An=n(n1)(n2)(nm+1)=(mWn,m,n、nm!、N*).3 .組合(1)組合的定義；(2)組合數(shù)公式：Cm=nnT2n-m+1=一立一(mwn,m,nCN*).m!m!nm!組合數(shù)T的質(zhì)：cm=cm；cm+cfT1=cm+1.4 .概率、隨機(jī)變量及其分布(1)離散型隨機(jī)變量及其概率分布的表示：離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量；離散型隨機(jī)變量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；性質(zhì)：1pi0(i=1,2,3,，n);2p+3+p3+pn=1;(2)特殊的概率分布列：01 分布(兩點(diǎn)分布)符

5、號(hào)表示：X01 分布；超幾何分布：10 符號(hào)表示：XH(n,M,N);2 概率分布列：XH(r；n,M,N)=P(X=r)=2 曾；二項(xiàng)分布(又叫獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，波努利試驗(yàn))：10 符號(hào)表示：XB(n,p);2概率分布列：P(X=k)=onpk(1-p)nk.注意：P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=r)+P(X=n)=1.必備方法5 .解排列、組合問題時(shí)注意以下幾點(diǎn)：(1)審題分析是排列問題，還是組合問題，按照元素的性質(zhì)分類，按照事件發(fā)生的過程分步；(2)分清運(yùn)算的性質(zhì)，只要是分類計(jì)數(shù)，就是加法運(yùn)算，只要是分步計(jì)數(shù)，就是乘法運(yùn)算，在綜合問題中，常常在分類中有分步，在分步中有分類；

6、(3)要掌握定位排列的處理方法，掌握分類組合處理的思想方法；(4)排列、組合問題的答案較大時(shí)，不易直接驗(yàn)證，因此在檢查結(jié)果是否正確時(shí)，應(yīng)該著重檢查所設(shè)計(jì)的解決問題的方案是否完備，有無重復(fù)或遺漏，也可以通過一題多解驗(yàn)證結(jié)論.6 .概率、隨機(jī)變量及其分布(1)求隨機(jī)變量的概率分布的基礎(chǔ)是求隨機(jī)變量取各個(gè)可能值的概率，其中要注意隨機(jī)變量取各個(gè)可能值的概率滿足的性質(zhì).對(duì)于常用的兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布要熟練掌握.n(2)隨機(jī)變量的均值(期望)：E(X)=.1xipi；03，熱點(diǎn)命題角度折：二點(diǎn)歌破命題角度一與計(jì)數(shù)原理有關(guān)的問題【例 1】？(2011 江蘇，23)設(shè)整數(shù) n4,P(a,b)是平面直

7、角坐標(biāo)系 xOy 中的點(diǎn)，其中 a,bC1,2,3,，n,ab.(1)記 An為滿足 a-b=3 的點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)，求 An；、一一11(2)記 Bn為滿足(ab)是整數(shù)的點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)，求 Bn.審題視點(diǎn)(1)點(diǎn) P 的坐標(biāo)滿足的條件 a-b=3,可知 1Wb=a3Wn3,從而確定點(diǎn) P的個(gè)數(shù).(2)由題意知 ab 是 3 的倍數(shù)，記 a-b=3k,由 1wb=a3kwn3k,再對(duì) n 分類討論.解(1)點(diǎn) P 的坐標(biāo)滿足條件 1Wb=a3Wn3,所以 An=n3.(2)設(shè) k 為正整數(shù)，記 fn(k)為滿足條件以及 ab=3k 的點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)，只要討論 fn(k)1 的情形.由 1wb=

8、a3kwn3k 知 fn(k)=n-3k,且 kwn;,設(shè) n1=3m+r,其中 mCN*,r3一一一.一.一，_mm3mm+1e0,1,2,則kwm,所以 Bn=g1fn(k)=g(n3k)=mn2nn3,n 是整數(shù)，63所以 Bn=n1n2n,不不是整數(shù).63方法錦此計(jì)數(shù)原理問題中要計(jì)算點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此要根據(jù)條件對(duì)正整數(shù)的取值進(jìn)行分類，弄清可能的取值類別，再根據(jù)加法原理進(jìn)行計(jì)算.【突破訓(xùn)練 1】 (2012 江蘇， 23)設(shè)集合 Pn=1,2,， n,nCN*.記 f(n)為同時(shí)滿足下列條件的集合 A 的個(gè)數(shù)：A?Pn；若 xCA,則 2x?A;若 xC?PnA,則 2x?PnA.求 f(4

