計算機邏輯電路第4章

1、第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析第第4章章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 4.1 正弦信號的基本概念正弦信號的基本概念 4.2 正弦信號的相量表示正弦信號的相量表示4.3 基本元件基本元件VAR和基爾霍夫定律的相量形式和基爾霍夫定律的相量形式4.4 復阻抗與復導納型復阻抗與復導納型4.5 相量法分析相量法分析4.6 正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率4.7 諧振電路諧振電路4.8 三相電路三相電路第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析4.1 正弦信號的基本概念正弦信號的基本概念 4.1.1 正弦信號的三要素正弦信號的三要素 正弦信號的大小與方向都是隨時間作周期性變化的，信號在正弦信號的大小與方向都是隨時間作周

2、期性變化的，信號在任一時刻的值，稱為瞬時值。在指定的參考方向下，正弦電流、任一時刻的值，稱為瞬時值。在指定的參考方向下，正弦電流、電壓的瞬時值可表示為電壓的瞬時值可表示為 i(t)=Imsin(t+i) (41) u(t)=Umsin (t+u) (42) 現(xiàn)以現(xiàn)以i(t)為例，說明正弦信號的三要素。為例，說明正弦信號的三要素。 隨時間按正弦規(guī)律變化的電流、電壓稱為正弦信號，或下隨時間按正弦規(guī)律變化的電流、電壓稱為正弦信號，或下弦交流電。弦交流電。 正弦交流電容易產生、便于控制和變換，能遠距離傳輸。正弦交流電容易產生、便于控制和變換，能遠距離傳輸。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 式式(41)中，中，

3、Im是正弦信號在整個變化過程中可能達到的最是正弦信號在整個變化過程中可能達到的最大幅值，稱為大幅值，稱為振幅或最大值振幅或最大值。(t+i)是正弦信號的是正弦信號的相位相位，t=0時的時的相位相位i稱為稱為初相位，簡稱初相初相位，簡稱初相，單位是弧度，單位是弧度(rad)或度或度()。通常。通常規(guī)定初相在規(guī)定初相在|i|范圍內取值范圍內取值。一個正弦信號，若與時間軸原點間。一個正弦信號，若與時間軸原點間隔最近的正向隔最近的正向(信號值由負到正信號值由負到正)過零點位于原點左側時，過零點位于原點左側時，i0；否則，否則，i0。=d(t+i)/dt稱為稱為角速度或角頻率角速度或角頻率，單位是弧度，

4、單位是弧度/秒秒(rad/s),它表示正弦信號變化的快慢程度。它表示正弦信號變化的快慢程度。圖圖4.1 正弦電流的波形正弦電流的波形 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 式式(41)表明，若知道了正弦信號的振幅、角頻率和初相，就能完全表明，若知道了正弦信號的振幅、角頻率和初相，就能完全確定它隨時間變化的全過程，所以常稱確定它隨時間變化的全過程，所以常稱振幅、角頻率和初相振幅、角頻率和初相為正弦信號為正弦信號的三要素。的三要素。 由于正弦信號變化一周，其相位變化由于正弦信號變化一周，其相位變化2弧度，因此，角頻率弧度，因此，角頻率也可表也可表示為示為22fT(43) 式中式中T為正弦信號的為正弦信號的周期

5、，單位是秒周期，單位是秒(s)。f為頻率，單位是赫為頻率，單位是赫茲茲(Hz)。當頻率很高時，常用千赫茲。當頻率很高時，常用千赫茲(kHz)或兆赫茲或兆赫茲(MHz)作單位，作單位，其轉換關系是其轉換關系是 1MHz=103kHz=106Hz 正弦電流正弦電流i(t)的波形圖如圖的波形圖如圖4.1所示。圖所示。圖4.1(a)中橫坐標變量是時中橫坐標變量是時間間t;圖圖4.1(b)中橫坐標變量是中橫坐標變量是t。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 4.1.2 相位差相位差兩個兩個同頻率正弦信號同頻率正弦信號在任一時刻的相位之差稱為相位差。假設同頻在任一時刻的相位之差稱為相位差。假設同頻率的正弦電流和電壓為

6、率的正弦電流和電壓為 i(t)=Imsin(t+i) u(t)=Umsin(t+u) 則其相位差則其相位差 =(t+i)-(t+u)=i-u 如果如果=i-u0，如圖，如圖4.2(a)所示，則表示隨著所示，則表示隨著t的增加，電流的增加，電流i要比電壓要比電壓u先到達最大值或最小值。這種關系稱先到達最大值或最小值。這種關系稱i超前超前于于u或或u滯后滯后于于i,其超前或滯后的角度都是其超前或滯后的角度都是；如果；如果0,如圖如圖4.2(b)所示，則結所示，則結論恰好與上面情況相反。論恰好與上面情況相反。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖圖4.2 相位差相位差 如果如果0,如圖如圖4.2(b)所示，則

7、結論恰好與上面情況相反。所示，則結論恰好與上面情況相反。 如果如果=0，則稱，則稱i與與u同相同相。如圖。如圖4.2(c)所示，表示所示，表示i與與u同時達到同時達到最小值、零值與最大值。最小值、零值與最大值。 如果如果=，則稱，則稱i與與u反相反相。此時，如圖。此時，如圖4.1(d)所示，當所示，當i達到達到最大值時，最大值時，u卻為最小值，反之亦然。卻為最小值，反之亦然。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 例例1 已知正弦電流已知正弦電流i1、i2和正弦電壓和正弦電壓u3分別為分別為 i1(t)=5sin(t+30)A i2(t)=-10sin(t+45)A U3(t)=15cos(t+60)V 試

