一元積分總結(jié)

1、不定積分一、 不定積分性質(zhì)與概念 1 原函數(shù)定義：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，即對任一xI都有 F(x）=f(x)或者dF(x)=f(x)dx那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)（連續(xù)則可導(dǎo)，可導(dǎo)即有原函數(shù)）2 積分定義：在區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記作若F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，則 C為常數(shù) （切記 不要忘記常數(shù)C）3 原函數(shù)與不定積分的關(guān)系：互為逆運(yùn)算例由于，所以的一個原函數(shù)，因此基本積分表(一定要記熟) （a>0 ,a1）4 不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)函數(shù)f(x)及g(x

2、)的原函數(shù)存在，則性質(zhì)2設(shè)函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則（兩條性質(zhì)記住，你在做題的時候?qū)τ谛再|(zhì)掌握不好，做題的時候不要忘記性質(zhì)有時候可簡化計(jì)算）例二、 不定積分計(jì)算1換元積分法（第一類換元和第二類換元）2分部積分法（記住基本類型，做題時看屬于哪類，套用方法）第一類換元對于第一類換元法，總結(jié)可歸納為將dx湊成被積函數(shù)的變量，再套用基本公式例分析：被積函數(shù)是個多項(xiàng)式2cos2x，變量是2x，想辦法把dx變成d2x，而d2x=2dx分析：有公式，所以可以把3+2x看成一個整體，dx變成d(3+2x)，但d(3+2x)=2dx，所以原式前要加分析：被積函數(shù)出現(xiàn)兩個變量，考慮換元，一般帶根號

3、的，帶多項(xiàng)式幾次冪的會考慮換元的問題，換元以后問題會變得簡單分析：被積函數(shù),由2x和組成，觀察得到dx2=2xdx，所以可以將2x拿到d后面，令x2=u， 最后把x2代入得到分析：被積函數(shù)中有x，而考慮到dx2=2xdx，進(jìn)一步可得d（1-x2）=-2xdx，積分符號前提取出-，便可利用基本公式求解（還有些三角，反三角的不定積分求解的問題PPT上有，可以看看。三角函數(shù)的一些公式，基本三角公式，極化和差公式，萬用公式，三角恒等式等要記熟，在求解三角的不定積分的時候可用來化簡）三角函數(shù)公式兩角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-c

4、osAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tan(A-B) =cot(A+B) =cot(A-B) =倍角公式tan2A =Sin2A=2SinACosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)半角公式sin()=cos()=tan()=cot()=tan()=和差化積sina+s

5、inb=2sincossina-sinb=2cossincosa+cosb = 2coscoscosa-cosb = -2sinsintana+tanb=積化和差sinasinb = -cos(a+b)-cos(a-b)cosacosb = cos(a+b)+cos(a-b)sinacosb = sin(a+b)+sin(a-b)cosasinb = sin(a+b)-sin(a-b)萬能公式sina=cosa=tana=第二類換元法和第一類相反，是變化被積函數(shù)，主要用于以下三種情況：1）如果被積函數(shù)中含有可作變換x=asint(或x=a cost)2）如果被積函數(shù)中含有可作變換x=a tan

6、t(或x=a sht 用的不多)3）如果被積函數(shù)中含有可作變換x=a sect(或x=a cht 用的不多)如果被積函數(shù)中含有根式，則可直接令，將根式消去例分析：含有根式，所以令分析：雖然有代換公式但是，存在分母，采用倒代換，消除分母中的變量x分析：這是利用代換，屬于第二類代換，也可以用后面提到的公式分析：根據(jù)1）如果被積函數(shù)中含有可作變換x=a sint(或x=a cost)想辦法出現(xiàn)，然后通過代換一步步求解補(bǔ)充公式：公式挺多的，熟記可以減少計(jì)算，多做做題，然后可以熟悉一下?lián)Q元法總結(jié)：在解答不定積分的時候，用換元法，要么換d后面的x，要么換前面被積函數(shù)，其目的都是轉(zhuǎn)換成基本形式，然后根據(jù)基本

7、公式輕松得出答案。在第二類換元的時候要注意令被積函數(shù)=u時，要解出dx，就是先解出x=什么，然后對x關(guān)于u求導(dǎo)，詳細(xì)看例題分部積分法利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，則簡單歸納為一個公式：如果是兩個函數(shù)乘積的形式，可以考慮分布積分法例 x 冪函數(shù) cosx三角函數(shù) 保留冪函數(shù)分析：被積函數(shù)是兩個基本函數(shù)即冪函數(shù)和三角函數(shù)的乘積，考慮分部積分。在使用分部積分的時候，主要是將一個基本函數(shù)提到d的后面即對一個基本函數(shù)先求導(dǎo)。 x 冪函數(shù)指數(shù)函數(shù) 保留冪函數(shù)x2冪函數(shù) ex指數(shù)函數(shù) 保留冪函數(shù)像這個題用到了兩遍分部積分法 x冪函數(shù) lnx對數(shù)函數(shù) 保留冪函數(shù) x 冪函數(shù) arctanx 反函數(shù) 保留反函數(shù)這

8、個題涉及到有理式積分，后面會提到，用的方法還是分部積分法到了這，你可能會有點(diǎn)疑問，遇到兩個相乘的，被積函數(shù)應(yīng)該保留哪個，哪個應(yīng)該提到d后面去呢？教你個口訣：反對冪三指 意思是遇到兩個基本函數(shù)相乘，被積函數(shù)保留的考慮順序是反函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)。也不能說絕對這樣，但是對付你學(xué)的應(yīng)該肯定沒問題，我們解答也是按照這么個順序來的。這幾個基本函數(shù)形式應(yīng)該吧，不知道問度娘，我不給你說明了。然后咱在從第一題來看，我用紅字給你標(biāo)出了趁熱打鐵再來幾個典型點(diǎn)的題：到這里兩種方法都整理完了，這里面的題不算太難，你看看，然后自己再做一遍，PPT上面的題有的有些難度，看不懂的就問我，免費(fèi)咨詢，咨詢電后是有理函數(shù)的積分兩個多項(xiàng)式的商稱為有理函數(shù)，又稱有理分式的次數(shù)小于稱為真分式，否則稱為假分式假分式化為真分式 利用多項(xiàng)式除法真分式，如果分母可以分解為兩個多項(xiàng)式的乘積，切沒有公因式，那么它可以分拆成兩個真分式之和，便于計(jì)算例分析：在化成兩個有理式相加的時候，系數(shù)A，B的確定是關(guān)鍵，本題中分母可以化成兩個多項(xiàng)式相乘，取兩個多項(xiàng)式分別為兩個有理式的分母，因?yàn)轭}目中的分子是一次，而分子中也只有一次的x，可確定A B中