現(xiàn)代檢測技術周杏鵬版講義第一章

1、第第1 1章章 檢測技術基礎知識檢測技術基礎知識 u1.1 1.1 檢測系統(tǒng)誤差分析基礎檢測系統(tǒng)誤差分析基礎u1.2 1.2 系統(tǒng)誤差處理系統(tǒng)誤差處理 u1.3 1.3 隨機系統(tǒng)誤差處理隨機系統(tǒng)誤差處理u1.4 1.4 粗大誤差處理粗大誤差處理u1.5 1.5 測量不確定度的評定測量不確定度的評定u1.6 1.6 檢測系統(tǒng)的靜態(tài)特性檢測系統(tǒng)的靜態(tài)特性u1.7 1.7 檢測系統(tǒng)的動態(tài)特性檢測系統(tǒng)的動態(tài)特性 在工程實踐中經(jīng)常碰到這樣的情況：某個新設計、研制、調(diào)試成功的檢測(儀器)系統(tǒng)在實驗室調(diào)試時測得的精度已經(jīng)達到甚至超過設計指標，但一旦安裝到環(huán)境比較惡劣、干擾嚴重的工作現(xiàn)場，其實測精度往往大大低

2、于實驗室能達到的水平,甚至出現(xiàn)嚴重超差和無法正常運行的情況； 從而需要設計人員根據(jù)現(xiàn)場測量獲得的數(shù)據(jù)，結合該檢測系統(tǒng)本身的靜、動態(tài)特性、檢測系統(tǒng)與被測對象現(xiàn)場安裝、連接情況及現(xiàn)場存在的各種噪聲情況等進行綜合分析研究，找出影響和造成檢測系統(tǒng)實際精度下降的各種原因，然后對癥下藥采取相應改進措施，直至該檢測系統(tǒng)其實際測量精度和其它性能指標全部達到設計指標，這就是通常所說的現(xiàn)場調(diào)試過程。現(xiàn)場調(diào)試過程完成后，該檢測系統(tǒng)才算真正研制成功，以及投入正常運行。 測量精度（高、低）從概念上與測量誤差（小、大）相對應，目前誤差理論已發(fā)展成為一門專門學科，涉及內(nèi)容很多，許多高校的相關專業(yè)專門開設誤差理論與數(shù)據(jù)處理課

3、程。為適應不同的讀者需要和便于后面各章的介紹，下面對測量誤差的一些術語、概念、常用誤差處理方法和檢測系統(tǒng)的一般靜態(tài)、動態(tài)特性及主要性能指標作一扼要的介紹。1.1 檢測系統(tǒng)誤差分析基礎檢測系統(tǒng)誤差分析基礎 1.1.1 誤差的基本概念誤差的基本概念 1.1.2 誤差的表示方法誤差的表示方法 1.1.3 檢測儀器的精度等級與容許誤差檢測儀器的精度等級與容許誤差 1.1.4 測量誤差的分類測量誤差的分類 1.1.測量誤差的定義測量誤差的定義 由于檢測系統(tǒng)(儀表)不可能絕對精確，測量原理的局限、測量方法的不盡完善、環(huán)境因素和外界干擾的存在以及測量過程可能會影響被測對象的原有狀態(tài)等，使得測量結果不能準確地

4、反映被測量的真值而存在一定的偏差，這個偏差就是測量誤差。2.2.真值：真值：一個量嚴格定義的理論值通常叫理論真值.(1)(1)約定真值約定真值(2)(2)相對真值相對真值 3.3.標稱值標稱值 計量或測量器具上標注的量值，稱為標稱值。4.4.示值示值 檢測儀器（或系統(tǒng)）指示或顯示（被測參量）的數(shù)值叫示值，也叫測量值或讀數(shù)?；菊`差通常有如下幾種表示形式。1.1.絕對誤差絕對誤差 檢測系統(tǒng)的指示值與被測量的真值之間的代數(shù)差值稱為檢測系統(tǒng)測量值的絕對誤差，表示為 1.1.2 誤差的表示方法誤差的表示方法 式中，真值可為約定真值，也可是由高精度標準器所測得的相對真值。絕對誤差 說明了系統(tǒng)示值偏離真值

5、的大小，其值可正可負，具有和被測量相同的量綱單位。0 xXX(1.1) x系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差: : 將標準儀器（相對樣機，具有更高精度）的測量示值作為近似真值與被校檢測系統(tǒng)的測量示值進行比較，它們的差值就是被校檢測系統(tǒng)測量示值的絕對誤差。如果它是一恒定值，即為檢測系統(tǒng)的“系統(tǒng)誤差”。 此時檢測儀表的測量示值應加以修正，修正后才可得到被測量的實際值 。 CXxXX0(1.2) 式中，數(shù)值C 稱為修正值或校正量。修正值與示值的絕對誤差的數(shù)值相等，但符號相反，即為:XXxC0(1.3) 計量室用的標準器常由高一級的標準器定期校準，檢定結果附帶有示值修正表，或修正曲線 xfc %100%100000XX

6、XXx (1.4) 用相對誤差通常比其絕對誤差能更好地說明不同測量的精確程度，一般來說相對誤差值小，其測量精度就高；相對誤差本身沒有量綱。 2.2.相對誤差相對誤差 檢測系統(tǒng)測量值（即示值）的絕對誤差 與被測參量真值 的比值，稱之為檢測系統(tǒng)測量（示值）的相對誤差 ，常用百分數(shù)表示： x0X%100Lx 3. 3.引用誤差引用誤差 檢測系統(tǒng)指示值的絕對誤差 與系統(tǒng)量程L之比值，稱為檢測系統(tǒng)測量值的引用誤差 。在評價檢測系統(tǒng)的精度或不同的測量質(zhì)量時，利用相對誤差作為衡量標準有時也不很準確。引用誤差 通常仍以百分數(shù)表示。x(1.5) 4 4、最大引用誤差、最大引用誤差( (或滿度最大引用誤差或滿度最