8、比較試比較i1與與i2、i1與與u3間的相位關系。間的相位關系。 解解 比較兩個正弦信號的相位關系時，除要求它們的頻率或角比較兩個正弦信號的相位關系時，除要求它們的頻率或角頻率相同外，還應注意信號的函數(shù)類型為正弦函數(shù)，以及瞬時表頻率相同外，還應注意信號的函數(shù)類型為正弦函數(shù)，以及瞬時表達式前面負號對相位的影響。由于達式前面負號對相位的影響。由于 i2(t)=-10sin(t+45)=10sin (t-135) u3(t)=15cos(t+60)=15sin (t+150) 所以，所以，i1與與i2間的相位差為間的相位差為 12=30-(-135)=165 i1與與u3間的相位差為間的相位差為 1

9、3=30-150=-120 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 4.1.3 有效值有效值設有兩個相同的電阻，分別通以周期電流和直流電流。如果在一周設有兩個相同的電阻，分別通以周期電流和直流電流。如果在一周期內，兩個電阻消耗的能量相同，就稱該直流電流值為周期電流期內，兩個電阻消耗的能量相同，就稱該直流電流值為周期電流的有效值。的有效值。 當周期電流當周期電流i通過電阻通過電阻R時，一周期內電阻消耗的電能為時，一周期內電阻消耗的電能為200( )( )TTiWp t dtRi t dt 式中式中T為周期信號的周期。為周期信號的周期。 當直流電流當直流電流I通過電阻通過電阻R時，在相同時間時，在相同時間T內，

10、電阻消耗的電能內，電阻消耗的電能為為 WI=RI2T 然后，令然后，令Wi=WI,則有則有于是，周期電流于是，周期電流i的有效值為的有效值為 201( )TIit dtT(44) 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 因為正弦電流是周期電流，所以可直接應用式因為正弦電流是周期電流，所以可直接應用式(44)求出它的求出它的有效值。設正弦電流有效值。設正弦電流 i(t)=Imsin(t+i) 將它代入式將它代入式(44),得得220201sin ()1cos2()20.7072TmiTmimmIItdtTItdtTII(45) 20.70722mmmUUUUU第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 同樣地，可求得正弦電壓u

11、=Umsin(t+u)的有效值表達式為( )2 sin()( )2sin()iui tItu tUt 在電工技術中，通常用有效值表示交流電的大小。例如交流電壓220V、交流電流50A，其電流電壓值都是有效值。各種交流電氣設備銘牌上標出的額定值及交流儀表的指示值也都是有效值。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 例2 已知正弦電壓源的頻率為50Hz，初相為/6弧度，由交流電壓表測得電源開路電壓為220V。求該電源電壓的振幅、角頻率，并寫出其瞬時值表達式。 解 因為 ,所以50,6fHzrad2250314/22220311mfrad sUUV電源電壓瞬時值表達式為( )sin()311sin(314)6mu

12、u tUttV第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析4.2 正弦信號的相量表示正弦信號的相量表示 4.2.1 復數(shù)及其運算 在數(shù)學中，一個復數(shù)A可以表示成代數(shù)型、指數(shù)型或極型，即 A=a1+ja2 (代數(shù)型) =aej (指數(shù)型) =a (極型) (47)第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 式中 為復數(shù)單位；a1和a2分別為復數(shù)A的實部和虛部；a和分別是A的模和輻角。復數(shù)A也可以表示為復平面上的一個點或由原點指向該點的有向線段(矢量)，如圖4.3所示。由圖可知，復數(shù)代數(shù)型與指數(shù)型(或極型)之間的轉換關系為1j 221221arctanaaaaa(48) 和 12Re cos sinaAaaFm Aa(49) 第4章

13、正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 兩個復數(shù)相等時，其實部和虛部分別相等，或模和輻角分別相等。 兩個復數(shù)相加(減)等于把它們的實部和虛部分別相加(減)。例如，若A=a1+ja2,B=b1+jb2,則 AB=(a1+ja2)(b1+jb2) =(a1b1)+j(a2b2) (410) 兩個復數(shù)相乘(除)等于將它們的模相乘(除)、輻角相加(減)。例如，若 ,ABjjABAaeaBbeb()()ABABjABjABA BabeabAaaeBbb(411) 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 4.2.2 正弦信號的相量表示 我們知道，正弦信號由振幅、角頻率和初相三個要素確定。由于在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各處的電流和電壓都是正弦信號，并

14、且它們的角頻率與正弦電源的角頻率相同，因此，在進行正弦穩(wěn)態(tài)電路分析時，對于正弦電流、電壓的振幅和初相，是我們最為關心的兩個要素。為了簡化分析，現(xiàn)在以電流為例，介紹正弦信號的相量表示。 根據(jù)歐拉公式，可將復指數(shù)函數(shù) 表示為()ijtmI e()cos()sin()ijtmmimiI eItjIt第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 注意上式中的虛部即為正弦電流的表達式，于是有注意上式中的虛部即為正弦電流的表達式，于是有()( )sin()iimijtjj tmmj ti tItfm I efm I eefm I e(412)式中式中ijmmmiII eI(413) 式式(413)中復數(shù)中復數(shù) 的模和輻角恰好

15、分別對應正弦電流的振的模和輻角恰好分別對應正弦電流的振幅和初相。在此基礎上，再考慮已知的角頻率，就能完全表示一幅和初相。在此基礎上，再考慮已知的角頻率，就能完全表示一個正弦電流。像這樣能用來表示正弦信號的特定復數(shù)稱為相量，個正弦電流。像這樣能用來表示正弦信號的特定復數(shù)稱為相量，并在符號上方標記圓點并在符號上方標記圓點“”，以與一般復數(shù)相區(qū)別。，以與一般復數(shù)相區(qū)別。 稱為電稱為電流相量，把它表示在復平面上，稱為相量圖，如圖上所示。流相量，把它表示在復平面上，稱為相量圖，如圖上所示。mImI第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 同樣地，正弦電壓可表示為同樣地，正弦電壓可表示為( )sin()umujmmmuu