9、)；(2)求 f(n)的解析式(用 n 表示).m2n3m32將m=n1-r代入上式，化簡得3n1n26rr1解當(dāng) n=4 時(shí)，符合條件的集合 A 為：2,1,4,2,3,1,3,4,故 f(4)=4.(2)任取偶數(shù) xCPn,將 x 除以 2,若商仍為偶數(shù)，再除以 2,，經(jīng)過 k 次以后，商必為奇數(shù)，此時(shí)記商為 m,于是 x=m 2k,其中 m 為奇數(shù)，kCN*.由條件知，若 mCA,則 xCA?k 為偶數(shù)；若 m?A,則 xCA?k 為奇數(shù).于是 x 是否屬于 A 由 m 是否屬于 A 確定.設(shè) Qn是 Pn中所有奇數(shù)的集合，因此 f(n)等于Qn的子集個(gè)數(shù).當(dāng) n 為偶數(shù)(或奇數(shù))時(shí)，P

10、n中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是 2 或匕 2，命題角度二概率、相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)命題要點(diǎn)(1)等可能事件的概率(2)互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率【例 2】？(2012 南通模擬)某品牌設(shè)計(jì)了編號(hào)依次為 1,2,3,，n(n4,且 nCN*)的 n 種不同款式的時(shí)裝，由甲、乙兩位模特分別獨(dú)立地從中隨機(jī)選擇 i,j(0i,jn,且 i,jCN)種款式用來拍攝廣告.(1)若 i=j=2,且甲在 1 至 ijm(m 為給定的正整數(shù)，且 2mn2)號(hào)中選擇，乙在(m+1)到 n 號(hào)中選擇.記Pst(1WsWm,m+1wtwn)為款式(編號(hào))s 和 t 同時(shí)被選中的概率，求所有的 Pst的和；(2)求

11、至少有一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可的概率.審題視點(diǎn)首先求出兩款的所有等可能基本事件的種數(shù)，再確定款式 s 和 t(1Wswm,m+1t4+2x1=1，444. LJEJUAhLAO&HIDINGNINLJEJUAhLAO&HIDINGNIN一W.閱卷老師叮嚀注重之節(jié)：力爭潴分4.概率問題中必須突破的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)一、 分拆事件時(shí)一定要做到“不重不漏”.【例 1】？在一次數(shù)學(xué)考試中，第 21 題和第 22 題為選做題，規(guī)定每位考生必須且只須在 1其中選做一題,設(shè) 4 名考生選做這兩題的可能性均為 2,求其中甲、乙二名學(xué)生選做同一道題的概率.解設(shè)事件 A 表示“甲選做第 21 題”，事件

12、B 表示“乙選做第 21 題”，則甲、乙 2 名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB 十五百”，且事件 A,B 相互獨(dú)立，11111.P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=巧 1+1 一 2X1=；老師叮嚀：甲、乙二名學(xué)生選做同一道題是指同時(shí)選第 21 題或 22 題，因此設(shè)事件 A 表示“甲選做第 21 題”，事件 B 表示“乙選做第 21 題”，則甲、乙 2 名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB+AB,二、搞清隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件并準(zhǔn)確計(jì)算【例 2】?某校要舉行一次演講比賽，比賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段進(jìn)行，已知某選手通過初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是 2,1,1,且各階

13、段通過與否相互獨(dú)立.設(shè)該選手在334比賽中比賽的次數(shù)為 E,求 E 的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)記“該選手通過初賽”為事件 A,“該選手通過復(fù)賽”為事件 B,“該選手通過決賽”為事件 C,則 P(A)=2,P(B)=1,P(C)=!334E 可能取值為 1,2,3.21P(E=1)=P(A)=1-=-,33P(E=2)=P(AB)=P(A)P(B)=2X1-o=4,3392、/12P(E=3)=P(AB)=P(A)P(B)=3x3=9.E 的分布列為：1239 的數(shù)學(xué)期望 EG)=1X-+2X4+3X2=3999老師叮嚀：搞清隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件和每個(gè)隨機(jī)事