7、大引用誤差) ) 在規(guī)定的工作條件下，當被測量平穩(wěn)增加和減少時，在檢測系統(tǒng)全量程所有測量值引用誤差(絕對值)的最大者，或者說所有測量值中最大絕對誤差(絕對值)與量程的比值的百分數(shù)，稱為該系統(tǒng)的最大引用誤差，符號為 ，可表示為 max%100maxmaxLx（1.6） 最大引用誤差是檢測系統(tǒng)基本誤差的主要形式，故也常稱為檢測系統(tǒng)的基本誤差。它是檢測系統(tǒng)的最主要質(zhì)量指標，可很好地表征檢測系統(tǒng)的測量精確度。 1.1.3 檢測儀器的精度等級與容許誤差檢測儀器的精度等級與容許誤差 1. 1.精度等級精度等級 取最大引用誤差百分數(shù)的分子作為檢測儀器（系統(tǒng)）精度等級的標志，也即用最大引用誤差去掉號和百分號(

8、)后的數(shù)字來表示精度等級，精度等級用符號G表示。 為統(tǒng)一和方便使用，國家標準GB776-76測量指示儀表通用技術條件規(guī)定，測量指示儀表的精度等級G分為0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0 七個等級，這也是工業(yè)檢測儀器（系統(tǒng)）常用的精度等級。例如，量程為01000 V的數(shù)字電壓表，如果其整個量程中最大絕對誤差為1.05V，則有:%105. 0%100100005. 1%100maxmaxLx任何符合計量規(guī)范的檢測儀器（系統(tǒng)）都滿足max%G（1.7） 2.2.容許誤差容許誤差 容許誤差是指檢測儀器在規(guī)定使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍，它也是衡量檢測儀器的最重要的質(zhì)量指標之一。

9、（1 1）工作誤差）工作誤差 工作誤差是指檢測儀器（系統(tǒng)）在規(guī)定工作條件下正常工作時可能產(chǎn)生的最大誤差。（2 2）固有誤差）固有誤差 當環(huán)境和各種試驗條件均處于基準條件下檢測儀器所反映的誤差稱固有誤差。（3 3）影響誤差）影響誤差 影響誤差是指僅有一個參量處在檢測儀器（系統(tǒng)）規(guī)定工作范圍內(nèi)，而其它所有參量均處在基準條件時檢測儀器（系統(tǒng)）所具有的誤差.（4 4）穩(wěn)定性誤差）穩(wěn)定性誤差 穩(wěn)定性誤差是指儀表工作條件保持不變的情況下，在規(guī)定的時間內(nèi)，檢測儀器（系統(tǒng)）各測量值與其標稱值間的最大偏差。 精度等級高低僅說明該檢測儀表的引用誤差最大值的大小，它決不意味著該儀表某次實際測量中出現(xiàn)的具體誤差值是多

10、少。請看下面例子。 例1.1被測電壓實際值大約為21.7 V，現(xiàn)有1.5級、量程為030 V的A表，1.5級、量程為050 V的B表，1.0級、量程為050 V的C表，0.2級、量程為0360 V的D表，四種電壓表，請問選用哪種規(guī)格的電壓表進行測量所產(chǎn)生的測量誤差較小? 解：根據(jù)（1-6）式分別用四種表進行測量由此可能產(chǎn)生的最大絕對誤差分別如下所示。A表有, VLx45. 030%5 . 1maxmaxB表有, VLx75. 050%5 . 1maxmaxC表有, VLx50. 050%0 . 1maxmaxD表有, VLx72. 0360%2 . 0maxmax 答：四者比較，選用A表進行測

11、量所產(chǎn)生的測量誤差通常較小。 1.1.4 測量誤差的分類測量誤差的分類 從不同的角度，測量誤差可有不同的分類方法。根據(jù)測量誤差的性質(zhì)(或出現(xiàn)的規(guī)律)產(chǎn)生的原因通?？煞譃橄到y(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差三類。1.1.按誤差的性質(zhì)分類按誤差的性質(zhì)分類(1)(1)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 在相同條件下，多次重復測量同一被測參量時，其測量誤差的大小和符號保持不變；或在條件改變時，誤差按某一確定的規(guī)律變化，這種測量誤差稱為系統(tǒng)誤差。其誤差值恒定不變的又稱為定值系統(tǒng)誤差，其誤差值變化的則稱為變值系統(tǒng)誤差。變值系統(tǒng)誤差又可分為累進性的、周期性的以及按復雜規(guī)律變化的幾種。 (2)(2)隨機誤差隨機誤差 在相同條件下多次重

12、復測量同一被測參量時，測量誤差的大小與符號均無規(guī)律變化，這類誤差稱為隨機誤差。 隨機誤差表現(xiàn)測量結果的分散性，通常用精密度表征隨機誤差的大小。隨機誤差越大，精密度越低；反之，精密度就越高。測量的精密度高，亦即表明測量的重復性好。(3)(3)粗大誤差粗大誤差 粗大誤差是指顯然與事實不相符的誤差. 當系統(tǒng)誤差遠大于隨機誤差，此時按純粹系統(tǒng)誤差處理；系統(tǒng)誤差很小，已經(jīng)校正，則可按純粹隨機誤差處理；系統(tǒng)誤差和隨機誤差不多，此時應分別按不同方法來處理。 精度是反映檢測儀器的綜合指標，精度高必須做到準確度高、精密度也高，也就是說必須使系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小。2.2.按被測參量與時間的關系分類按被測參量與時

13、間的關系分類 按被測參量與時間的關系可分為靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差兩大類。習慣上，在被測參量不隨時間變化時所測得的誤差稱為靜態(tài)誤差；在被參測量隨時間變化過程中進行測量時所產(chǎn)生的附加誤差稱為動態(tài)誤差。 還有按產(chǎn)生誤差的原因把誤差分為由于測量原理、方法的不盡完善，或對理論特性方程中的某些參數(shù)作了近似或略去了高次項而引起原理性誤差(也叫方法誤差)與因檢測儀器(系統(tǒng))在結構上，在制造、調(diào)試工藝上不盡合理、完善而引起的誤差叫構造誤差構造誤差(也叫工具誤差)等。 1.2 1.2 系統(tǒng)誤差處理系統(tǒng)誤差處理 在一般工程測量中，系統(tǒng)誤差與隨機誤差總是同時存在的，但系統(tǒng)誤差往往遠大于隨機誤差。1.2.1 1.2.1 系