16、 tUtUU eU稱為電壓相量。稱為電壓相量。 分別稱為電流、電壓的分別稱為電流、電壓的有效值相量有效值相量，相應地，將，相應地，將 和和 分別稱為電流和電壓的分別稱為電流和電壓的振幅相量振幅相量。顯然，振。顯然，振幅相量是有效值相量的幅相量是有效值相量的 倍。倍。 相應的相應的 iijijuIIeIUUeU(416)mImU2第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 必須指出，正弦信號是代數(shù)量，并非矢量或復數(shù)必須指出，正弦信號是代數(shù)量，并非矢量或復數(shù)量，所以，相量不等于正弦信號。但是，它們之間有量，所以，相量不等于正弦信號。但是，它們之間有相互對應關系，即相互對應關系，即sin()sin()iujmmimi

17、jmmummuiItI eIuUtUU eU(417) 或 2 sin()2sin()iujiijuuiItIIeIuUtUUeU(418) 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 例3 已知電壓u1=4sin(t+60)V, u2=6sin(t+135)V和u3=8sin(t-60)V。 試寫出各電壓的振幅相量，并畫出相量圖。 解 設正弦電壓u1、u2和u3的振幅相量分別為 123mmmUUU、,則 1234 606 135860omomomUVUVUV第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 例例4 部分電路如圖部分電路如圖4.7(a)所示，已知所示，已知 125 2sin(36.9 ) ,10 2sin(53.1 )

18、ooitAitA試求電流試求電流i=i1+i2。 解解 由已知條件可得由已知條件可得1122536.910 53.1ooiIAiIA12536.910 53.1(43)(68)10511.18 26.6oooIIIjjjA 因此，正弦電流因此，正弦電流i的表達式為的表達式為11.18 2sin(26.6 )oitA第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析4.3 基本元件基本元件VAR和基爾霍夫定律和基爾霍夫定律的相量形式的相量形式 4.3.1 基本元件基本元件VAR的相量形式的相量形式 1.電阻元件電阻元件 如圖如圖4.8(a)所示，設電阻所示，設電阻R的端電壓與電流采用關聯(lián)參考方向。的端電壓與電流采用關聯(lián)參

19、考方向。當正弦電流當正弦電流( )2 sin()ii tIt由歐姆定律可知電阻元件的端電壓為由歐姆定律可知電阻元件的端電壓為 ( )( )2sin()2sin()iiu tRi tRItUt(424) 比較以上兩式比較以上兩式:U=RI或或Um=Rim 可見：可見：電阻元件的電流、電壓是同頻率的正弦量，而初相是相同的，電阻元件的電流、電壓是同頻率的正弦量，而初相是相同的，即電流與電壓同相位即電流與電壓同相位。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析圖圖4.8 電阻元件的電阻元件的i-u關系關系 設正弦電流設正弦電流i和電壓和電壓U對對應的有效值相量分別為應的有效值相量分別為 和和 ，即即 , ，則對應，則對應

20、的相量表達式為的相量表達式為IUiIuUURI(425) 該式表明了電阻該式表明了電阻R的電流、電壓相量關系，稱為電的電流、電壓相量關系，稱為電阻元件阻元件VAR的相量形式。的相量形式。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 按照復數(shù)相等定義，上式等號兩邊復數(shù)的模及幅角分別相等，按照復數(shù)相等定義，上式等號兩邊復數(shù)的模及幅角分別相等，即即 uiURI(426) 它以相量形式的伏安關系描述電阻元件特性，故稱為相量模型。電它以相量形式的伏安關系描述電阻元件特性，故稱為相量模型。電阻元件電流、電壓相量圖如圖上所示。阻元件電流、電壓相量圖如圖上所示。 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 2. 電感元件 設電感L的端電壓與電流采

21、用關聯(lián)參考方向，如圖4.10(a)所示。當正弦電流( )2 sin()ii tIt通過電感時，其端電壓為 ( )( )2cos()2sin(90 )2sin()ioiudi tu tLLItdtLItUt(427) 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 式中式中U和和u分別為電感電壓的有效值和初相。由式分別為電感電壓的有效值和初相。由式(427)可可知知電感電壓和電流是同頻率的正弦量電感電壓和電流是同頻率的正弦量，其波形如圖，其波形如圖4.10(b)所示。所示。 若設電感電流、電壓與有效值相量的對應關系為若設電感電流、電壓與有效值相量的對應關系為Uj LI比較兩表達式：比較兩表達式：U=LI或或Um=LI

22、mu=i+90其相量表達式為：其相量表達式為：XL=L=2fL，叫感抗，叫感抗，表明電感受對交流電路的表明電感受對交流電路的阻礙作用隨頻率改變。阻礙作用隨頻率改變。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析圖圖4.11 電感元件的電感元件的 關系關系 I U由圖可見，由圖可見，電壓超前電流電壓超前電流90第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例例4-10 已知一電感元件已知一電感元件L=3H，接在，接在的電源上，求（的電源上，求（1）感抗的大??；（）感抗的大?。唬?）電感元件電流）電感元件電流i的表達式。的表達式。V)60314sin(2220tu9423314LXL22060UVA15023. 0A9094260220Lj

23、XUIA)150314sin(223. 0ti解：解：第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 3. 電容元件 設電容元件C，其電壓、電流采用關聯(lián)參考方向，如圖4.12(a)所示。當電容端電壓為u(t)= Usin(t+u)時，通過C的電流為2( )2cos()2sin(90 )2 sin()uouudui tCCUtdtCUtIt(431) 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 式中I和i分別是電容電流的有效值和初相。式(431)表明，電容電壓、電流是同頻率的正弦量，其波形圖如圖4.12(b)所示。 圖4.12 電容元件的i-u關系第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析11Ij CUUIjIj CC 比較上兩式比較上兩式:1ICUU

