第五章特征值(考研精講

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第五章 特征值與特征向量1、數(shù)字型矩陣的特征值與特征向量知識(shí)點(diǎn)： 定義：1º設(shè)階方陣，如果存在數(shù)和非零向量使得，則稱是A的特征值，稱非零向量是屬于的特征向量. 2º由 稱為A的特征矩陣 為A的特征多項(xiàng)式，它的根就是A的特征值.求法：1）特征值： 2）特征向量：即求解線性方程組.注：屬于同一個(gè)特征值的線性無關(guān)的特征向量為 .例1. 解：2、抽象矩陣的特征值與特征向量例2. 設(shè)3階矩陣A的三個(gè)特征值為1，2，3，則 6 ，A1的特征值為 A*的特征值為 6,3,-2 A2+2A+E的可逆性 可逆 4,1,16 例3. 設(shè)是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣

2、有一個(gè)特征值為（ ）.例4. 設(shè)向量都是非零向量，且滿足條件，求（1）A2 （2）矩陣A的特征值和特征向量例5. 設(shè)A為3階矩陣，且，則 解：A為特征值為： 111263、已知矩陣的特征值和特征向量來求矩陣和行列式等問題1）已知特征向量，一般用求解2）已知全部特征值和特征向量反求矩陣A 則3）已知部分特征值和特征向量，反求另一部分特征值，特征向量或矩陣A4）已知特征值反求行列式例6.設(shè)有特征值，試求參數(shù)a,b的值.解：分析：用特征議程可建立兩個(gè)方程 得 得由得例7.設(shè)矩陣可逆，向量是A*的一個(gè)特征向量，是對(duì)應(yīng)的特征值，求a,b,.解：由可逆，知0，從而.即.得得 a=2b得 b=1或b=-2

3、故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)例8.已知是實(shí)對(duì)稱矩陣A的三個(gè)特征值，且對(duì)徉的特征向量為，求A對(duì)應(yīng)于16的特征向量及矩陣A解：設(shè)A對(duì)應(yīng)于16的特征向量，由于A實(shí)對(duì)稱屬于不同特征值正交故故 屬于16的特征向量為進(jìn)一步 故4、矩陣相似和對(duì)角化的題目（2000，2001，2002，2003，2005，2007）知識(shí)點(diǎn)：1º相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式2º矩陣A可對(duì)角化的充要條件且屬于A的特征值的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)之和有于。當(dāng)A可對(duì)角化時(shí)，把個(gè)線性無關(guān)的特征向量作為矩陣P的列向量，則為對(duì)解矩陣，且對(duì)角矩陣的主對(duì)角線性的元素是A的個(gè)特征值。3º實(shí)對(duì)稱矩陣必相似于對(duì)角矩陣?yán)?.設(shè)A與B相似，其中 （1）求（2）求可逆矩陣P，使分析：已知相似，反過來求參數(shù)解：法一 AB，故有相同的特征多項(xiàng)式 得 令 得 令 得 法二：（2）由（1）知由，對(duì)應(yīng)特征向量為令例10.設(shè) （1）求出A的所有特征值和特征向量（2）判斷A能否對(duì)角化？如能對(duì)角化，則求出相似變換矩陣P，使A化為對(duì)角形矩陣。解：（1）由 A的特征值為對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于（2）A有三個(gè)不同的特征值，故有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A可以對(duì)角化令 則 例11.設(shè)矩陣，已知A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，是A的二重特征，試求可逆矩陣P，使得為對(duì)角形矩陣。解：因?yàn)锳有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，時(shí)A的二重，故對(duì)應(yīng)于的線