14、統(tǒng)誤差的特點及常見變化規(guī)律系統(tǒng)誤差的特點及常見變化規(guī)律 系統(tǒng)誤差的特點是測量誤差出現(xiàn)具有規(guī)律性，其產(chǎn)生原因一般可通過實驗和分析研究確定與消除。 系統(tǒng)誤差（這里用 表示）隨測量時間變化的幾種常見關系曲線如圖1-1所示。 x圖1-1系統(tǒng)誤差的幾種常見關系曲線 曲線1表示測量誤差的大小與方向不隨時間變化的恒差型系統(tǒng)誤差；曲線2為隨時間以某種斜率呈線性變化的線性變差型系統(tǒng)誤差；曲線3表示隨時間作某種周期性變化的周期變差型系統(tǒng)誤差；曲線4為上述三種關系曲線某種組合形態(tài)，呈現(xiàn)復雜規(guī)律變化的復雜變差型系統(tǒng)誤差。1.2.2 1.2.2 系統(tǒng)誤差的判別和確定系統(tǒng)誤差的判別和確定1.1.恒差系統(tǒng)誤差的確定恒差系統(tǒng)

15、誤差的確定(1(1）實驗比對）實驗比對 對于不隨時間變化的恒差型系統(tǒng)誤差，通?？梢圆捎猛ㄟ^實驗比對的方法發(fā)現(xiàn)和確定。實驗比對的方法又可分為標準器件法（簡稱標準件法）和標準儀器法（簡稱標準表法）兩種。（2 2）原理分析與理論計算）原理分析與理論計算 對一些因轉換原理、檢測方法或設計制造方面存在不足而產(chǎn)生的恒差型系統(tǒng)誤差可通過原理分析與理論計算來加以修正。（3 3）改變外界測量條件）改變外界測量條件 2.2.變差系統(tǒng)誤差的確定變差系統(tǒng)誤差的確定 變差系統(tǒng)誤差是指測量系統(tǒng)誤差按某種確定規(guī)律變化?？刹捎脷埐钣^察法或利用某些判斷準則來發(fā)現(xiàn)和確定是否存在變差系統(tǒng)誤差。(1)(1)殘差觀察法殘差觀察法 當系

16、統(tǒng)誤差比隨機誤差大時，通過觀察和分析測量數(shù)據(jù)及各測量值與全部測量數(shù)據(jù)算術平均值之差剩余偏差（即殘差），常常能直接發(fā)現(xiàn)是否為按某種規(guī)律變化的變差系統(tǒng)誤差。 (2)(2)馬利科夫準則馬利科夫準則 馬利科夫準則適用于判斷、發(fā)現(xiàn)和確定線性系統(tǒng)誤差。此準則的實際操作方法是將在同一條件下順序重復測量得到的一組測量值 按序排列，并根據(jù)（1-8）式 12nXXX、niiiiiXXXnXv11（1-8） 式中 第次測量值； 測量次數(shù)； 全部n次測量值的算術平均值，簡稱測量均值； 第次測量的殘差。求出它們相應的殘差 , 并將這些殘差序列以中間 為界分為前后兩組分別求和，然后把兩組殘差和相減，即iXnXi12in，

17、 ， ，k（1-9） 1kniiiisD 當為n偶數(shù)時，取 、 ；當n為奇數(shù)時，取 。2nk 12ns 12nks 若D近似等于零，說明測量中不含線性系統(tǒng)誤差；若D明顯不為零（且大于 ），則表明這組測量中存在線性系統(tǒng)誤差。 i(3)(3)阿貝阿貝赫梅特準則赫梅特準則 阿貝赫梅特準則適用于判斷、發(fā)現(xiàn)和確定周期性系統(tǒng)誤差。此準則的實際操作方法也是將在同一條件下順序重復測量得到的一組測量值 按序排列，并根據(jù)（1-8）式求出它們相應的殘差 。計算12nXXX、12n、nnniiivvvvvvvvA13221111（1-10） 如果（1-10）式 成立（ 為本測量數(shù)據(jù)序列方差），則表明測量值中存在周期性

18、系統(tǒng)誤差。 21An2（4 4）正態(tài)分布比較判別法）正態(tài)分布比較判別法 當同一條件下順序重復測量得到的一組測量值不存在變差系統(tǒng)誤差時，其各測量值與均值的偏差一般都符合隨機誤差分布特點即服從正態(tài)分布。若誤差分布明顯偏離正態(tài)分布，便可根據(jù)其偏離程度和偏離形態(tài)判斷變差系統(tǒng)誤差。 1.1.針對產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因采取對應針對產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因采取對應措施措施 對測量過程中可能產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差的環(huán)節(jié)作仔細分析，尋找產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因，并采取相應針對性措施是減小和消除系統(tǒng)誤差最基本和最常用的方法。2.2.采用修正方法減小恒差系統(tǒng)誤差采用修正方法減小恒差系統(tǒng)誤差 1.2.3 1.2.3 減小和消除系

19、統(tǒng)誤差的方法減小和消除系統(tǒng)誤差的方法 通常的做法是根據(jù)在測量前預先通過標準器件法或標準儀器法比對（計算）得到該檢測儀器系統(tǒng)誤差的修正值，制成系統(tǒng)誤差修正表；以后用該檢測儀器進行具體測量時可人工或由儀器自動地將測量值與修正值相加，從而使最后獲得的測量結果（數(shù)據(jù)）中大大減小或基本消除了該檢測儀器原先存在的系統(tǒng)誤差。 3.3.采用交叉讀數(shù)法減小線性系統(tǒng)誤差采用交叉讀數(shù)法減小線性系統(tǒng)誤差 交叉讀數(shù)法也稱對稱測量法，是減小線性系統(tǒng)誤差的有效方法。若選定整個測量時間范圍內(nèi)的某時刻為中點，則對稱于此點的各對測量值的和都相同。根據(jù)這一特點，可在時間上將測量順序等間隔對稱安排，取各對稱點兩次交叉讀入測量示值，然