24、IC90oui相量式：相量式：其中：其中：1LXC叫容抗，反映電容對電流的阻礙作用。單位叫容抗，反映電容對電流的阻礙作用。單位。 對于給定的電容對于給定的電容C，當，當U一定時，一定時，愈高，電容進行充放電的速率愈快，愈高，電容進行充放電的速率愈快，單位時間內移動的電荷量愈大。反單位時間內移動的電荷量愈大。反之，之，愈低，電流將愈不容易通過。愈低，電流將愈不容易通過。在直流情況下，在直流情況下，=0,I=0，電容相當，電容相當于開路，所以，電容元件具有隔直于開路，所以，電容元件具有隔直流的作用。流的作用。電容電壓的相位滯后電電容電壓的相位滯后電流流90。電容中電流、電壓的相量。電容中電流、電壓

25、的相量圖如圖所示。圖如圖所示。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例例4-11 已知已知2F電容兩端的電壓有效值為電容兩端的電壓有效值為10V，初相為，初相為60o，角頻率為，角頻率為1000rad/s。試求流過電容的電流，寫出其瞬時值解析式。試求流過電容的電流，寫出其瞬時值解析式。V6010UC61150010002 10XC A1500.02905006010CjXUIA)1501000sin(202. 0ti解：解： 電壓的相量形式為：電壓的相量形式為： 電容的容抗為：電容的容抗為： 得得電流的瞬時值解析式為電流的瞬時值解析式為第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 4.3.2 KCL、KVL的相量形式 KCL指

26、出：對于集總參數(shù)電路中的任意節(jié)點，在任一時刻，流出(或流入)該節(jié)點的所有支路電流的代數(shù)和恒為零。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各支路電流都是同頻率的正弦量，只是振幅和初相不同，其KCL可表示為11sin()0nnkkmkikkiIt(436) 對應的相量關系表示為 1100nnkmkkkII或 (437) 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 這就是KCL的相量形式。它表明，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，對任一節(jié)點，各支路電流相量的代數(shù)和恒為零。 同理，對于正弦穩(wěn)態(tài)電路中的任一回路，KVL的相量形式為1100nnkmkkkUU(4)或 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例例4-12 在圖在圖4.14（a）電路中，已知電流）電路中，已知電流

27、，R=100，L=50mH，C=10F，試用相量法求，試用相量法求iR、iL、uS、及、及i并畫出相量圖，并求導納并畫出相量圖，并求導納Y。 C2sin1000 Ait第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析解：解： 畫出電路的相量模型如圖所示。寫出電流畫出電路的相量模型如圖所示。寫出電流iC的相量形式的相量形式根據(jù)各元件電壓、電流的相量關系式可得根據(jù)各元件電壓、電流的相量關系式可得C10 AI C6111001000 10 10XC3L1000501050XLSCC100 1 010090 VUjX Ij SLL100902180 A50UIjXj SR10090190 A100UIR 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路

28、分析由基爾霍夫電流定律的相量形式得由基爾霍夫電流定律的相量形式得 即：即： RLC1902180102135 AIIII S100 2 sin(100090 )VutL22 sin(1000180 )AitR2 sin(100090 )Ait2sin(1000135 )AitY=0.01-j0.01(s)第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例例4-13 如圖4.15所示各電路中，已知電流表A1、A2、A3的讀數(shù)都是10 A，求電路中電流表A的讀數(shù)。 A+ I i1 R i2 Lu A1 A2- A+ i i1 i2 i3 R L CU A1 A2 A3-解：解： 設端電壓設端電壓 V0UU（a）圖：）圖：

29、 選定電流的參考方向如圖所示，根據(jù)選定電流的參考方向如圖所示，根據(jù)R、L、C元件電壓電元件電壓電流的相位關系有流的相位關系有 A9010 A 01021IIA45210901001021III電流表電流表A的讀數(shù)為的讀數(shù)為A。注意：這與直流電路是不同的注意：這與直流電路是不同的, 總電流并不是總電流并不是20A。 210（b）圖：電流表）圖：電流表A的讀數(shù)為的讀數(shù)為10A。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 例5 電路如圖4.14(a)所示。已知R=5，L=5mH,C=100F，Uab(t)= sin103tV。求電壓源電壓us(t)，并畫出各元件電流、電壓的相量圖。10 2圖4.14 例5用圖 第4章

30、 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 解解 電壓電壓Uab的有效值相量為的有效值相量為 333610 0105 105111010100 10oabUVLC 根據(jù)根據(jù)R、C元件元件VAR的相量形式，得的相量形式，得 10 02510 01(1/)10oabRoabCUIARUIj AjCj 由由KCL得得 212.24 26.6oLRCIIIjA第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析由電感元件由電感元件VAR相量形式，求得相量形式，求得 11.2 116.610 0( 5.0110.01)104.9910.0111.18 63.5oosLaboUUUjjV 52.24 26.611.2 116.6ooLLUj LIjV根據(jù)根

31、據(jù)KVL，可得電壓源電壓，可得電壓源電壓 所以所以 3( )11.18 2sin(1063.5 )osu ttV各元件電流、電壓相量圖如圖各元件電流、電壓相量圖如圖4.14(b)所示。所示。補充例補充例9第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析4.4 復阻抗和復導納復阻抗和復導納 4.4.1 阻抗與復導納阻抗與復導納 由上節(jié)討論可知，在電流、電壓采用關聯(lián)參考方由上節(jié)討論可知，在電流、電壓采用關聯(lián)參考方向的條件下，三種基本元件向的條件下，三種基本元件VAR的相量形式是的相量形式是1,UR IUj LIUIj C(439)如用振幅相量表示，則為1,mmmmmmURIUj LIUIj C(440) 上式與電阻電路中

