線性代數(shù)第一章第一節(jié)

1、線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 辦公室：辦公室： 理學院理學院 A 座座 2-3 E-mail : 孟得新孟得新 一次方程（線性）：一次方程（線性）： 古埃及時期古埃及時期二次方程的求根公式：二次方程的求根公式： 古巴比倫時期古巴比倫時期求根公式：可以通過方程系數(shù)的求根公式：可以通過方程系數(shù)的+ +，- -，x x，/ /以及開根號等運算的組合表示方程的根，成為根以及開根號等運算的組合表示方程的根，成為根式解或者代數(shù)解。式解或者代數(shù)解。三次方程的求根公式：中世紀文藝復興（意大利）三次方程的求根公式：中世紀文藝復興（意大利） 費羅-費奧 塔塔利亞-卡當-費拉里-四次方程四次方程 五次以及五次以上方程的可

2、解性：五次以及五次以上方程的可解性： Lagrange Lagrange：猜想不可求解；：猜想不可求解； Able Able（1802-18291802-1829）：證明了不可解性；）：證明了不可解性；伽羅瓦（伽羅瓦（1811-18321811-1832）：給出了高次方程什）：給出了高次方程什么情況下可解的充要條件么情況下可解的充要條件. .11112211211222221122,nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb m個方程的個方程的n元線性方元線性方程組的一般形式程組的一般形式數(shù)乘數(shù)乘加法加法線性運算線性運算 行列式是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相行列

3、式是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的線性方程組（同的線性方程組（n n個方程組成的個方程組成的n n元線性方程組）元線性方程組）的需要而定義的的需要而定義的. . nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111第一章第一章 行行 列列 式式 二階與三階行列式二階與三階行列式 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù) 對對 換換 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開 n 階行列式的定義階行列式的定義 克拉默法則克拉默法則 ,.a xa xba xa xb11112212112222（1）（2）1.1 1.1 二階與

4、三階行列式二階與三階行列式 一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入 1、求解二階線性方程組、求解二階線性方程組 方法：用消元法分別消去方法：用消元法分別消去 和和 .1x2x :a221,a a xa a xb a1122112222122 :a122,a a xa a xb a12211122222121.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式 ;a aa axb aa b112212211122122（）;a aa axa bb a11221221211 2121（）,.a xa xba xa xb11112212112222（1）（2）兩式相減兩式相減 , 消去消去 , 得得2x

5、類似地類似地 , 消去消去 , 得得1x我們可以將之排成一個數(shù)表我們可以將之排成一個數(shù)表b aa bxa aa a122122111221221，.a bb axa aa a11 21212112212213（ ）分母由方程組的四個系數(shù)確定分母由方程組的四個系數(shù)確定 ： 方程組的解為方程組的解為a aa a112212210當當時時,1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式 11122122.aaaa,.a xa xba xa xb11112212112222（1）（2）1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式2、定義、定義 1.1 由四個數(shù)排成二行二列的數(shù)表由四個數(shù)排成二行二

6、列的數(shù)表11221221a aa a表達表達式式稱為數(shù)表稱為數(shù)表(4) 所確定的所確定的 二階行列式二階行列式 , 并記并記為為11122122aaaa（4）11122122aaaa（5）主對角線主對角線副對角線副對角線a a1122.a a12213、 對角線法則對角線法則即即.aaDa aa aaa11121122122121221.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式a11a12a22a211.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式4、 用二階行列式解二元線性方程組用二階行列式解二元線性方程組,.11112212112222a xa xba xa xb( ).， b aa

7、bxa aa aa bb axa aa a12212211122122111 21212112212216解為解為1121112112222122,baaaDxbaaaD 1111112222122122.abaaDxabaaD 則則1121222,baDba 1112212.abDab 11122122,aaDaa 記記系數(shù)行列式系數(shù)行列式1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式例例1.112123212 ,21 .xxxx 求解方程求解方程組組解解:3221D 因為因為() 3470 , D11221114 , D 23122121, 所以所以,DxD11142,7DxD22213

8、.7 ,112233122331132132112332122133132231a a aa a aa a aa a aa a aa a a（8）(8)式稱為數(shù)表式稱為數(shù)表 (7) 所確定的所確定的三階行列式三階行列式 . .1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式二、三階行列式二、三階行列式1、定義、定義 1.2 設有設有 9 個數(shù)排成個數(shù)排成 3 行行 3 列的數(shù)表列的數(shù)表aaaaaaaaa111213212223313233記記111213212223313233aaaaaaaaa（7）aaaaaaaaa111213212223313233a a a112233.a a a112

9、332對角線法則對角線法則說明說明 對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式a a a132132a a a122331a a a132231a a a122133 三階行列式三階行列式包括包括 3! 項項, , 每一項都是位于不同每一項都是位于不同行行, ,不同列的三個元素的乘積不同列的三個元素的乘積, , 其中三項為正其中三項為正, , 三三項為負項為負. .1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式解：解： 按對角線法則，有按對角線法則，有14 . 1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式124221.342D 例例 1.2計算三階行列式計算三階

