2.2 初等連續(xù)性ppt課件

1、2.2 連續(xù)函數(shù)的運算與初等連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運算與初等連續(xù)性定理定理1000( ),( ),( )( )( ),( )( ),( ()0)( ).f xg xxf xf xg xf xg xg xg xx若函數(shù)在點處連續(xù)則在點處也連續(xù)例例1 ,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx 由于連續(xù)性是特定的極限形式由于連續(xù)性是特定的極限形式, 借助極限的四則借助極限的四則運算法則運算法則, 可得到連續(xù)函數(shù)的如下運算性質(zhì)可得到連續(xù)函數(shù)的如下運算性質(zhì):一、連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)1. 四則運算四則運算例例2 設(shè)

2、設(shè))()(xgxf與均在均在,ba上連續(xù)上連續(xù), 證明函數(shù)證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在也在,ba上連續(xù)上連續(xù).證證 21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運算法則根據(jù)連續(xù)函數(shù)運算法則, 可知可知)(, )(xx也在也在,ba上連續(xù)上連續(xù).)(, )(min)(xgxfx 2.反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性 定理定理2 嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)、連嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)、連續(xù)的反函數(shù)續(xù)的反函數(shù).例如例如, ,sinyx在在 上單調(diào)遞增且連續(xù)上單調(diào)遞增且連續(xù), ,2 2 故故 arcsinyx在在 上也單調(diào)遞增

3、且連續(xù)上也單調(diào)遞增且連續(xù). . 1,1同理同理, , arccosyx在在 上單調(diào)遞減且連續(xù)上單調(diào)遞減且連續(xù); ; 1,1而而 arctanyx在在 上單調(diào)遞增且連續(xù)上單調(diào)遞增且連續(xù), ,(,) arccotyx在在 上單調(diào)遞減且連續(xù)上單調(diào)遞減且連續(xù). .(,) 小結(jié)小結(jié) 三角函數(shù)及其反函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)三角函數(shù)及其反函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù). .注意到前述運算性質(zhì)及三角函數(shù)的連續(xù)性注意到前述運算性質(zhì)及三角函數(shù)的連續(xù)性, ,我們有我們有 定理定理3 連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的.證證 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點 x,)(0連續(xù)在點函數(shù)uxfy 于是于是)(lim

4、0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復合函數(shù)故復合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點 x.)(00ux且且. )()(lim00ufufuu即即3.復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性xey 在在),(上連續(xù)上連續(xù) 單調(diào)單調(diào) 遞增遞增,又如又如, 其反函數(shù)其反函數(shù)xyln在在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.xy1sin由連續(xù)函數(shù)鏈由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此因此xy1sin在在*Rx上連續(xù)上連續(xù).復合而成復合而成,xyoxy1sin附注附注 定理定理3的意義與應用：的意義與應用：1)給出了變量代換給出了變量代換 的理論根據(jù)：的理論根據(jù)： ( )ux例例3

5、 函數(shù)函數(shù) 例例4 求求.)1 (loglim0 xxax解解 原式原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例5 求求.1lim0 xaxx解解 令令, 1xat那那么么, )1 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln特別特別 對對 有有ae0.x ln(1)1,xx11,xex 2)給出了復合函數(shù)求極限的簡潔方法給出了復合函數(shù)求極限的簡潔方法-極限符號極限符號與函數(shù)符號可以交換順序與函數(shù)符號可以交換順序.例例6 求求.)21 (limsin30 xxx解解 原式原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e闡明闡明 假假設(shè)設(shè),0)(lim0

6、xuxx則有則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2（待證）（待證）二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性lnln, (0,1)xxaaxyaeeeaa指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)在上述運算性質(zhì)的基礎(chǔ)上在上述運算性質(zhì)的基礎(chǔ)上, 由于由于 在在 上單調(diào)而連續(xù)上單調(diào)而連續(xù); (,) 從而從而 lnlog, (0,1)lnaxyxaaa在在 上單調(diào)連續(xù)上單調(diào)連續(xù); (0,)進而進而, 冪函數(shù)冪函數(shù) xy xaalog 對對 的不同取值的不同取值, 在相應的定義域上均連續(xù)在相應的定義域上均連續(xù).綜上所述并綜上所述并 結(jié)

7、合初等函數(shù)的定義結(jié)合初等函數(shù)的定義, 即得如下的即得如下的: 定理定理5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù).定理定理6 初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù).闡明闡明 定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .1)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 而在整個而在整個定義域內(nèi)不一定連續(xù)定義域內(nèi)不一定連續(xù).例如例如, , 1, 0: xxD及及但在原點但在原點x = 0 的鄰域內(nèi)沒有定義的鄰域內(nèi)沒有定義, 留意留意2)由此給出了初等函數(shù)求極限的最基本方法由此給出了初等函數(shù)求極限的最基本方法- 代入法：代入法：2

8、3(1)yxx的定義域為的定義域為上連續(xù)上連續(xù). .1,)故僅在區(qū)間故僅在區(qū)間)()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx例例7. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例8.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)闡明闡明 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性左、右連續(xù)性.思考與練習思考與練習,)(0連續(xù)在點若xxf是否連在問02)(, )(xxfxf續(xù)續(xù)? 反例反例, 1,1)(xf x 為有理數(shù)為有理數(shù) x 為無理數(shù)為無理數(shù))(xf處處間斷處處間斷,)(, )(2