項(xiàng)目五測(cè)量誤差規(guī)律及數(shù)據(jù)精度指標(biāo)

1、項(xiàng)目五 測(cè)量誤差規(guī)律及數(shù)據(jù)精度指標(biāo)任務(wù)1 測(cè)量誤差基本知識(shí)1觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因觀測(cè)值中存在觀測(cè)誤差有下列三方面原因：（1）觀測(cè)者 由于觀測(cè)者的感覺(jué)器官的鑒別能力的局限性，在儀器安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等工作中都會(huì)產(chǎn)生誤差。同時(shí)，觀測(cè)者的技術(shù)水平及工作態(tài)度也會(huì)對(duì)觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)生影響。（2）測(cè)量?jī)x器 測(cè)量工作所使用的測(cè)量?jī)x器都具有一定的精密度，從而使觀測(cè)結(jié)果的精度受到限制。另外，儀器本身構(gòu)造上的缺陷，也會(huì)使觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)生誤差。（3）外界觀測(cè)條件 外界觀測(cè)條件是指野外觀測(cè)過(guò)程中，外界條件的因素，如天氣的變化、植被的不同、地面土質(zhì)松緊的差異、地形的起伏、周圍建筑物的狀況，以及太陽(yáng)光線的強(qiáng)弱、照射的角度大小等。外界觀

2、測(cè)條件是保證野外測(cè)量質(zhì)量的一個(gè)重要要素。觀測(cè)者、測(cè)量?jī)x器和觀測(cè)時(shí)的外界條件是引起觀測(cè)誤差的主要因素，通常稱為觀測(cè)條件。觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)，稱為等精度觀測(cè)。觀測(cè)條件不同的各次觀測(cè)，稱為非等精度觀測(cè)。2.觀測(cè)誤差的分類觀測(cè)誤差按其性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。（1）系統(tǒng)誤差 由儀器制造或校正不完善、觀測(cè)員生理習(xí)性、測(cè)量時(shí)外界條件、儀器檢定時(shí)不一致等原因引起。在同一條件下獲得的觀測(cè)列中，其數(shù)據(jù)、符號(hào)或保持不變，或按一定的規(guī)律變化。在觀測(cè)成果中具有累計(jì)性，對(duì)成果質(zhì)量影響顯著，應(yīng)在觀測(cè)中采取相應(yīng)措施予以消除。（2） 偶然誤差 它的產(chǎn)生取決于觀測(cè)進(jìn)行中的一系列不可能嚴(yán)格控制的因素（如濕度、溫度

3、、空氣振動(dòng)等）的隨機(jī)擾動(dòng)。在同一條件下獲得的觀測(cè)列中，其數(shù)值、符號(hào)不定，表面看沒(méi)有規(guī)律性，實(shí)際上是服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。隨機(jī)誤差又可分兩種：一種是誤差的數(shù)學(xué)期望不為零稱為“隨機(jī)性系統(tǒng)誤差”；另一種是誤差的數(shù)學(xué)期望為零黍?yàn)榕既徽`差。這兩種隨機(jī)誤差經(jīng)常同時(shí)發(fā)生，須根據(jù)最小二乘法原理加以處理。（3）粗差 是一些不確定因素引起的誤差，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在粗差的認(rèn)識(shí)上還未有統(tǒng)一的看法，目前的觀點(diǎn)主要有幾類：一類是將粗差看用與偶然誤差具有相同的方差，但期望值不同；另一類是將粗差看作與偶然誤差具有相同的期望值，但其方差十分巨大；還有一類是認(rèn)為偶然誤差與粗差具有相同的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，但有正態(tài)與病態(tài)的不同。以上的理論均是建立

4、在把偶然誤差和粗差均為屬于連續(xù)型隨機(jī)變量的范疇。還有一些學(xué)者認(rèn)為粗差屬于離散型隨機(jī)變量。3.偶然誤差的特性當(dāng)觀測(cè)值中剔除了粗差，排除了系統(tǒng)誤差的影響，或者與偶然誤差相比系統(tǒng)誤差處于次要地位后，占主導(dǎo)地位的偶然誤差就成了我們研究的主要對(duì)象。從單個(gè)偶然誤差來(lái)看，其出現(xiàn)的符號(hào)和大小沒(méi)有一定的規(guī)律性，但對(duì)大量的偶然誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性，誤差個(gè)數(shù)愈多，規(guī)律性愈明顯。在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)358個(gè)三角形的內(nèi)角進(jìn)行了觀測(cè)。由于觀測(cè)值含有偶然誤差，致使每個(gè)三角形的內(nèi)角和不等于180°。設(shè)三角形內(nèi)角和的真值為X，觀測(cè)值為L(zhǎng)，其觀測(cè)值與真值之差為真誤差。用下式表示為： （i=1,2,358

5、）（5-1）由（5-1）式計(jì)算出358個(gè)三角形內(nèi)角和的真誤差，并取誤差區(qū)間為0.2，以誤差的大小和正負(fù)號(hào)，分別統(tǒng)計(jì)出它們?cè)诟髡`差區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)V和頻率V/n，結(jié)果列于表5-1。表51 偶然誤差的區(qū)間分布誤差區(qū)間d正 誤 差負(fù) 誤 差合 計(jì)個(gè)數(shù)V頻率V/n個(gè)數(shù)V頻率V/n個(gè)數(shù)V頻率V/n0.00.2450.126460.128910.2540.20.4400.112410.115810.2260.40.6330.092330.092660.1840.60.8230.064210.059440.1230.81.0170.047160.045330.0921.01.2130.036130.036260

