2019多元微分學的應用2ppt課件

1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程大 學 數(shù) 學（三）（三）多元微積分學 第一章第一章 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 曾金平教案編寫：劉楚中 曾金平電子制作：劉楚中第一章 多元函數(shù)微分學本章學習要求：理解多元函數(shù)的概念。熟悉多元函數(shù)的“點函數(shù)表示法。知道二元函數(shù)的極限、連續(xù)性等概念，以及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質。會求二元函數(shù)的極限。知道極限的“點函數(shù)表示法。理解二元和三元函數(shù)的偏導數(shù)、全導數(shù)、全微分等概念。了解全微分存在的必要條件和充分條件。了解二元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分的幾何意義。熟練掌握二元和三元函數(shù)的偏導數(shù)、全導數(shù)、全微分的計算方法及復合函數(shù)求導法。能熟練求出函數(shù)的二階偏導數(shù)。了解求偏導與求導順

2、序無關的條件。理解方向導數(shù)的概念，并掌握它的計算方法以及它與梯度的關系。會求隱函數(shù)(包括由方程組確定的隱函數(shù))的一階、二階偏數(shù)。知道二元函數(shù)的泰勒公式形式。曉得 n 元函數(shù)的偏導數(shù)概念及其求法。熟悉平面的方程和直線的方程及其求法。了解空間(平面)曲線的參數(shù)方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的概念,并能熟 練求出它們的方程。知道曲線族的包絡的概念及其法。12. 理解二元函數(shù)無約束極值的概念，能熟練求出二元函數(shù)的無約 束極值。了解條件極值有約束極值的概念，能熟練運用拉 格朗日乘數(shù)法求條件極值。13. 掌握建立與多元函數(shù)極值有關的數(shù)學模型的方法。會求解

3、一些 較簡單的最大值和最小值的應用問題。多元微分學的應用多元微分學的應用 在幾何方面的應用 在優(yōu)化方面的應用 在幾何方面的應用第二節(jié) 空間曲面的切平面 一個鋼球放在一塊平整光滑的鋼板上平面球面 相切？由前面講過的解析幾何知識可知:面方程為0)()()(000zzCyyBxxA),(000zyxP上點若已知曲面處切平面的法向量為),(CBAn , 則曲面在該點的切平法線方程為CzzByyAxx000行分析行分析, 看看有什么結果看看有什么結果. 下面對曲面及其上的曲線的關系進下面對曲面及其上的曲線的關系進實際上實際上, 到現(xiàn)在為止我們還不知道到現(xiàn)在為止我們還不知道曲面的切平面的準確定義曲面的切平

4、面的準確定義.設曲面的方程為 0),( zyxF任取一條過點 P 的曲線 L，設其方程為 , )( txx , )(tyy , )( tzz 此時有 0)(),(),( tztytxF設0tt 對應于點, ),(000zyxP則上式在 t0處的全導數(shù))(),(0000txzyxFx)(),(0000tyzyxFy 0)(),(0000tzzyxFz, 在曲面上 向量的數(shù)量積記),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx)(),(),(000tztytx則由上面的全導數(shù)可知:, 0n即. n 這說明曲面上任一條過點 P 的曲線在點 P 處的切線與向量 垂直 , 因此這些切

5、線位于同一平面上, 該平面即曲面在點 P 處的切平面. 即是切平面的法向量.nn 曲面的切平面的概念 若過空間曲面 上點 M(x, y, z) 處的平面.上，則稱該平面為曲面 在點M 處的切處的切線均存在， 且都位于同一個平面任意一條完全位于曲面上的曲線在點 M 定理設 R3 中曲面的方程為。0),(zyxF若函數(shù)),(zyxF在點),(0000zyxX處可微, 且函數(shù)),(zyxF在點0X導數(shù)不全為零, 則曲面在點0X在，其方程為0)()()(000000zzXFyyXFxxXFzyx處的各一階偏有切平面存(切平面存在定理) 曲面的法線的概念 若過空間曲面 上點 M(x, y, z) 且與曲