20、后取其算術平均值作為測量值，即可有效地減小測量線性系統(tǒng)誤差。 4.4.采用半周期法減小周期性系統(tǒng)誤差采用半周期法減小周期性系統(tǒng)誤差 對周期性系統(tǒng)誤差，可以相隔半個周期進行一次測量，如圖1-2所示。 圖1-2 半周期法讀數(shù)示意圖 取兩次讀數(shù)的算術平均值，即可有效地減小周期性系統(tǒng)誤差。因為相差半周期的兩次測量其誤差在理論上具有大小相等、符號相反的特征，所以這種方法在理論上能很好地減小和消除周期性系統(tǒng)誤差。 13 隨機系統(tǒng)誤差處理隨機系統(tǒng)誤差處理 系統(tǒng)誤差的特點是測量誤差出現(xiàn)的規(guī)律性和產(chǎn)生原因一般可通過實驗和分析研究確定。可采取相應和有效的措施把其削弱和減小到可忽略的程度。 假定對某個被測參量進行等

21、精度(各種測量因素相同)重復測量n次，其測量示值分別為 則各次測量的測量偏差即隨機誤差（假定已消除系統(tǒng)誤差）分別為12inXXXX，011XXx1.3.1 1.3.1 隨機誤差的分布規(guī)律隨機誤差的分布規(guī)律022XXx0XXxii0XXxnn式中 真值。 把各次測量偏差作平面圖，其橫坐標表示為偏差幅值（有正負），縱坐標標為偏差出現(xiàn)的次數(shù)。0X 大量實驗證明，上述隨機誤差整體上均具有下列統(tǒng)計特性：（1）有界性（2）單峰性 （3）對稱性（4）抵償性niinx10lim 所以，在等精度重復測量次數(shù)足夠大時，其算術平均值 就是其真值 較理想的替代值。 X0X1.1.正態(tài)分布正態(tài)分布 高斯于1795年提出

22、連續(xù)型正態(tài)分布隨機變量 的概率密度函數(shù)表達式為： x 22221xxexxp（1-12） 式中 數(shù)學期望值； 自然對數(shù)的底； 隨機變量 的均方根差或稱標準偏差（簡稱標準差）； e xx 21limniinxxn（1-13） 2x隨機變量的方差，數(shù)學上通常用D表示； 隨機變量的個數(shù)。 n 從概率論可知， 是決定正態(tài)分布曲線的兩個特征參數(shù)。其中 影響隨機變量分布的集中位置，或稱正態(tài)分布的位置特征參數(shù)； 表征隨機變量的分散程度，故稱為正態(tài)分布的離散特征參數(shù)。和圖1-3 對正態(tài)分布的影響示意圖 圖1-4 對正態(tài)分布的影響示意圖 在已經(jīng)消除系統(tǒng)誤差條件下的等精度重復測量中，當測量數(shù)據(jù)足夠多，其測量隨機誤

23、差大都呈正態(tài)分布規(guī)律，因而完全可以參照式（1-12）的高斯方程對測量隨機誤差進行比較分析。這時測量隨機誤差的正態(tài)分布概率密度函數(shù)為kkxxdexpxx)()(2)(22)()(21（1-14） 式中 隨機誤差變量，相當于高斯方程中的變量 ；這里 ，其中 為某個測量示值， 為真值； e自然對數(shù)的底； xx0XXxiiiX0Xx隨機誤差的標準偏差（簡稱標準差）； （1-15）,即隨機誤差的方差； (1-16)nxnXXxniinniin12120limlim22xniinniinxnXXnx1212021lim1lim方差的量綱是測量數(shù)據(jù)量綱的平方，所以在測量結果的表示中不是很方便，因而工程上經(jīng)常

24、不用方差而使用方差的正的算術平方根標準偏差（簡稱標準差）。2.2.均勻分布均勻分布 從誤差分布圖上看，均勻分布的特點是：在某一區(qū)域內(nèi)，隨機誤差出現(xiàn)的概率處處相等，而在該區(qū)域外隨機誤差出現(xiàn)的概率為零。均勻分布的概率密度函數(shù) 為 120a aaa （1-17） 式中 隨機誤差 的極限值。 均勻分布的隨機誤差其概率密度曲線呈矩形，如圖1-5所示。 a圖1-5 均勻分布曲線 1.3.2 1.3.2 測量數(shù)據(jù)的隨機誤差估計測量數(shù)據(jù)的隨機誤差估計1.1.測量真值估計測量真值估計在實際工程測量中，測量次數(shù)n不可能無窮大，而測量真值 通常也不可能已知。因此，公式（1-14）、（1-15）和（1-16）僅是一組

25、不能實際使用的理論公式。根據(jù)對已消除系統(tǒng)誤差的有限等精度測量數(shù)據(jù)樣本 ，求取其算術平均值 ，即0X12inXXXX，X11niiXXn（1-18） 這里算術平均值 是被測參量真值 （或數(shù)學期望 ）的最佳估計值，也是實際測量中比較容易得到的真值近似值。這也被稱作算術平均值原理。 X0X2.2.測量值的均方根誤差估計測量值的均方根誤差估計對已消除系統(tǒng)誤差的一組n個（n是有限值）等精度測量數(shù)據(jù) ，采用其算術平均值 近似代替測量真值 后，總會有偏差，對此目前被廣泛使用的貝塞爾（Bessel）公式被認為是解決上述問題工具。貝塞爾公式12inXXXX，X0X 2211nniiiiXXxdd（1-19） 式

26、中 第 次測量值； 測量次數(shù)，這里為一有限值； 全部 次測量值的算術平均值，簡稱測量均值； 第 次測量的殘差； 標準偏差 的估計值，亦稱實驗標準偏差或重復性標準差； iXinXnii x x表明n次測量殘差 并不是數(shù)n個獨立變量，而只有n-1個獨立變量。故式（1-19）中自由度 ，而不是n。12n，1dn d 自由度，這里 。自由度d反映被測參量個數(shù)t與測量次數(shù)n的關系，即 。從另一個角度，因為 1dndnt110nniiiiXX3.3.算術平均值的標準差算術平均值的標準差 嚴格地講，貝塞爾公式只有當 時， 、 才成立。如果對某一被測參量分別進行一系列有限的n次等精度測量，則它們的算術平均值

27、也是一個隨機變量，即每一有限次測量獲得的算術平均值 本身也具有一定的隨機性。這一點從算術平均值的特性上也不難理解，因為算術平均值是一系列測量值的數(shù)學期望 的估計值，不是真值。既然是估計值，就一定存在差值，而且這偏差值是隨機誤差。我們先分析算術平均值的方差：n xx0XXXX22211niiXXXn22221111nniiiiXXnn因為各次測量均為等精度獨立測量，故有 222212nXXXX這樣 XnXnnX222211（1-20） 算術平均值的標準差為 1XXn（1-21） 在實際工作中，測量次數(shù)n只能是一個有限值，為了不產(chǎn)生誤解，建議用算術平均值 標準差和方差的估計值 與來 代替式（1-2

