人教版高中數(shù)學(xué)選修（1-1）-3.3《函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)》教學(xué)課件

1、3.3.3 3.3.3 函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù) 極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì), ,而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)。而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)。 但是我們往往更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間上哪個值但是我們往往更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間上哪個值最大，哪個值最小。最大，哪個值最小。 觀察區(qū)間觀察區(qū)間 a,ba,b 上函數(shù)上函數(shù)y=f (x)y=f (x)的圖象，的圖象，你能你能找出它的找出它的極大值點極大值點，極小值點極小值點嗎？嗎？oxdbfcaehgy極大值點極大值點 ，ceg極小值點極小值點dbf你能說出函數(shù)的你能說出函數(shù)的最大值點

2、最大值點和和最小值點最小值點嗎？嗎？最大值點最大值點 ：a a ，最小值點：最小值點：d doxyab)(xfy最小值是最小值是f f ( (b b).).單調(diào)函數(shù)的最大值和最小值容易被找到。單調(diào)函數(shù)的最大值和最小值容易被找到。函數(shù)函數(shù)y yf f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 a a, ,b b 上上最大值是最大值是f f ( (a a),),圖圖1 1ox2xb4x1xa3x)(xfy 5xy最大值是最大值是f (f (x x3 3),),圖圖2 2函數(shù)函數(shù)y yf (x)f (x)在區(qū)間在區(qū)間 a,ba,b 上上最小值是最小值是f (f (x x4 4).).一般地，如果在區(qū)間一般地，如

3、果在區(qū)間 a a, ,b b 上函數(shù)上函數(shù)y yf f ( (x x) )的圖象是的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最，那么它必有最大值和最小值。大值和最小值。怎樣求函數(shù)怎樣求函數(shù)y y= =f f ( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 a a , ,b b 內(nèi)的最大值內(nèi)的最大值和最小值？和最小值？只要把函數(shù)只要把函數(shù)y y= =f f ( (x x) )的所有極值連同端點的函數(shù)的所有極值連同端點的函數(shù)值進(jìn)行比較即可。值進(jìn)行比較即可。例例1 1、求函數(shù)、求函數(shù)f(x)f(x)x x3 312x12x1212在在0, 30, 3上的上的最大值，最小值。最大值，最小值。x x(-,

4、-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+ +0 0- -0 0+ +f f( (x x) ) 單調(diào)遞增單調(diào)遞增 2828 單調(diào)遞減單調(diào)遞減 -4-4 單調(diào)遞增單調(diào)遞增)(xf解：由上節(jié)課的例解：由上節(jié)課的例1 1知，在知，在0,30,3上，上， 當(dāng)當(dāng)x=2x=2時，時， f(x)=f(x)=x x3 3-12x+12-12x+12有極小值，有極小值，并且極小值為并且極小值為f(2)=-4.f(2)=-4.又由于又由于f(0)=f(0)=12,f12,f(3)=3,(3)=3,因此，函數(shù)因此，函數(shù) f(x)=f(x)=x x3 3-12x+12-12x+12

5、在在0, 30, 3上的上的最大值為最大值為1212，最小值為，最小值為-4-4。例例1 1、求函數(shù)、求函數(shù)f(x)f(x)x x3 312x12x1212在在0, 30, 3上的上的最大值，最小值。最大值，最小值。求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在( (a,ba,b) )內(nèi)的極值內(nèi)的極值( (極大值與極大值與極小值極小值); ); 將函數(shù)將函數(shù)y=f(x)y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)f(a)、f(b)f(b)（即（即端點的函數(shù)值）作比較端點的函數(shù)值）作比較, ,其中最大的一個為最大其中最大的一個為最大值值, ,最小的一個為最小值最小的一個為最小值. . 求函數(shù)求函數(shù)y=f(

6、x)y=f(x)在在 a,ba,b 上的最大值與最小值的上的最大值與最小值的步驟如下：步驟如下：練習(xí)練習(xí)1 1、求函數(shù)、求函數(shù)y=5-y=5-36x+3x36x+3x2 2+4x+4x3 3在區(qū)間在區(qū)間-2,2-2,2上的最大值與最小值。上的最大值與最小值。因為因為f(-2)f(-2)57, f(1.5)57, f(1.5)-28.75, f(2)-28.75, f(2)-23-23所以函數(shù)的最大值為所以函數(shù)的最大值為5757，最小值為，最小值為-28.75-28.75解：解： -36-366x6x12x12x2 26(6(2x2x2 2x x6)6)(xf 令令 0,0,解得解得x x1 1

