向量數(shù)量積的定義

1、一一.復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：向量加法法則向量加法法則 平行四邊形法則平行四邊形法則三角形法則三角形法則abba ba abo方向指向被減向量同起點(diǎn)，連終點(diǎn)，AaBbba 向量減法法則向量減法法則向量共線判定定理向量共線判定定理非零向量非零向量a（a00）與向量）與向量b共線，當(dāng)且共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使，使b=a. . 推論推論1：ACABCB 三三點(diǎn)點(diǎn)共共線線、A三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線、則則且且三點(diǎn)不共線，若三點(diǎn)不共線，若、已知已知BA, 1,OPBAOPnmOBnOAm 推論推論2：1221x yx yab/),(),(2211yxbyxa 設(shè)設(shè)坐標(biāo)形式：坐標(biāo)形式：已知兩個(gè)非零向

2、量已知兩個(gè)非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，則，則AOB= （0 180）叫做向量叫做向量a與與b的的夾角夾角。OBA當(dāng)0時(shí)，a與b同向；OAB當(dāng)180時(shí)，a與b反向；OABB當(dāng)90時(shí)，稱a與b垂直， 記為ab.OAab 我們學(xué)過功的概念，即一個(gè)物體在力我們學(xué)過功的概念，即一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）（如圖）FS力力F所做的功所做的功W可用下式計(jì)算可用下式計(jì)算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F與與S的夾角的夾角 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積數(shù)量積”的概念。的概念。 已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量a與與b，

3、它們的，它們的夾角為夾角為，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量|a| |b|cos叫做叫做a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積（或（或內(nèi)積內(nèi)積），記作），記作ab ab=|a| |b| cos規(guī)定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為零向量與任一向量的數(shù)量積為0。 |a| cos（|b| cos）叫）叫做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影。注意：向量注意：向量的數(shù)量積是的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量。一個(gè)數(shù)量。OAB|b|cos abB1ba等于等于a的長度的長度|a方向上的投影在ab與與cos|b的乘積。的乘積。O投影| cosabab Oa b |cosbab 在在 上上的的投投影影：|

4、cos0b Oa b |cos0b a b |cos0b |cosaba 在在 上上的的投投影影：|cosabba 數(shù)數(shù)量量積積等等于于與與投投影影的的乘乘積積。 向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？ab=|a| |b| cos當(dāng)當(dāng)0 90時(shí)時(shí)ab為正；為正；當(dāng)當(dāng)90 180時(shí)時(shí)ab為負(fù)。為負(fù)。當(dāng)當(dāng) =90時(shí)時(shí)ab為零。為零。0)2(baba|;|) 3(bababa同向時(shí)，與當(dāng)|;|bababa反向時(shí)，與當(dāng)特別地特別地2|aaaaaa |或或2a|cos)4(baba| )5(babaOAB abB1| | |

5、| | c co os sa ab ba ab b bbaaba cos)1(方向上的投影方向上的投影在在二、二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：cbcacbabababaabba )(3()()()(2()1( bacbcacbacba (2) ;)(1(注：注： 則 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、 ON, 證明運(yùn)算律證明運(yùn)算律(3) babababababa, 2)3( ;,43)2(;,/)1( ;

6、2, 11求求求求求求：已知：已知例例 （1）求）求BC8,CA7,C60 ,BC CA. 變式變式. .在在ABCABC中，中，方向上的投影方向上的投影在在求求CBCA)2(ba23)3( 求求互相垂直？互相垂直？與與為何值時(shí)，為何值時(shí)，當(dāng)當(dāng)不共線，不共線，與與且且：已知：已知例例bkabkakbaba , 4, 63的最小值的最小值）求）求能垂直？（能垂直？（與與且且：已知：已知例例babakbkabakba 2)1(0,3, 14最?。孔钚。繒r(shí)，時(shí)，取何值取何值，問，問夾角為夾角為與與練習(xí)題：練習(xí)題：btatbaba 0120, 1例例5 5：設(shè)向量：設(shè)向量a，b，c滿足滿足a+ +b+

7、 +c= =0，( (a- -b)c，ab，若，若| |a|=1|=1，則，則| |a| |2 2+|+|b| |2 2+|+|c| |2 2的值是的值是. .【典例典例】(2013(2013天津高考天津高考) )在平行四邊形在平行四邊形ABCDABCD中中,AD=1,BAD=,AD=1,BAD=6060,E,E為為CDCD的中點(diǎn)的中點(diǎn). .若若 , , 則則ABAB的長為的長為_._.1 BEAC【類題試解類題試解如圖，如圖，ABCABC中，中，ACB=90ACB=90且且AC=BC=4AC=BC=4，點(diǎn)，點(diǎn)M M滿足滿足 =( )=( )A.2 B.3 A.2 B.3 C.4 C.4 D.

8、6 D.6CBCM,3 則則MABMMB MACA32CB61CMM32ABC，求求滿滿足足，平平面面內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)的的邊邊長長為為若若等等邊邊外心內(nèi)心重心垂心的是則，所在平面上的一點(diǎn)，且是設(shè)D C B AABCOOBOAOAOCOCOBABCO一般等邊直角等腰的形狀則，中，若在D C B AABCABBCCAABCABCABC.ABC, 02的的形形狀狀判判斷斷若若 ABBCAB的形狀，則，中，已知在ABC21ACACABAB0BCACACABABABCACABADACAB求，于的外心，是設(shè), 1, 3DBCODABCO0)2(baba|;|) 3(bababa同向時(shí)，與當(dāng)|;|bababa反向時(shí)，與當(dāng)特別地特別地2|aaaaaa |或2a|cos)4(baba| )5(bababbaaba cos)1(方向上的投影方向上的投影在在OAB abB1| | | | | c co os sa ab ba ab b 2.2.向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)積運(yùn)算律的比較向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)積運(yùn)算律的比較實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a a，b b，c c向量向量a，b，ca a00，a ab b=0=0b b=0