28、1）、X X2X（1-20）中的 與 。X2X4.4.（正態(tài)分布時）測量結果的置信度（正態(tài)分布時）測量結果的置信度 由上述可知，可用測量值 的算術平均值 作為數(shù)學期望 的估計值，即真值 的近似值。 其分布離散程度可用貝塞爾公式等方法求出的重復性標準差（標準偏差的估計值）來表征度 iXX0XX x測量值 與真值 （或數(shù)學期望 ）偏差 的置信區(qū)間取為 的若干倍，即：iX0Xxkx（1-22）式中 k置信系數(shù)(或稱置信因子)，可看作是描述在某一個置信概率情況下，標準偏差 與誤差限之間的一個系數(shù)。它的大小不但與概率有關，而且與概率分布有關。 對于正態(tài)分布，根據(jù)式(114)，可得測量 誤差落在某區(qū)間的概

29、率表達式 x kkxxdexpxx)()(2)(22)()(21（1-23） 式中 。為表示方便，這里令 則有：kx x（1-24） 置信系數(shù)k值確定之后，則置信概率便可確定。由式（1-24），當k分別選取1、2、3時，即測量誤差 分別落入正態(tài)分布置信區(qū)間 的概率值分別如下： x23、 0.6827ppd 220.9545ppd 330.9973ppd另外，當置信區(qū)間擴大到 時，則有圖1-6為上述不同置信區(qū)間的概率分布示意圖。 至 1ppd圖1-6不同置信區(qū)間的概率分布示意圖 為表達和計算方便，對（1-24）式作積分變換，令 則有 z ddz 而從 的積分限 相應得到 的積分限為 ，將上述關系

30、代入（1-24）式得d,kkdzKK， 2212zKKpKzKedz22022zKedzK （1-25） 式中 稱為拉普拉斯函數(shù)，具體計算比較復雜。在實際工程應用中，可查前人已做好的拉普拉斯函數(shù)專用表格。K 這里（1-25）式表示的置信區(qū)間是以測量數(shù)據(jù)標準差 作基本單位的數(shù)值區(qū)間，置信概率 與 其物理意義完全一樣。pKzKkxkp例1.2 對某電池作無系統(tǒng)誤差的等精度測量，已知測得的一系列測量數(shù)據(jù) 服從正態(tài)分布，且標準差 V，試求被測電池電壓的真值 落在區(qū)間 的概率是多少。iV0.0250V0.040.04iiVV，解 已知 V， V 所以 0.0250.04k/0.04/0.0251.6Kk

31、 可得到00.040.040.8904iip VVV 綜上所述，對于正態(tài)分布，某次測量值 與真值 （或數(shù)學期望 ）偏差（測量誤差）： 的可能性為68.3%，而測量誤差可能性為31.7%；測量誤差的可能性為95.4%時，而測量誤差的可能性為4.6%；測量誤差 的可能性則已高達99.7%，而測量誤差的可能性僅為0.3%。亦即每1000次測量中只有3次測量誤差的絕對值大于。而等精度測量次數(shù)一般很少超過幾十次，所以通?？梢哉J為測量隨機誤差絕對值大于的誤差幾乎是不可能出現(xiàn)。因此，對于正態(tài)分布的測量數(shù)據(jù)一般可以用誤差限來判別某次測量值的誤差是否“正?！薄?iX0Xxx2x2x3x3x333工程上，通常把測

32、量誤差絕對值大于的測量值作為壞值，而予以剔除（此剔除原則稱為拉伊達準則）；也就是說把測量誤差作為粗大誤差而予以剔除。當?shù)染葴y量次數(shù)n大于30次時，其測量誤差趨近于正態(tài)分布；因而可以用以上方法來估計測量誤差的大小和相應的置信概率。但工程上，為保證等精度測量條件和提高測量效率，一般測量次數(shù)僅為幾次到一二十次，此時因測量樣本小，其誤差已不符合正態(tài)分布，而成為“t分布”。33xnt分布的概率密度函數(shù)為： t2222,12ndtt dddd （1-26） 式中，這里為測量讀數(shù)的平均值，是真值，是的估計值00n XXtXXnX0X自由度； n測量次數(shù)；伽馬函數(shù)。1dn 10 xtxte dt5.5.小樣

33、本測量結果的分布與置信度小樣本測量結果的分布與置信度由確定的x值，可通過查數(shù)學手冊伽馬函數(shù)表獲得值。對有限次等精度小樣本測量數(shù)據(jù)服從t分布時，可給定區(qū)間的概率積分為 xtXKX，tXKXtp XKX，ttKtKXKXtd dt，（1-27） t分布的概率密度曲線如圖17所示。圖1-7 t分布概率密度曲線圖 定性分析定性分析：就是對測量環(huán)境、測量條件、測量設備、測量步驟進行分析，看是否有某種外部條件或測量設備本身存在突變而瞬時破壞等精度測量條件的可能，測量操作是否有差錯或等精度測量過程中是否存在其它可能引發(fā)粗大誤差的因素；也可由同一操作者或另換有經(jīng)驗操作者再次重復進行前面的（等精度）測量，然后再

34、將兩組測量數(shù)據(jù)進行分析比較，或再與由不同測量儀器在同等條件下獲得的結果進行對比；以分析該異常數(shù)據(jù)出現(xiàn)是否“異?！?，進而判定該數(shù)據(jù)是否為粗大誤差。1.4 1.4 粗大誤差處理粗大誤差處理定量判斷定量判斷：就是以統(tǒng)計學原理和誤差理論相關專業(yè)知識為依據(jù)，對測量數(shù)據(jù)中的異常值的“異常程度”進行定量計算，以確定該異常值是否為應剔除的壞值。這里所謂的定量計算是相對上面的定性分析而言，它是建立在等精度測量符合一定的分布規(guī)律和置信概率基礎上的，因此并不是絕對的。下面介紹兩種工程上常用的粗大誤差判斷準則。 1 1拉伊達拉伊達( (又譯為萊因達又譯為萊因達) )準則準則拉伊達準則是依據(jù)對于服從正態(tài)分布的等精度測量