6、面在點 M 處的切平面垂直的直線 , 稱為曲面 在點 M 處的法線。 法線的方程如何寫? 切平面的法向量可作為法線的方向向量 定理設 R3 中曲面的方程為。0),(zyxF若函數(shù)),(zyxF在點),(0000zyxX處可微, 且函數(shù)),(zyxF在點0X導數(shù)不全為零, 則曲面在點0X為處的各一階偏的法線方程),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx例532x1272z求橢球面122y在點)3, 2, 1 (0X處的切平面和法線方程.解令127123),(222zyxzyxF那么)3, 2, 1 (xF132xx3231)3, 2, 1 (yF92)3

7、, 2, 1 (zF)2, 3, 6(91n )2 , 3 , 6( n取切平面方程0)3(2)2(3) 1(6zyx即018236zyx法線方程233261zyx )2 , 3 , 6( n例6求122yxz在點)4, 1 , 2(0X處的切平面和法線方程.解令1),(22zyxzyxF那么42)4 , 1 , 2(2xxxF22)4 , 1 , 2(1yyyF1)4 , 1 , 2(zF) 1, 2, 4(n切平面方程：0)4() 1(2)2(4zyx法線方程： 142142 zyx0624zyx曲面方程為),(yxfz 令),(),(yxfzzyxF那么) 1),(),(0000yxfy

8、xfnyx時，例7證明：曲面azyx)0( a上 ，任意一點處的切平面在各坐標軸上的截距之和等于a.證令 ),( azyxzyxF, 那么,21),(xzyxFx,21),(yzyxFy,21),(zzyxFz故曲面上任意一點),(0000zyxX處的切平面的法向量可取為 1,1,1 000zyxn例7于是，切平面方程為0)(1)(1)(1000000zzzyyyxxx000zzyyxx000zyx由于點),(0000zyxX在曲面上，故切平面方程可化為a證明：曲面azyx)0( a上 ，任意一點處的切平面在各坐標軸上的截距之和等于a.例7 1 000zazyayxax 這是平 面截距式方程從

9、而，切平面在各坐標軸上的截距之和為 )( 000aaazyxa截距證明：曲面azyx)0( a上 ，任意一點處的切平面在各坐標軸上的截距之和等于a.參數(shù)方程形式下曲面的 切平面與法線方程設曲面由參數(shù)方程給出：),(),(),(vuzzvuyyvuxx),(),(00vuvu對應于曲面上的點。),(0000zyxX隱 函 數(shù) 先看書,再想一想,可否用 不同于書中的方法做？曲面方程為),(yxfz 令),(),(yxfzzyxF那么) 1),(),(0000yxfyxfnyx時， 你打算怎么做?. , yzxz設法求參數(shù)方程形式下曲面的 切平面與法線方程設曲面由參數(shù)方程給出：),(),(),(vu

10、zzvuyyvuxx 由此找出 u, v 與 x , y 的關系代入代入),(),(yxvyxuzz 產(chǎn)生產(chǎn)生假設假設 方程組方程組),(),(vuyyvuxx可確定函數(shù)組, ),(yxuu , ),(yxvv 且滿足, ),(000yxuu , ),(000yxvv 代入),(vuzz 中得,),(),(yxvyxuzz 且有。),(),(00000yxvyxuzz 利用隱函數(shù)求導法求),(vuzz 對 u , v 的偏導數(shù)：uxxzuzuyyzvxxzvzvyyz就是說，z 是 x 和 y 的函數(shù) z=z(x, y)當0),(),(0Xvuyx時， 由克萊滿法則解得00),(),(),()

11、,(XXvuyxvuzyxz00),(),(),(),(XXvuyxvuxzyz由曲面方程),(yxzz 可知曲面在點),(0000zyxX處切平面的法向量為 ),(),(,),(),(,),(),( 0Xvuyxvuxzvuzyn) 1,(yxzzn設曲面由參數(shù)方程給出：),(),(),(vuzzvuyyvuxx在點),(00vu可微, 那么, ),(vux, ),(vuy),(vuz曲面在點處切平面的法向量為0X ),(),(,),(),(,),(),( 0Xvuyxvuxzvuzyn0 X對應于點求球面cossinsinsincoszyx在對應于4處的切平面方程和法線方程.解4),(),(yx4cossinsincoscosco