計算機數(shù)學(A)第二次輔導課

1、1計算機數(shù)學（A）第二次輔導課安徽廣播電視大學教學處 吳和生2本章要點 線性方程組的有關概念， 增廣矩陣及增廣矩陣的階梯化， 線性方程組解的判定， 線性方程組的解法3一、 n元線性方程組的有關概念 1. n元線性方程組 由n個未知量，m道所有的未知量都是一次的方程組成的方程組稱為n元線性方程組。 習慣上我們用xj表示這些未知量，用aij表示它們的系數(shù)，用bj表示方程等號右邊的常數(shù)。4n元線性方程組的一般形式為mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222221211121211111111221.nmmnnmxbaaxbaaxb系數(shù)矩陣未知變量52.齊次線性方程組

2、 如果常數(shù)項b1,b2,bm不全為0，則稱n元線性方程組為非齊次線性方程。 如果常數(shù)項b1,b2,bm全為0，則稱此線性方程組為齊次線性方程組。63. 消元法 1.用增廣矩陣A表示線性方程組AXB 2.把增廣矩陣中的系數(shù)矩陣部分用初等行變換化為階梯形矩陣 3.求出最后一個未知量的解，然后逐個方程地回代，求出其余的未知量 4.寫出線性方程組的解744213743242332352. 14321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx線性方程組解例253233121423471312414A解8(1,4)253233121423471312414124143121423471325

3、323A 解9124143121423471325323124140514480745501545 32-210(2,4)124140514480745501545124140154507455051448 1112414015450745505144812414015450039233000392433 121241401545003923300039243312414015450039233000013 13124140154500392330000131234234344:2445453923303xxxxxxxxxx 回代得144321:3,1,2,1:(1,2,1,3)xxxx 解得

4、或表示為12342343444343324454539233033392330396930,=-1xxxxxxxxxxxxxxx 代入1512341234123442.23932884xxxxxxxxxxxx 例 求解 300001111041111855501111041111488239113241111A解方程無解161234123412342342323883.3295234xxxxxxxxxxxxxxx例 解線性方程組171112321388:3219501234A解11123031420523401234 18111230123400121224005510 11123012340

5、5234031421911123012340011200551011123012340011200000 2011123012340011200000123423434232342xxxxxxxxx 211424342102xxxxxx1424341-22-xxxxxx224.行簡化階梯矩陣 定義:滿足下列條件的階梯形矩陣稱為行簡化階梯形矩陣 各非0行的第一個非0元素(首非0元)為1， 各首非0元所在列的其余元素均為0。2300000100001210022071例如171200012000001000001702000120000010000017020001200000100000XXX2

6、4四.行簡化階梯矩陣 任意階梯形矩陣都可用初等行變換化為行簡化階梯形矩陣。 因此，我們可以把增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化為行簡化階梯形矩陣。進而求出線性方程組的一般解。2513423322438354. 44321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解線性方程組例:145383114221113132413A解26145383114221113132413145380676900601807375A 27145380676900601807375145380676900103014114 28145380676900103014114145380606120010301012

7、429145380606120010301012145380000000103010123014538010120010300000 145380000000103010123114538010120010300000100110101200103000003210011010120010300000142434123xxxxxx 解為為自由變量331234123412341234352023505.74304157100 xxxxxxxxxxxxxxxx例 解線性方程組:3512023510174304157100A解3435122351A=1743415710174323513512415

8、710351743235135124157101743017137016117043232236174301713701611704323221743012001611704323223717430120016117043232217430120002170063223817430120002170063221743012000217000139174301200021700011740012000210000140174001200021000011740012000100001411740012000100001170001000010000142170001000010000110000

9、10000100001該齊次線性方程組只有零解43 .,0,:個解向量且每個基礎解系中含的基礎解系存在則定理rnAxnrArAnm例6:求一個齊次線性方程組的解0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx44 000034210352010000342101221463046301221341122121221:2122313122312rrrrrrrrr系數(shù)矩陣解03420352432431xxxxxx45432431342352xxxxxx2413,cxcx2413212211342352cxcxccxccx1034350122214321ccxxxx46二.線性方

10、程組解的情況判定 線性方程組AXB有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩相等，( )( ),( )( ),AAAXBr Ar Arrnrn即秩秩若線性方程組滿足則當時線性方程組有唯一解當時線性方程組有無窮多解47123412341234123425323223232542325328xxxxxxxxxxxxxxxx例25323223232542325328A解4825323223232542325328A解2532303000001000000549253230300000100000055025323030000010000005AA秩為3秩為451253230300000100

11、00000A=方程有無數(shù)解的情況521231231231231231231313123123123131:(1)(2)2020234234432243223253242(3)2023443203324xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 例判定下列方程組解的情況53無解解4)(,3)(47000181004110012129100181004110012155602650411001215203223441320121)1 (:ArArA54有唯一解解nArArA3)()(0000181004110012118100181004110012142562650411

12、0012142203223441320121) 2( :55有無窮多解nArArA2)()(0000000041100121246602055041100121243032013441320121)3(5612341234123412342.?7420253215854342xxxxxxxxxxxxxxxx例當 為何值時，線性方程組有解 有解時求出它的解。30000000001259002471615270361527012590024712114345851235202471:A解57174200952100000000031742009521000000000035817420095210

13、000000000147109995210199900000000005914710999521019990000000000134234714999152999xxxxxx60齊次線性方程組解的判斷 齊次線性方程組AX有非零解的充要條件是r(A)n12312312301.00 xxxxxxxxx例 討論 的情況求方程的解11A= 1111解111111611111112110110112110110111101100(2)(1)22(1)(1) 11 12 62(1).=1當時方程有無數(shù)解123123123000 xxxxxxxxx1 1 11111 1 10001 1 1000123123

14、0 xxxxxx 63(1).=-2當時方程有無數(shù)解123123123202020 xxxxxxxxx21121112112111200064(2).=-2當時方程有無數(shù)解21103312112100000012110101101100000013xx23xx65123123212312.xxxxxxxxx例討論 的情況求方程的解2222211111111111111110 11101166222222110 1110 11110 110 111 6722222110 110 111110 1100(1)(2)(1)(1) 6822110 1100(1)(2)(1)(1) 1231231231

15、23123(1)=-2,(2)=1,:x +x +x =1x +x +x =1x +x +x =1x +x +x =1x =1-x -x當時 方程無解當時 方程無數(shù)解 此時方程為6922110 1100(1)(2)(1)(1) (3)-2,1,當且時 方程唯一解7022110 1100(1)(2)(1)(1) 22110 1100(2) (1)7122110 1100(2) (1)21101100(2)(1)7221101100(2)(1)211011(1)001273211011(1)001221110102(1)00127421110102(1)001221100-210102(1)00127512312321231xxxxxxxxx221231100-210102(1)001211(1)x =-,x =,x =2227612312321231xxxxxxxxx2212322221(1)-+222- +1+(1)- +1+21=122xxx77例 設非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣484355121022121111000111,bA試求Ax=b的一般解.78解0