35、，其某次測量誤差大于的可能性僅為 。因此，把測量誤差大于標準誤差（或其估計值）3倍都作為測量壞值予以舍棄。由于等精度測量次數(shù)不可能無限多，因此，工程上實際應用的拉伊達準則表達式為： （1-28） 0iXX30.27%LkkKXXX3式中 被疑為壞值的異常測量值；包括此異常測量值在內(nèi)所有測量值的算術平均值；包括此異常測量值在內(nèi)所有測量值的標準誤差估計值；kXX拉伊達準則的鑒別值。3LK當某個可疑數(shù)據(jù)的時，則認為該測量數(shù)據(jù)是壞值，應予剔除。剔除該壞值后，剩余測量數(shù)據(jù)還應繼續(xù)計算和各，按（1-28）式繼續(xù)計算、判斷和剔除其它壞值，直至不再有符合（1-28）式的壞值為止。2 2格拉布斯格拉布斯(Gru

36、bbs)(Grubbs)準則準則 格拉布斯準則當小樣本測量數(shù)據(jù)中，滿足kXkX33kX xanKXXXGkk,(1-29) 式中 被疑為壞值的異常測量值；包括此異常測量值在內(nèi)所有測量值的算術平均值；包括此異常測量值在內(nèi)所有測量值的標準誤差估計值；格拉布斯準則的鑒別值；測量次數(shù)；危險系數(shù)，又稱超差概率；它與置信概率的關系為。時，則認為是含有粗大誤差的異常測量值，應予以剔除。格拉布斯準則的鑒別值是和測量次數(shù)n、危險系數(shù)相關數(shù)值，可查相應的數(shù)表獲得。kXX x,GKn anaP1aP kX,GKn a1.5.1 1.5.1 測量不確定度的主要術語測量不確定度的主要術語 根據(jù)計算及表示方法的不同，有以

37、下幾個專用術語。1.1.測量不確定度測量不確定度 測量不確定度，簡稱不確定度；它表示測量結果(測量值)不能肯定的程度，是可定量用于表達被測參量測量結果分散程度的參數(shù)。這個參數(shù)可以用標準偏差表示，也可以用標準偏差的倍數(shù)或置信區(qū)間的半寬度表示。1.5 1.5 測量不確定度的評定測量不確定度的評定 2.2.標準不確定度標準不確定度 用被測參量測量結果概率分布標準偏差表示的不確定度就稱為標準不確定度，用符號表示。3.3.合成標準不確定度合成標準不確定度 由各不確定度分量合成的標準不確定度，稱為合成標準不確定度。4.4.擴展不確定度擴展不確定度 擴展不確定度是由合成標準不確定度的倍數(shù)表示的測量不確定度。

38、u1. A1. A類標準不確定度的評定類標準不確定度的評定 2 2標準不確定度的標準不確定度的B B類評定方法類評定方法 3. 3. 合成標準不確定度的評定方法合成標準不確定度的評定方法 4 4擴展不確定度的評定方法擴展不確定度的評定方法 1.5.2 1.5.2 不確定度的評定不確定度的評定1.5.3 1.5.3 測量結果的表示和處理方法測量結果的表示和處理方法 設被測量 X的估計值x為，估計值所包含的已確定系統(tǒng)誤差分量為 ，估計值的不確定度為U，則被測量X的測量結果可表示為：xxXxU(1-40) 或者 UxXUxxx(1-41) 如果對已確定測量系統(tǒng)誤差分量為 0，也就是說測量結果的估計值

39、X不再含有可修正的系統(tǒng)誤差，而僅含有不確定的誤差分量，此時，測量結果可用下式表示： x （1-42）或者 （1-43）用上述兩種形式給出測量結果時，通常應同時指明的大小或測量結果的概率分布及置信概率等。在工程測量實踐中，常見的測量結果的表達形式有：(0.90) (0.95，可缺省不標注) (0.99)Xx Ux UXx UXx UXxUXx U（1）根據(jù)被測量的定義和送檢樣機或樣品所要求的測量條件，明確測量原理、測量標準，選擇相應的測量方法、測量設備，建立被測量的數(shù)學模型等；（2）分析并列出對測量結果有較為明顯影響的不確定度來源，每個來源為一個標準不確定度分量；（3）定量評定各不確定度分量，并

40、特別注意采用A類評定方法時要先用恰當?shù)姆椒ㄒ来翁蕹龎闹担唬?）計算測量結果合成標準不確定度和擴展不確定度;（5）完成測量結果報告。 .6.6檢測系統(tǒng)的靜態(tài)特性檢測系統(tǒng)的靜態(tài)特性 人們在設計或選用檢測系統(tǒng)時，最主要的因素是檢測系統(tǒng)本身的基本特性能否實現(xiàn)及時、真實地（達到所需的精度要求）反映被測參量（在其變化范圍內(nèi)）的變化。1.6.1 1.6.1 概述概述 檢測系統(tǒng)的基本特性一般分為兩類：靜態(tài)特性和動態(tài)特性。 研究和分析檢測系統(tǒng)的基本特性，主要有以下三個方面的用途。 第一，也是最主要的用途，是通過檢測系統(tǒng)已知基本特性由測量結果推知被測參量準確值； 第二，用于對多環(huán)節(jié)構成的較復雜檢測系統(tǒng)進行測量結果

41、及（綜合）不確定度分析，即根據(jù)該檢測系統(tǒng)各組成環(huán)節(jié)已知的基本特性，依已知輸入信號的流向，逐級推斷和分析各環(huán)節(jié)輸出信號及其不確定度。 第三，根據(jù)測量得到的（輸出）結果和已知輸入信號，推斷和分析出檢測系統(tǒng)的基本特性。1.6.2 1.6.2 檢測系統(tǒng)靜態(tài)特性方程與特性曲線檢測系統(tǒng)靜態(tài)特性方程與特性曲線 一般檢測系統(tǒng)的靜態(tài)特性均可用一個統(tǒng)一（但具體系數(shù)各異）的代數(shù)方程，即通常稱作靜態(tài)特性方程來描述檢測系統(tǒng)對被測參量的輸出與輸入間的關系，即 (1-44)式中 x 輸入量； y（x） 輸出量； 常系數(shù)項。 2012ininy xaa xa xa xa x01aa， ，1.6.3 1.6.3 檢測系統(tǒng)靜態(tài)特