32、的歐姆定律相似，故稱為歐姆定律的相量形式。上式與電阻電路中的歐姆定律相似，故稱為歐姆定律的相量形式。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析(1) (1) 阻抗阻抗正弦激勵下正弦激勵下IZU+- -無源無源線性線性IU+- -ZIUZ | 定義阻抗定義阻抗iu 單位：單位： IUZ 阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角歐姆定律的歐姆定律的相量形式相量形式第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析阻抗阻抗Z還可表示成代數(shù)式形式還可表示成代數(shù)式形式 Z=R+jX式中式中R是是Z的的實部實部，稱為，稱為阻抗的電阻分量阻抗的電阻分量，X是是Z的的虛部虛部，稱為，稱為阻抗的阻抗的電抗分量電抗分量，它們與阻抗模和阻抗角之間有如下關系，它們與阻抗模和阻

33、抗角之間有如下關系 ZcosRZZsinXZ22ZRXZarctanXR當電路中電抗當電路中電抗X0時，時，0，二端網(wǎng)絡端口電壓二端網(wǎng)絡端口電壓u在相位在相位上超前電流上超前電流i，此時電路的，此時電路的阻抗性質是電感性的；當阻抗性質是電感性的；當X0時，時，0，電壓，電壓u在相位在相位上滯后電流上滯后電流i，此時電路的，此時電路的阻抗性質是電容性的；當阻抗性質是電容性的；當X=0時，時，=0，電壓，電壓u與電流與電流i同相，此時電路是電阻性的。同相，此時電路是電阻性的。 RXXL阻抗三角形阻抗三角形第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析(2) (2) 導納導納正弦激勵下正弦激勵下IYU+- -無源無源線性

34、線性IU+- -YUIY | 定定義義導導納納ui 單位：單位：SUIY 導納模導納模導納角導納角第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 基本元件基本元件R、L和和C的阻抗分別為的阻抗分別為其中其中XL稱為感抗；稱為感抗；XC稱為容抗；單稱為容抗；單位為位為。11RLLCCZRZj LjXZjjXj CC 111RLLCCYGRYjjBj LLYj CjB 基本元件基本元件R、L和和C的導納分別為的導納分別為:其中其中BL稱為感納；稱為感納；BC稱為容納；稱為容納；G叫電導。單位為叫電導。單位為S。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 4.4.4 阻抗和導納的串、并聯(lián) 下面給出阻抗和導納串、并聯(lián)的有關結論，其證明方法與

35、電阻電路相似，這里不再重復。設阻抗Z1=R1+jX1,Z2=R2+jX2;導納Y1=G1+jB1,Y2=G2+jB2。則當兩個阻抗Z1和Z2串聯(lián)時，其等效阻抗Z為 Z=Z1+Z2=(R1+R2)+j(X1+X2) (454) 分壓公式為12121212ZZUUUUZZZZ(455) 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析當兩個導納當兩個導納Y1和和Y2并聯(lián)時，其等效導納并聯(lián)時，其等效導納Y為為 Y=Y1+Y2=(G1+G2)+j(B1+B2) (456) 分流公式為分流公式為12121212YYIIIIYYYY(457) 式中式中 為通過并聯(lián)導納的總電流相量。為通過并聯(lián)導納的總電流相量。 當兩個阻抗當兩個阻

36、抗Z1、Z2相并聯(lián)時，它的等效阻抗相并聯(lián)時，它的等效阻抗Z為為I1212Z ZZZZ其分流公式為其分流公式為 21121212ZZIIIIZZZZ(459) 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析導納等效轉換為阻抗時，有導納等效轉換為阻抗時，有 222211GBZjRjXYGjBGBGB式中 2222GBRXGBGB(461) 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例例2 2 解解 Acos)(ttiS2SIRU1A01SI電路如圖電路如圖, ,已知已知R R=3=3 ，L L=2H=2H， =2rad/s。求。求u1(t) 、u2(t) 、u (t)。+ + u- -+ + u1 - -iSL+ +u2- -R=3 j

37、L= j4R=3- 1U-2U-USI相量模型相量模型電流相量：電流相量：由由RL元件元件VCR相量關系式得：相量關系式得：V03013SILjU2V9044j21UUU由由KVL：V. 153543j014j第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析寫出寫出u1(t) 、u2(t) 、u (t)表達式為表達式為：V cos)(ttu2231)V90 cos()(ttu2242)V.5 cos()(13225ttu畫相量圖畫相量圖SI +1+j 2U 1U USI 1U 2U U13.513.5第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例例3 3 解解( )10 2sin VSuttRUIS1V010SU電路如圖電路如圖, ,已

38、知已知R R=4=4 ，C C=0.1F=0.1F， =5rad/s。求。求i1(t) 、i2(t) 、i (t)。 1I2I-SUI相量模型相量模型電壓相量：電壓相量：由由RC元件元件VCR得：得：A.524010CjUIS/12A9055j21III由由KCL：A.463595552j2010jii1+ +uS- -R=4C=0.1Fi2R=421jCj 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析寫出寫出i1(t) 、i2(t) 、i (t)表達式為表達式為：A 5sin25 . 2)(1ttiSU)A90 5sin(25)(2tti)A4 . 36 5sin(259. 5)(tti畫相量圖畫相量圖 +1+

