舍入誤差分析及數(shù)值穩(wěn)定性學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1舍入誤差分析舍入誤差分析(fnx)及數(shù)值穩(wěn)定性及數(shù)值穩(wěn)定性第一頁，共20頁。May 3, 2二進(jìn)制階數(shù)上限127，那么表示數(shù)的絕對值的上限為： 對單精度實(shí)數(shù)系統(tǒng)，當(dāng)被表示數(shù)的量級超過38，則計算機(jī)無法表示該數(shù)，出現(xiàn)(chxin)所謂Overflow.overflowoverflow122s122s23.382lg)12(121010277第2頁/共20頁第二頁，共20頁。May 3, 3二進(jìn)制階數(shù)下限) 12(7或72，表示數(shù)的絕對值的下限為： 53.382lg22)12(11010222777 （不區(qū)分） 或 83.382lg)12()12(211010222777 （區(qū)分） 對單精

2、度實(shí)數(shù)(shsh)系統(tǒng)，當(dāng)被表示數(shù)的量級小于38，則計算機(jī)無法表示該數(shù)，出現(xiàn)所謂Underflow, 記該數(shù)為機(jī)器零.（見下頁圖）第3頁/共20頁第三頁，共20頁。May 3, 4overflowoverflow122s122sUnderflow（不區(qū)分） 22s（區(qū)分） 2) 12(s（不區(qū)分） 22s（區(qū)分） 2) 12(s第4頁/共20頁第四頁，共20頁。May 3, 5尾尾數(shù)數(shù)部部分分 223321 . 0i232ii122 12,22207i232ii1pZpaaRpS且 單精度機(jī)器(j q)數(shù)：(不區(qū)分階碼正負(fù)零的情形）一般(ybn)地，置換 23t , 7s，有12,2220it

3、2ii1spSpZpaaR且第5頁/共20頁第五頁，共20頁。May 3, 6 相相鄰鄰機(jī)機(jī)器器數(shù)數(shù)：設(shè)SRa , 與之相鄰的能夠準(zhǔn)確表示的機(jī)器數(shù)是232pab和232pac. 將實(shí)數(shù)x在機(jī)器中的浮點(diǎn)(float)表示記為 )(xfl. 將由此表示產(chǎn)生的誤差 xxfl)( 稱之為舍舍入入誤誤差差. 機(jī)器數(shù)的非連續(xù)性導(dǎo)致在區(qū)間),(ac和),(ba上的實(shí)數(shù)無法準(zhǔn)確表示. 計算機(jī)系統(tǒng)規(guī)定: 不能精確表示的實(shí)數(shù)用與之最近的機(jī)器數(shù)表示。 )( )2,22,2 231231xflaaaabaacxpp記為：表示用當(dāng)?shù)?頁/共20頁第六頁，共20頁。May 3, 7 絕對誤差*e： 231*2)(pxxf

4、le， 其中 p: ppx221 且127p 單精度實(shí)數(shù))(xfl能夠有 67 位有效數(shù)字. axflaaxpp)( )2,2231231第7頁/共20頁第七頁，共20頁。May 3, 82lg)12(12102ss上溢界：2lg22102:ss下溢界ptxxfle222)(1*絕對誤差：tptprxflxxfle2222)()(11*相對誤差：ppxp22:1當(dāng)不出現(xiàn)(chxin)溢出時有估計: 第8頁/共20頁第八頁，共20頁。May 3, 9定定理理 ppxx22:1設(shè) 且 12 sp, 則 txxfl2),1 ()(, xxxflxxfl)()1 ()( tptpxxxfl222)(1

5、1 推推論論 tyflxflyflxflfl2),1)()()()( 第9頁/共20頁第九頁，共20頁。May 3, 10)()(321111ba)1)()()() )()(3bflaflbflaflfl) )()()(cflbflaflflfl)1()()()(5cflbflaflfl)1)(1 ()1)(1 ()1 ( 54321cba)(531535153131acba)(532535253232b)(5454c第10頁/共20頁第十頁，共20頁。May 3, 115 , 4 , 3 , 2 , 1,2iti設(shè)有)()()()(cbacflbflaflflfl)2()33 (232cba

6、結(jié)論：浮點(diǎn)機(jī)器數(shù)的加法并不一定滿足結(jié)合律, 先加絕對值較小的兩數(shù),然后再和另外一數(shù)相加, 將會有較小的舍入誤差.更為深刻(shnk)的意義在于表明: 數(shù)學(xué)上等價的算法在數(shù)值上并不總是等效的. 第11頁/共20頁第十一頁，共20頁。May 3, 12dxxxInn105例：計算(j sun)如下積分近似值的兩種方案比較),(21511nInInn方法1：1823. 056ln51100dxxI第12頁/共20頁第十二頁，共20頁。第13頁/共20頁第十三頁，共20頁。May 3, 14方法(fngf)2：該方法是穩(wěn)定的。 初值的近似：) 1(5156) 1(611010ndxxIdxxnnnn1

7、51nnInI*1*5n1nnII*0*22*1*555eeeennnn5511nnInI551*1nnInI*51*1nnee第14頁/共20頁第十四頁，共20頁。方方法法果果016706615512110.*I第15頁/共20頁第十五頁，共20頁。May 3, 16v相近數(shù)相減的誤差傳播 v例 x=52.127 x*=52.129 四位有效數(shù)字v y=52.123 y*=52.121 四位有效數(shù)字v A=x-y=0.004 A*=x*-y*=0.008 零位(ln wi)有效數(shù)字v結(jié)論：避免相近數(shù)相減v一些避免相近數(shù)相減示例v當(dāng)|x|1時)(11111xxxxxxxx1lnln) 1ln(

8、第16頁/共20頁第十六頁，共20頁。May 3, 17xxxx111)1ln()1ln(22xxxx當(dāng)|x|1時第17頁/共20頁第十七頁，共20頁。May 3, 18) 10(.98765432110000001kkk例100000021.9876543211：方法)(.9876543212100000021：方法100000099900010001.9876543213iiii：方法第18頁/共20頁第十八頁，共20頁。May 3, 19例2 秦九韶算法(sun f) 01223344axaxaxaxa01234)( ( (axaxaxaxav簡化計算(j sun)步驟以減少運(yùn)算次數(shù)。84284228448816