42、性的主要參數(shù)檢測系統(tǒng)靜態(tài)特性的主要參數(shù) 靜態(tài)特性表征檢測系統(tǒng)在被測參量處于穩(wěn)定狀態(tài)時的輸出輸入關系。衡量檢測系統(tǒng)靜態(tài)特性的主要參數(shù)是指測量范圍、精度等級靈敏度線性度滯環(huán)、重復性、分辨力靈敏限、可靠性等。1.1.測量范圍測量范圍 每個用于測量的檢測儀器都有規(guī)定的測量范圍，它是該儀表按規(guī)定的精度對被測變量進行測量的允許范圍。測量范圍的最小值和最大值分別稱為測量下限和測量上限，簡稱下限和上限。2.2.精度等級精度等級3.3.靈敏度靈敏度靈敏度是指測量系統(tǒng)在靜態(tài)測量時，輸出量的增量與輸入量的增量之比。即 對線性測量系統(tǒng)來說，靈敏度為:xySx0limxySx0lim(1-47)(1-46)亦即線性測量

43、系統(tǒng)的靈敏度是常數(shù)，可由靜態(tài)特性曲線（直線）的斜率來求得，如圖1-8（a）所示。式中 為Y和X軸的比例尺， 為相應點切線與X軸間的夾角。非線性測量系統(tǒng)其靈敏度是變化的。如圖1-8（b）所示。 yxmm、（a）線性系統(tǒng)靈敏度示意圖（b）非線性系統(tǒng)靈敏度示意圖圖1-8 靈敏度示意圖4.4.非線性非線性非線性通常也稱為線性度。線性度就是反映測量系統(tǒng)實際輸出、輸入關系曲線與據(jù)此擬合的理想直線 的偏離程度。通常用最大非線性引用誤差來表示。即 01y xaa x %100.maxSFLYL（1-48） 式中 線性度；校準曲線與擬合直線之間的最大偏差； 以擬合直線方程計算得到的滿量程輸出值。LmaxL.F

44、SY（1 1）理論線性度及其擬合直線）理論線性度及其擬合直線 理論線性度也稱絕對線性度。它以測量系統(tǒng)靜態(tài)理想特性 作為擬合直線，如圖1-9中的直線1（曲線2為系統(tǒng)全量程多次重復測量平均后獲得的實際輸出/輸入關系曲線；曲線3為系統(tǒng)全量程多次重復測量平均后獲得的實際測量數(shù)據(jù)，采用根據(jù)最小二乘法方法擬合得到的直線）。此方法優(yōu)點是簡單、方便和直觀；缺點是多數(shù)測量點的非線性誤差相對都較大。 y xkx圖1-9最小二乘和理論線性度及其擬合直線 （2 2）最小二乘線性度及其擬合直線）最小二乘線性度及其擬合直線最小二乘法方法擬合直線方程為 。如何科學、合理地確定系數(shù)和是解決問題的關鍵。設測量系統(tǒng)實際輸出/輸入

45、關系曲線上某點其輸入、輸出分別，在輸入同為情況下，最小二乘法方法擬合直線上得到輸出值為 兩者偏差為 最小二乘擬合直線的原則是使確定的N個特征測量點的均方差 01y xaa x0a1aiixy、ix 01iiy xaa x iiiiiyxaayxyL10NiiiNiiaafyxaaNLN11021012,11（1-49） 01f aa，0a1a0100f aaa，0110f aaa，01f aa，0a1a2111102211NNNNiiiiiiiiiNNiiiixyxx yaNxx為最小值，為此必有關于和的偏導數(shù)為零，即把表達式代入上述兩方程整理可得到關于最小二乘擬合直線待定系數(shù)和的兩個計算表達

46、式（1-50）11112211NNNiiiiiiiNNiiiiNx yxyaNxx5.5.遲滯遲滯遲滯，又稱滯環(huán)，它說明傳感器或檢測系統(tǒng)的正向(輸入量增大)和反向(輸入量減少)時輸出特性的不一致程度，亦即對應于同一大小的輸入信號，傳感器或檢測系統(tǒng)在正、反行程時的輸出信號的數(shù)值不相等，見圖1-10所示 。 圖1-10 遲滯特性示意圖遲滯誤差通常用最大遲滯引用誤差來表示，即 (1-51)式中 最大遲滯引用誤差；（輸入量相同時）正反行程輸出之間最大絕對偏差；測量系統(tǒng)滿量程值。在多次重復測量時,應以正反程輸出量平均值間的最大遲滯差值來計算。遲滯誤差通常是由于彈性元件、磁性元件以及摩擦、間隙等原因所產(chǎn)生

47、，一般需通過具體實測才能確定。 %100.maxSFHYHHmaxH.F SY6.6.重復性重復性重復性表示檢測系統(tǒng)或傳感器在輸入量按同一方向(同為正行程或同為反行程)作全量程連續(xù)多次變動時所得特性曲線不一致的程度(見圖1-11)。圖1-11 檢測系統(tǒng)重復性示意圖 特性曲線一致好, 重復性就好,誤差也小。重復性誤差是屬于隨機誤差性質(zhì)的,測量數(shù)據(jù)的離散程度是與隨機誤差的精密度相關的,因此應該根據(jù)標準偏差來計算重復性指標。重復性誤差可按下式計算: (1-52) 式中 重復性誤差；為置信系數(shù), 對正態(tài)分布，當Z取2時, 置信概率為0.95即95%，Z取3時,概率為99.73%；對測量點和樣本數(shù)較少時

48、，可按t分布根據(jù)表1.2選取所需置信概率所對應的置信系數(shù)。Rmax.100%RF SzYR正、反向各測量點標準偏差的最大值；測量系統(tǒng)滿量程值。式(1-52)中標準偏差 的計算方法可按貝塞爾公式或級差公式計算。按貝塞爾公式計算，則通常應先算出各個校準級上的正、反行程的子樣標準偏差，即 max.F SYmax2.111nz jz iz jiyyn（1-53）2.111nF jF iF jiyyn式中 第j次測量正行程和反行程測量數(shù)據(jù)的子樣標準偏差(j1M)；第j次測量上正行程和反行程的第i個測量數(shù)據(jù)(i1一n)；. z j.F j.z iF iyy、第j次測量上正行程和反行程測量數(shù)據(jù)的算術平均值。