39、j 2I 1II SU 1I 2I I43.643.6第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例例7 如圖如圖4.22(a)電路，已知電路，已知r=10，L=50mH,R=50，C=20F,電源電源 us(t)=100 sin(103t)V。求電路的等效阻抗和各支路的電流，并畫出。求電路的等效阻抗和各支路的電流，并畫出電流相量圖。電流相量圖。 解解 電壓源相量和電壓源相量和jXL、jXC分別為分別為236100 01000 50 101501150100020 10osLCUVjXj LjjXjjjC 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 電路的相量模型如圖(b)所示。 設R、L串聯(lián)支路的阻抗為ZrL,R、C并聯(lián)電路的阻

40、抗為ZRC,可得105050(50)35.364525255050rLLoCRCCZrjXjR jXjZjRjXj電路總阻抗Z為(1050)(2525)352543 35.4oeLRCZZZjjj第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 電路總電流 100 02.3335.443 35.4osooUIAZ由并聯(lián)電路分流公式，求得R、C支路電流 502.3335.41.6580.45050502.3335.41.65 9.65050ooCRCooCCjXjIIARjXjRIIARjXj第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例例4-15 兩個負載兩個負載Z1=5+j5和和Z2=6-j8相串聯(lián)，接在的電源上。試求相串聯(lián)，接在的電

41、源上。試求等效阻抗等效阻抗Z和電路電流和電路電流i。 解：解： 等效阻抗等效阻抗12(5j5)(6j8)(11j3)11.415.3ZZZ 電壓電壓u的相量形式為的相量形式為 220 30 VU 電流相量為：電流相量為：00220 30A19.3 45.3 A11.415.3UIZ電流的表達式為：電流的表達式為： 19.3 2sin(31445.3 )Ait第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析4.5 正弦交流電路的相量法分析正弦交流電路的相量法分析 在簡單的交流電路中，歐姆定律、基爾霍夫定律都可以在簡單的交流電路中，歐姆定律、基爾霍夫定律都可以應用，因此支路電流法、節(jié)點電壓法、疊加原理、戴維南定應用，因此

42、支路電流法、節(jié)點電壓法、疊加原理、戴維南定理都可以應用。理都可以應用。(1) (1) 畫電路的相量模型畫電路的相量模型(2) (2) 根據(jù)根據(jù)KCLKCL、KVLKVL和元件和元件VCRVCR的相量形的相量形式，求解得到電壓電流的相量式，求解得到電壓電流的相量表達式；表達式；(3) (3) 根據(jù)計算得到的電壓、電流相量，寫根據(jù)計算得到的電壓、電流相量，寫出相應的瞬時值表達式。出相應的瞬時值表達式。各正弦電壓、電流用相量表示，各正弦電壓、電流用相量表示，R R、L L、C C元件用相應的阻抗或導納表示。元件用相應的阻抗或導納表示。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例例4-19 在圖在圖4.25所示的正弦穩(wěn)

43、態(tài)電路中，已知所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知Z1=1+j2，Z2=0.8+j2.8，Z3=40+j30，US1=US2=220V， 滯后滯后 20角，試用支路電流法求各支路電流。角，試用支路電流法求各支路電流。1SU2SU解：解： 設設 為參考相量，則為參考相量，則 1SUS12200 VU S222020 VU 根據(jù)根據(jù)KCL、KVL的相量形式列出電路方程的相量形式列出電路方程1231 133S12233S20IIIZ IZ IUZ IZ IU第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析代入已知數(shù)據(jù)得代入已知數(shù)據(jù)得12313230(12)(4030)2200(0.82.8)(4030)22020IIIjIjIjIj

44、I 解方程得解方程得116.33.9 AI 214.1 17.1 AI34.1846.1 AI 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例例4-19 在圖在圖4.25所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知Z1=1+j2，Z2=0.8+j2.8，Z3=40+j30，US1=US2=220V， 滯后滯后 20角，試用節(jié)點電路法求各支路電流。角，試用節(jié)點電路法求各支路電流。2SU解：解： 選擇參考節(jié)點、設節(jié)點電壓為，選擇參考節(jié)點、設節(jié)點電壓為，如圖如圖4.26所示。列節(jié)點電壓方程為所示。列節(jié)點電壓方程為 1SU 代入已知數(shù)據(jù)：代入已知數(shù)據(jù)：S1S212312111UUUZZZZZ11122002202

45、0120.82.84030120.82.8Ujjjjj 2099.3 VU 解得：解得：第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析S11122002099.316.3 3.9 A12UUIZj S2222099.32202014.1 17.1 A0.82.8UUIZj332099.34.1846.1 A4030UIZj 各支路電流為各支路電流為思考題：用戴維南定理求解此題？思考題：用戴維南定理求解此題？第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析4.6 正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 對于電阻、電容、電感組成的無源二端網(wǎng)絡，都可以等對于電阻、電容、電感組成的無源二端網(wǎng)絡，都可以等效為復阻抗效為復阻抗Z=R+jX，也就是等效為

46、一個電阻與一個電抗，也就是等效為一個電阻與一個電抗串聯(lián)的電路。一般的可分為設：串聯(lián)的電路。一般的可分為設：( )2 sin()( )2sin()i tItu tUt式中式中是端口電壓與電流的相位差。在任一時刻是端口電壓與電流的相位差。在任一時刻t,電路電路N的吸收功率的吸收功率第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 p(t)=u(t)i(t)=2UIsin(t)sin(t+) =UIcos-UIcos(2t+) 稱為瞬時功率稱為瞬時功率 隨電流隨電流i和電壓和電壓u的變化，瞬時功率的變化，瞬時功率p(t)有時為正，有時為有時為正，有時為負。當負。當u0,i0或或u0,i0時，時，p(t)0,說明在此時電說明