6、.0731.21.460.01750.014110.0311.41.640.01120.00660.0171.6以上000000 1810.5051770.4953581.000從表5-1中可看出，最大誤差不超過(guò)1.6，小誤差比大誤差出現(xiàn)的頻率高，絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)近于相等。通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果證明了偶然誤差具有如下特性：1 在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限度，2 絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的可能性大，3 絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，4 當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。即 （5-2）任務(wù)2 觀測(cè)數(shù)據(jù)精度指標(biāo)1

7、中誤差在等精度觀測(cè)列中，各真誤差平方的平均數(shù)的平方根，稱為中誤差，也稱均方誤差，即 （5-3）【例】 設(shè)有兩組等精度觀測(cè)列，其真誤差分別為第一組-3、+3、-1、-3、+4、+2、-1、-4；第二組+1、-5、-1、+6、-4、0、+3、-1。試求這兩組觀測(cè)值的中誤差。解：比較m1和m2可知，第一組觀測(cè)值的精度要比第二組高。必須指出，在相同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的一組觀測(cè)，由于它們對(duì)應(yīng)著同一種誤差分布，因此，對(duì)于這一組中的每一個(gè)觀測(cè)值，雖然各真誤差彼此并不相等，有的甚至相差很大，但它們的精度均相同，即都為同精度觀測(cè)值。2容許誤差由偶然誤差的第一特性可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)

8、一定的限值。這個(gè)限值就是容許誤差或稱極限誤差。此限值有多大呢？根據(jù)誤差理論和大量的實(shí)踐證明，在一系列的同精度觀測(cè)誤差中，真誤差絕對(duì)值大于中誤差的概率約為32%；大于2倍中誤差的概率約為5%；大于3倍中誤差的概率約為0.3%。也就是說(shuō)，大于3倍中誤差的真誤差實(shí)際上是不可能出現(xiàn)的。因此，通常以3倍中誤差作為偶然誤差的極限值。在測(cè)量工作中一般取2倍中誤差作為觀測(cè)值的容許誤差，即容=2m（5-4）當(dāng)某觀測(cè)值的誤差超過(guò)了容許的2倍中誤差時(shí)，將認(rèn)為該觀測(cè)值含有粗差，而應(yīng)舍去不用或重測(cè)。3相對(duì)誤差對(duì)于某些觀測(cè)結(jié)果，有時(shí)單靠中誤差還不能完全反映觀測(cè)精度的高低。例如，分別丈量了100m和200m兩段距離，中誤差

9、均為±0.02m。雖然兩者的中誤差相同，但就單位長(zhǎng)度而言，兩者精度并不相同，后者顯然優(yōu)于前者。為了客觀反映實(shí)際精度，常采用相對(duì)誤差。觀測(cè)值中誤差m的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)值S的比值稱為相對(duì)中誤差。它是一個(gè)無(wú)名數(shù)，常用分子為1的分?jǐn)?shù)表示，即 （5-5） 上例中前者的相對(duì)中誤差為，后者為，表明后者精度高于前者。對(duì)于真誤差或容許誤差，有時(shí)也用相對(duì)誤差來(lái)表示。例如，距離測(cè)量中的往返測(cè)較差與距離值之比就是所謂的相對(duì)真誤差，即 （5-6）與相對(duì)誤差對(duì)應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都是絕對(duì)誤差。 任務(wù)3誤差傳播定律1. 誤差傳播定律在實(shí)際工作中，往往會(huì)遇到某些量的大小并不是直接測(cè)定的，而是由觀測(cè)

10、值通過(guò)一定的函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算出來(lái)的。闡述觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。（1）倍數(shù)函數(shù)設(shè)有函數(shù) （5-7）式中k為常數(shù)，x為直接觀測(cè)值，其中誤差為mx，現(xiàn)在求觀測(cè)值函數(shù)Z的中誤差mZ。設(shè)x和Z的真誤差分別為x和Z，由（5-7）式知它們之間的關(guān)系為Z=kx若對(duì)x共觀測(cè)了n次，則 （i=1, 2, n）將上式兩端平方后相加，并除以n，得 （5-8）按中誤差定義可知所以（5-8）式可寫(xiě)成或 （5-9）即觀測(cè)值倍數(shù)函數(shù)的中誤差，等于觀測(cè)值中誤差乘倍數(shù)（常數(shù)）。【例】 用水平視距公式D=k·l求平距，已知觀測(cè)視距間隔的中誤差ml=±1cm，k=100，則

11、平距的中誤差mD=100·ml=±1 m。（2）和差函數(shù)設(shè)有函數(shù) （5-10）式中x、y為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分別為mx和my，設(shè)真誤差分別為x和y，由（5-10）式可得若對(duì)x、y均觀測(cè)了n次，則 將上式兩端平方后相加，并除以n得上式中各項(xiàng)均為偶然誤差。根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)n愈大時(shí)，式中最后一項(xiàng)將趨近于零，于是上式可寫(xiě)成（5-11）根據(jù)中誤差定義，可得 （5-12）即觀測(cè)值和差函數(shù)的中誤差平方，等于兩觀測(cè)值中誤差的平方之和。【例】 在ABC中，C=180°AB，A和B的觀測(cè)中誤差分別為3和4，則C的中誤差。（3）線性函數(shù)設(shè)有線性函數(shù) z=k1x1±k2x2±···