49、取上述 (共2M個測量點)中的最大值及所選置信系數(shù)和量程便可按式（1-52）計算得到測量系統(tǒng)的重復性誤差。.z jF jyy、. z j.F jmaxR7.7.分辨力分辨力 能引起輸出量發(fā)生變化時輸入量的最小變化量稱為檢測系統(tǒng)的分辨力。許多測量系統(tǒng)在全量程范圍內(nèi)各測量點的分辨力并不相同，為統(tǒng)一，常用全量程中能引起輸出變化的各點最小輸入量中的最大值相對滿量程輸出值的百分數(shù)表示系統(tǒng)的分辨率 ，即： （1-54） maxXSFYXk.max8.8.失靈區(qū)失靈區(qū)失靈區(qū)又叫死區(qū)、鈍感區(qū)、閾值等，它指檢測系統(tǒng)在量程零點（或起始點）處能引起輸出量發(fā)生變化的最小輸入量。9.9.可靠性可靠性衡量檢測系統(tǒng)可靠性的

50、指標有： u（1）平均無故障時間MTBFu（2）可信任概率P u（3）故障率MTBFAMTBFMTTR（1-55）檢測系統(tǒng)使用方面的指標有：操作維修是否方便，能否可靠安全運行以及抗干擾與防護能力的強弱、重量、體積的大小、自動化程度的高低等。 （4）有效度 衡量檢測系統(tǒng)可靠性的綜合指標是有效度，對于可排除故障、修復后又可投入正常工作的檢測系統(tǒng)，其有效度A定義為平均無故障時間與平均無故障時間、平均故障修復時間MTTR（Mean Time to Repair）和的比值，即 ：1.7 1.7 檢測系統(tǒng)的動態(tài)特性檢測系統(tǒng)的動態(tài)特性 當被測（輸入量、激勵）隨時間變化時，因系統(tǒng)總是存在著機械的、電氣的和磁的

51、各種慣性，而使檢測系統(tǒng)（儀器）不能實時無失真的反映被測量值。這時的測量過程就稱為動態(tài)測量。測量系統(tǒng)的動態(tài)特性是指在動態(tài)測量時，輸出量與隨時間變化的輸入量之間的關系，而研究動態(tài)特性時必須建立測量系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型。1.7.1 1.7.1 測量系統(tǒng)的（動態(tài)）數(shù)學模型測量系統(tǒng)的（動態(tài)）數(shù)學模型測量系統(tǒng)的動態(tài)特性的數(shù)學模型主要有三種形式：時域分析用的微分方程；頻域分析用的頻率特性；復頻域用的傳遞函數(shù)。1.1.微分方程微分方程對于線性時不變的測量系統(tǒng)來說，表征其動態(tài)特性的常系數(shù)線性微分方程式如下： 式中 輸出量或響應； 輸入量或激勵； 11110nnnnd Y tdY tdY tnndtdtdtaaaa

52、 Y t 11110mmmmd X tdX tdX tmmdtdtdtbbbb X t Y t X t（1-56)與測量系統(tǒng)結構的物理參數(shù)有關的系數(shù)； 輸出量Y對時間t的n階導數(shù)； 輸入量X對時間t的m階導數(shù)。1010nmaaabbb， ， ， ， nnd Y tdt mmd X tdt2.2.傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)若測量系統(tǒng)的初始條件為零，則把測量系統(tǒng)輸出（響應函數(shù)）的拉氏變換Y(s) 與測量系統(tǒng)輸入（激勵函數(shù)）的拉氏變換X(s) 之比稱為測量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(s) 。假定在初始時t=0，滿足輸出Y(t)=0和輸入X(t)=0以及它們的各階對時間導數(shù)的初始值均為零的初始條件，這時Y(t)和X(t)

53、的拉氏變換Y（S）和X（S）計算公式為: Y t X t （1-57）滿足上述初始條件，對（1-56）式兩邊取拉氏變換，這樣就得測量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為； （1-58）上式分母中S的最高指數(shù)n即代表微分方程階數(shù)，相應地當n=1、n=2，則稱為一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)和二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)。由方程（1-58）可得： (1-59) 0stY sy t edt 0stX sx t edt 11101110mmmmnnnnY sb sbsb sbH sX sa sasa sa sXsHsY知道測量系統(tǒng)傳遞函數(shù)和輸入函數(shù)即可得到輸出（測量結果）函數(shù)Y(s)，然后利用拉氏反變換，求出 的原函數(shù)，即瞬態(tài)輸出響應為 傳遞函數(shù)

54、具有以下特點：（1）傳遞函數(shù)是測量系統(tǒng)本身各環(huán)節(jié)固有特性的反映，它不受輸入信號影響；但包含瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)時間和頻率響應全部信息；（2）傳遞函數(shù) 是通過對實際測量系統(tǒng)抽象成數(shù)學模型后經(jīng)過拉氏變換得到，它只反映測量系統(tǒng)的響應特性； sY)()(1sYLty(1-60) sH（3）同一傳遞函數(shù)可能表征多個響應特性相似，但具體物理結構和形式卻完全不同的設備，例如一個RC濾波電路與有阻尼彈簧的響應特性類似，它們同為一階系統(tǒng)。3.3.頻率（響應）特性頻率（響應）特性在初始條件為零的條件下，把測量系統(tǒng)的輸出（t）的傅立葉變換 與輸入 的傅立葉變換 之比稱為測量系統(tǒng)的頻率響應特性，簡稱頻率特性。通常用 來表示。對穩(wěn)定的常系數(shù)線性測量系統(tǒng)，可取 ，即令其實部為零；這樣（1-57）式轉換為:Yj X tXjH jsj 0j tYjy t edt（1-61） 0j tXjx t edt根據(jù)式（1-61）或直接由（1-58）式轉換得到測量系統(tǒng)的頻率特性頻率響應函數(shù)是在頻率域中反映測量系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應，也被稱為正弦傳遞函數(shù)。 Hj11101110mmmmnnnnYjbjbjbjbHjXjajaja