7、-2 , -2 , x x2 21.51.5)(xf 練習(xí)練習(xí)2 2、求函數(shù)、求函數(shù)f f( (x x)=)=x x3 3- -3 3x x2 2+6+6x x-2-2在區(qū)間在區(qū)間-1,1-1,1上的最值。上的最值。解：解： 3x3x2 26x6x6 63(3(x x2 22x2x2)2)(xf 因為因為 在在-1,1-1,1內(nèi)恒大于內(nèi)恒大于0, 0, )(xf 所以所以f(x)f(x)在在-1,1-1,1上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，故當(dāng)故當(dāng)x x-1-1時，時，f(x)f(x)取得最小值取得最小值-12-12；當(dāng)當(dāng)x x1 1時，時，f(x)f(x)取得最大值取得最大值2 2。例例2 2、已知函

8、數(shù)、已知函數(shù)f(x)f(x)- -x x3 33x3x2 29x9xa;a;(1)(1)求求f(x)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)(2)若若f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間-2,2-2,2上的最大值為上的最大值為2020，求它在，求它在該區(qū)間上的最小值。該區(qū)間上的最小值。令令 0,0,解得解得x x-1-1或或x x3 3)(xf 解解: (1): (1) - -3x3x2 26x6x9 9)(xf 函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )的單調(diào)遞減區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為(-,-1) (3,+)(-,-1) (3,+)oxy-123axxxxf93)(23(2) f(-2)=8+12-(2

9、) f(-2)=8+12-18+a18+a= =2+a2+af(2)=-f(2)=-8+12+18+a8+12+18+a= =22+a22+af(2)f(-2)f(2)f(-2)于是有于是有22+a22+a=20,=20,解得解得a=-2a=-2f(x)=-f(x)=-x x3 3+3x+3x2 2+9x+9x-2-2f(x)f(x)在在-1,2-1,2上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增在在(-1,3)(-1,3)上上 0, 0, )(xf 例例2 2、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)f(x)- -x x3 33x3x2 29x9xa;a;(2)(2)若若f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間-2,2-2,2上的最大值為上

10、的最大值為2020，求它在，求它在該區(qū)間上的最小值。該區(qū)間上的最小值。又由于又由于f(x)f(x)在在-2,-1-2,-1上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，即函數(shù)即函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間-2,2-2,2上的最小值為上的最小值為-7-7。 f(2) f(2)和和f(-1)f(-1)分別是分別是f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間-2,2-2,2上上的最大值和最小值。的最大值和最小值。f(-1)=1+3-9-2=-7,f(-1)=1+3-9-2=-7,例例3 3、證明：當(dāng)、證明：當(dāng)x x0 0時，時，x xlnln( (1+x1+x) )01111)(,0 xxxxfx時當(dāng)解：設(shè)解：設(shè)f(x)=x-f(x

11、)=x-lnln( (1+x1+x).).即即x xlnln( (1+x1+x).).又因為又因為f(x)f(x)在在x=0 x=0處連續(xù)，處連續(xù)，所以所以f(x)f(x)在在x0 x0上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，從而當(dāng)從而當(dāng)x x0 0時，有時，有f(x)=x-f(x)=x-lnln( (1+x1+x) )f(0)=0f(0)=0練習(xí)練習(xí)3:3:當(dāng)當(dāng)x x1 1時時, ,證明不等式證明不等式: :.132xx 證證: :設(shè)設(shè) ,132)(xxxf ).11 (111)(2xxxxxxf 顯然顯然f(x)f(x)在在1,+)1,+)上連續(xù)上連續(xù), ,且且f(1)=0.f(1)=0.顯然顯然, ,當(dāng)

12、當(dāng)x x1 1時時, , ,故故f f( (x x) )是是1,+)1,+)上上的增函數(shù)的增函數(shù). .0)( xf所以當(dāng)所以當(dāng)x x1 1時時, ,f f( (x x)f f(1)=0,(1)=0,即當(dāng)即當(dāng)x x1 1時時, ,.132xx 例例4 4、求證、求證22) 1(2) 1(1xxxx23112ln(1)1(1)23xxxx )0() 1(321) 1(211ln)(32xxxxxxf證明：設(shè)證明：設(shè))1( 211)1(2xxx22) 1( 2) 1(11)(xxxxxf)1(21)1(22xxxx)12() 1(22xxx2321) 1(xxx在在x=1x=1附近附近 由負(fù)到正由負(fù)到正)(xf令令 =0,=0,解得解得x=1,x=1,)(xf當(dāng)當(dāng)x=1x=1時，時，f(x)f(x)有極小值，這里也是最小值有極小值，這里也是最小值所以當(dāng)所以當(dāng)x0 x0時，時，f(x) f(1)=0f(x) f(1)=032)1 (321) 1(211lnxxxx從而從而求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在( (a,ba,b) )內(nèi)的極值內(nèi)的極值(