47、在此時電路路N從外電路吸收功率；當從外電路吸收功率；當u0,i0或或u0,i0時，時，p(t)0,此時電路此時電路N向外電路發(fā)出功率。向外電路發(fā)出功率。 p u，i p i t u i+u-N第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 1.平均功率平均功率P電路的平均功率也稱有功功率，它是瞬時功率在一周期內的平均值，電路的平均功率也稱有功功率，它是瞬時功率在一周期內的平均值，即即01( )cosTPp t dtUIT 平均功率代表電路所消耗的功率，所以在正弦穩(wěn)態(tài)電路中通常平均功率代表電路所消耗的功率，所以在正弦穩(wěn)態(tài)電路中通常所說的功率是指平均功率。平均功率的單位是瓦所說的功率是指平均功率。平均功率的單位是瓦(W

48、)。 在在RLC串聯(lián)電路中，電路中的有功功率即電阻上的功率。即：串聯(lián)電路中，電路中的有功功率即電阻上的功率。即： P=I2R 此結論可推廣到任意交流電路中：此結論可推廣到任意交流電路中：RPP平均功率不僅與電壓、電流有關，還與電壓、電流的相位差、平均功率不僅與電壓、電流有關，還與電壓、電流的相位差、即電路的阻抗角有關，定義：即電路的阻抗角有關，定義： =cos 稱為電路的功率因數(shù)稱為電路的功率因數(shù)第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 2. 無功功率無功功率Q 為了描述交流電路電源與外電路的能量交換規(guī)模，定義為了描述交流電路電源與外電路的能量交換規(guī)模，定義 為無功功率，代表二端網(wǎng)絡與外電路交換能量的最大值。

49、為無功功率，代表二端網(wǎng)絡與外電路交換能量的最大值。sinQUI無功功率的單位是乏無功功率的單位是乏(Var)。 顯然，對于電阻性電路顯然，對于電阻性電路N，=0,Q=0,表示表示N與外電與外電路沒有發(fā)生能量互換現(xiàn)象，流入路沒有發(fā)生能量互換現(xiàn)象，流入N的能量全部被電阻的能量全部被電阻消耗；消耗；N為電感性電路時，為電感性電路時，0,Q0;N為電容性電路為電容性電路時，時， 0,Q0。后兩種情況中，。后兩種情況中，Q0，表示電路，表示電路N與與外電路之間存在能量互換現(xiàn)象，而不是消耗能量。外電路之間存在能量互換現(xiàn)象，而不是消耗能量。 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析0Q 22CCCCCUQU IIXX 22

50、LLLLLLUQU II XX因此單一因此單一R、L、C元件的無功功率為：元件的無功功率為：電阻元件：電阻元件： 電容元件：電容元件： 電感元件：電感元件： 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析3. 視在功率視在功率S 在一般交流電路中，稱在一般交流電路中，稱P=UI為視在功率。為視在功率。 單位單位VA（伏安）。（伏安）。 實際用電設備的功率以視在功率表示。實際用電設備的功率以視在功率表示。 22coscossinsinPUISQUISSPQUI視在功率、有功功率和無功功率的關系如下視在功率、有功功率和無功功率的關系如下 S Q P功率三角形功率三角形第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析4. 復功率復功率 在工程上

51、為了計算方便，取有功功率在工程上為了計算方便，取有功功率P作為實部、無功功率作為實部、無功功率Q作為虛作為虛部組成復數(shù)，該復數(shù)被定義為復功率，用部組成復數(shù)，該復數(shù)被定義為復功率，用 表示：表示：SSPjQ 復功率的模為視在功率復功率的模為視在功率S，輻角為功率因數(shù)角，輻角為功率因數(shù)角。22SSPQarctanQP uiui()*cossinjjjjSUIjUIUIeUIeUeIeUI 是 電流的共軛復數(shù)*II第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 例例4-23 電路如圖電路如圖4.31所示，已知所示，已知U=100V，試求該電路的，試求該電路的P、Q、S、 和和。 S解：解： 設端口電壓相量為：設端口電壓相

52、量為： 1000 VU 電路的等效阻抗為電路的等效阻抗為16( 16)14861036.91616jZjjj 端口電流為端口電流為100010 36.9 A1036.9UIZ *10001036.9100036.9800600VASUIj 1000VASSRe 800WPSIm 600VarQScoscos( 36.9 )0.8 則則 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 功率因數(shù)介于功率因數(shù)介于0和和1之間，反映電源在額定容量之間，反映電源在額定容量S下向下向負載輸送多少有功功率。負載輸送多少有功功率。P=UIcos，例如容量為，例如容量為105的發(fā)的發(fā)電機，當電機，當cos=0.6時，對外提供有功功率

53、為時，對外提供有功功率為60000kW，若，若cos=0.9時，則它對外提供時，則它對外提供90000kW的有功功率。的有功功率。 另外輸電線上的電流另外輸電線上的電流I=P/Ucos，當，當P和和U一定時，功一定時，功率因數(shù)越大，線路上功率損耗越小。有利于節(jié)能，提高率因數(shù)越大，線路上功率損耗越小。有利于節(jié)能，提高供電質量。供電質量。提高功率因數(shù)的方法是在感性負載兩端并聯(lián)提高功率因數(shù)的方法是在感性負載兩端并聯(lián)電容器。電容器。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析4.7 諧振電路諧振電路 4.7.1 串聯(lián)諧振電路串聯(lián)諧振電路 RLC串聯(lián)電路如圖串聯(lián)電路如圖4.32(a)所示，設圖中正弦電壓源所示，設圖中正弦電