14、件包含的各種情況，對(duì)概率類型的準(zhǔn)確判定與轉(zhuǎn)化是解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的根本，因此在備考中要多下功夫，養(yǎng)成思維嚴(yán)密、轉(zhuǎn)換靈活、計(jì)算無誤的好習(xí)慣5.訓(xùn)練1. 一個(gè)房間有 4 扇同樣的窗子，其中只有一扇窗子是打開的.有一只燕子自開著的窗子飛入這個(gè)房間，它只能從開著的窗子飛出去，燕子在房子里一次又一次地向著窗戶飛去，試圖飛出房間.燕子飛向各扇窗子是等可能的.(1)假定燕子是沒有記憶的，求它恰好在第 2 次試飛時(shí)出了房間的概率；(2)假定這只燕子是有記憶的， 它飛向任一窗子的嘗試不多于一次， 若這只燕子恰好在第刀次試飛時(shí)飛出了房間，求試飛次數(shù)刀的分布列及其數(shù)學(xué)期望.2. (2012 徐州質(zhì)檢)

15、一投擲飛碟的游戲中，飛碟投入紅袋記 2 分，投入藍(lán)袋記 1 分，未投入袋記 0 分.經(jīng)過多次試驗(yàn)，某人投擲 100 個(gè)飛碟有 50 個(gè)入紅袋，25 個(gè)入藍(lán)袋，其余不能入袋.(1)求該人在 4 次投擲中恰有三次投入紅袋的概率；(2)求該人兩次投擲后得分 E 的數(shù)學(xué)期望 EE.3. 某居民小區(qū)有兩個(gè)相互才立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A 和 B,系統(tǒng) A 和 B 在任意時(shí)刻發(fā).一、.i.1 一生故障的概率分力1J 為 77 和 P.10(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為 49,求P的值；(2)設(shè)系統(tǒng) A 在 3 次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量巳求 E 的概率分布列及數(shù)學(xué)

16、期望 EE.4(2012 無錫五校聯(lián)考)無錫學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有 2 人，會(huì)跳舞的有 5人，現(xiàn)從中選 2 人.設(shè) E 為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且_7P(0)=10.(1)求文娛隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)；10(2)寫出七的概率分布列并計(jì)算 E(譏5 .學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有 3 個(gè)白球，2 個(gè)黑球，乙箱子里裝有 1 個(gè)白球，2 個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出 2 個(gè)球，若摸出的白球不少于 2 個(gè)，則獲獎(jiǎng)(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)(1)求在一次游戲中摸出 3 個(gè)白球的概率；獲獎(jiǎng)的概率.(2)求在兩次游戲

17、中獲獎(jiǎng)次數(shù) X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E(X).6 .(2012 南師附中信息卷)為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長，某市決定新建一批基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的1,1,現(xiàn)在 3 名工人獨(dú)立地236從中任意一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).(1)求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率.(2)記 X 為 3 人中選擇的項(xiàng)目所屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望.1(2)兩次投擲得分七的得分可取值為 0,1,2,3,4 則：P(0)=P(C)P(C)=16；P(a1)=C2P(B)P(C)=2X1X1=1；P(E=2)=C2P(A)P(C)+P(B)P(B)=

18、：5；44o16111.解參考答案1(1)由題息可知：燕子每次試飛出了房間的概率均為-.113所以燕子恰好在第 2 次試飛時(shí)出了房間的概率 P=1-*14416_,1C、311P(2)=45=43211P(3)=432=4321.1P(n=4)=4321=41234P111144442.解(1) “飛碟投入紅袋”，“飛碟投入藍(lán)袋”，“飛碟不入袋”分別記為事件_.501251則P(A1而=2,P(B)=P(C)=赤=4.因每次投擲飛碟為相互獨(dú)立事件，故 4 次投擲中恰有三次投入紅袋的概率為A,B,C.P4(3)=C331-11214.彳 11P(43)=C2P(A)P(B)=4；P(g4)=P(

19、A)P(A)=4，E($=0X-+1X：+2X 盤+3*工+4*!=、16816442(1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件 C,那么1P(o)=12p=59.解得 p=5-10505，一 C1(2)由題意，P(E=0)=C3P(X=2)=今=急所以 X 的分布列是X012P9214910050100123.解1101p(41)=C310,11027c112)=C3W1-WQ1QP(43)=031而3=100024310007291000.4.解人5.解七0123P1100027100024310007291000E(尸 0 x,+1xZ+2x9+3xE=27E()0100010001000100010.730 弓2x3PO0)=P(登 1)=1P(土 0)=10，-p(=0)=,即oiq=7Q.7-2x6-2x3 一:62X=號(hào)，解得 x=2.故文娛隊(duì)共有 5 人.7x6x10C2o33 口一。、C21(2)”)=丁=5,P(e2)=0F 而，衛(wèi)012P33110510.E(=0X+1X3+2X=4105105.人-4,、，士小C2C2(1)設(shè)在 1 次游戲中摸出 i 個(gè)白球?yàn)槭录?Ai(i=0,1,2,3