54、壓源 的角頻率為的角頻率為。串聯(lián)電路的等效阻抗為。串聯(lián)電路的等效阻抗為0osUU11()ZRj LRjLj CC 在正弦電源激勵下的在正弦電源激勵下的RLC串聯(lián)電路，通過改變元件參數(shù)或調節(jié)串聯(lián)電路，通過改變元件參數(shù)或調節(jié)電源頻率，可使電路端電壓與流入的電流同相，此時稱電路發(fā)生了電源頻率，可使電路端電壓與流入的電流同相，此時稱電路發(fā)生了諧振。諧振。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析電路中電流電路中電流 sUIZ若使電壓與電流同相位，則應有若使電壓與電流同相位，則應有Z=0。即：。即：我們稱電路發(fā)生了串聯(lián)諧振。上式是電路發(fā)生串聯(lián)諧振的條件。我們稱電路發(fā)生了串聯(lián)諧振。上式是電路發(fā)生串聯(lián)諧振的條件。 根據(jù)諧振條

55、件，可得諧振頻率為：根據(jù)諧振條件，可得諧振頻率為：0010XLC00112fLCLC圖圖4.33 |Z|、X及及I隨隨的變化曲線的變化曲線第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 在上面討論中，我們保持電路參數(shù)不變，即在上面討論中，我們保持電路參數(shù)不變，即0一一定，通過改變電源角頻率定，通過改變電源角頻率，使之與，使之與0相等，電路產相等，電路產生諧振。實際上，若固定電源角頻率生諧振。實際上，若固定電源角頻率，調節(jié)電路參，調節(jié)電路參數(shù)數(shù)L或或C，0發(fā)生變化，使發(fā)生變化，使0=,則電路也會發(fā)生諧振。則電路也會發(fā)生諧振。串聯(lián)諧振電路具有以下特點：串聯(lián)諧振電路具有以下特點： (1) 諧振時，電抗諧振時，電抗X=0,

56、故電路阻抗故電路阻抗0ZRjXR電路呈電阻性。電路呈電阻性。阻抗模阻抗模 達最小達最小。 220ZRXR (2) 諧振時電路電流諧振時電路電流00ssUUIZR達到最大。達到最大。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析(3)諧振時電路元件上電壓諧振時電路元件上電壓000000000011sRsLsCsUURIRURLUjLIjURUIjUjCCR 串聯(lián)諧振時，串聯(lián)諧振時，電感和電容上的電壓遠大于電阻上的電壓，電感和電容上的電壓遠大于電阻上的電壓，因此串聯(lián)諧振又叫因此串聯(lián)諧振又叫電壓諧振電壓諧振。諧振時諧振時UL0=UC0 Q稱為品質因數(shù)，它表示諧振時電容或電感上的電壓上電源稱為品質因數(shù)，它表示諧振時電容或電

57、感上的電壓上電源電壓的電壓的Q倍。出表示電路選擇性強弱。倍。出表示電路選擇性強弱。001CLLULUCQUURCRR第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 在電子技術中，常用串聯(lián)諧振電路選擇特定頻率的信號并輸在電子技術中，常用串聯(lián)諧振電路選擇特定頻率的信號并輸出較高的電壓。例如，收音機的天線輸入回路就是一個由線圈出較高的電壓。例如，收音機的天線輸入回路就是一個由線圈(其其電感為電感為L，電阻為，電阻為R)與可調電容與可調電容C組成的串聯(lián)等效電路，如圖組成的串聯(lián)等效電路，如圖4.34所示。所示。圖圖4.34 收音機的輸入電路收音機的輸入電路 在電力工程中，串聯(lián)諧振時電抗元在電力工程中，串聯(lián)諧振時電抗元件上過高

58、的電壓，可能會導致電感件上過高的電壓，可能會導致電感或電容元件的絕緣材料擊穿。應避或電容元件的絕緣材料擊穿。應避免。免。第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例例4-25 將電感線圈與電容器串聯(lián)，接在電壓有效值為將電感線圈與電容器串聯(lián)，接在電壓有效值為U=0.5V的電源的電源上，線圈的電阻上，線圈的電阻R=20，電感，電感L=4mH，調節(jié)電容為，調節(jié)電容為250pF時電路發(fā)生時電路發(fā)生串聯(lián)諧振。試求：（串聯(lián)諧振。試求：（1）電路的諧振頻率及品質因數(shù)）電路的諧振頻率及品質因數(shù)Q；（；（2）電路中）電路中的電流及電容電壓的電流及電容電壓o31211159kHz22 3.14 4 10250 10fLC33oo2

59、23.14 159 104 1020020Lf LQRR解：解： （1）電路的諧振頻率）電路的諧振頻率f0及品質因數(shù)及品質因數(shù)Q為為0.525mA20UIRC2000.5100VUQU（2）諧振電流）諧振電流I及電容電壓及電容電壓UC為為第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 4.7.2 并聯(lián)諧振電路并聯(lián)諧振電路 RLC并聯(lián)電路如圖并聯(lián)電路如圖4.36(a)所示。圖中正弦電流源所示。圖中正弦電流源的角頻率為的角頻率為，設其電流相量的初相為零。，設其電流相量的初相為零。 圖4.36 并聯(lián)諧振電路 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 并聯(lián)電路的等效導納為1()YGjBGjCL(497)式中 11,GBCRL 當電納B=0

60、時，電路端電壓 與電流源電流 同相，稱電路發(fā)生并聯(lián)諧振。滿足B=0的角頻率稱為并聯(lián)諧振電路的諧振角頻率，記為0。根據(jù)B=0，可得UI0010CL(498) 第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 該式稱為并聯(lián)電路的諧振條件。從諧振條件可得該式稱為并聯(lián)電路的諧振條件。從諧振條件可得并聯(lián)諧振電路的諧振角頻率為并聯(lián)諧振電路的諧振角頻率為00112fLCLC或或 (499) RLC并聯(lián)電路諧振時有以下特點：并聯(lián)電路諧振時有以下特點：(1)由式由式(497)可見，諧振時并聯(lián)電路導納可見，諧振時并聯(lián)電路導納01YGR(4100) 其值最小，且為純電導。其值最小，且為純電導。阻抗最大阻抗最大，即，即0011ZRYG(41