10、行列式1 1 42 ( 2) ( 2)( 4)2 ( 3) 46324824 D 12( 2) 2 1 ( 3) ( 4) ( 2)4 .xx211123049例例 1.3解：解： 方程左端方程左端Dxxxx2234189212,xx2561.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式xx2560由由解得解得x 2或者或者x 3 3. .求解方程求解方程,baaDbaabaa1121312222333233記記,;a xa xa xba xa xa xba xa xa xb1111221331211222233231132233330 , 3、利用三階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求

11、解三元線性方程組,abaDabaaba1111322122331333.aabDaabaab1112132122231323aaaDaaaaaa111213212223313233若若則三元線性方程組的解為則三元線性方程組的解為: :,11DxD,22DxD33.DxD 例例 1.4,fx ,.fff1023328解：解： 設所求的二次多項式為設所求的二次多項式為 ,f xaxbxc2由題意得由題意得 ,fabc10 ,fabc2423,fabc393281.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式求一個二次多項式求一個二次多項式 使得使得 2231.fxxx0 ,423 ,9328;ab

12、cabcabc 得到一個關于未知數(shù)得到一個關于未知數(shù) 的線性方程組的線性方程組, , ,a b c又又200 ,D 12340,60,20.DDD 得得,aDD12,bDD 23cDD31故所求多項式為：故所求多項式為：1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式我們已知二階、三階行列式，那么，我們已知二階、三階行列式，那么，有有 n 階行列式嗎？若有，是什么樣子？階行列式嗎？若有，是什么樣子？1.1 1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式問題：問題：全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)1、定義、定義 2.1nP(1)n(2)n3 2 1 !.n 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆

13、序數(shù)把把 n 個不同的元素排成一個序列，叫做這個不同的元素排成一個序列，叫做這 n 個元素的個元素的全排列全排列（或（或排列排列）. 元素的所有排列的個數(shù)，通常用元素的所有排列的個數(shù)，通常用 表示表示.nPn 個不同的個不同的n 例例 2.1 排列排列 32514 中的逆序中的逆序. . 我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序 , , n 個不同的個不同的自然數(shù)，規(guī)定自然數(shù)，規(guī)定由小到大由小到大為為標準次序標準次序.2、排列的逆序數(shù)、排列的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)定義定義 2.2 在一個排列在一

14、個排列 中中, 12tsni iiii 則稱這兩個元素組成一個則稱這兩個元素組成一個逆序逆序.若若 的順的順,tsii序與標準次序不同序與標準次序不同 ,排在排在 i 前面且比前面且比 i 大的數(shù)的個大的數(shù)的個數(shù)稱為數(shù)稱為 i 的逆序數(shù)的逆序數(shù) , 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排排列的逆序數(shù)列的逆序數(shù). .例例 2.2 排列排列 32514 的逆序數(shù)的逆序數(shù). . 3 2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為31010故此排列的逆序數(shù)為故此排列的逆序數(shù)為 3+1+0+1+0=5 . 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)定義定義 2.3記為記為 ( ).t i排

15、列的逆序數(shù)等于排列中每排列的逆序數(shù)等于排列中每個元素的逆序數(shù)之和個元素的逆序數(shù)之和.計算排列逆序數(shù)的方法：計算排列逆序數(shù)的方法：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列; ;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列. .3、排列的奇偶性、排列的奇偶性 算出排列中每個元素的逆序數(shù)算出排列中每個元素的逆序數(shù); ; 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù) 每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù). . 例例 2.3 計算下列排列的逆序數(shù)計算下列排列的逆序數(shù) , , 并討論奇偶性并討論奇偶性 . . 1217 98

16、6 354解：解：2 1 7 9 8 6 3 5 4544310010t 18, 54 4310010 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)故為偶排列故為偶排列 . 2123 21n nn 解：解：21 12 .n n t 2n 12321n nn 1n2n 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù) 1n 當當 時為偶排列；時為偶排列；14 ,4 kkn當當 時為奇排列時為奇排列. .34 , 24 kkn 22122212331kkkkkk 123k3210k-1 321 21 2 22 3 231kkkkkk 解：解： 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)

17、0112211tkkk 于是于是 0112211tkkk 2 1112kkk 2,k 于是排列的逆序數(shù)為于是排列的逆序數(shù)為當當 為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，k故故當當 為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，k 1.2 1.2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)排列為偶排列，排列為偶排列，排列為奇排列排列為奇排列.一、概念的引入一、概念的引入aaaDaaaaaa111213212223313233a a aa a aa a a112233122331132132a a aa a aa a a13 22 3111 23 3212 21 33說明說明（1）三階行列式共有三階行列式共有 6 項，即項，即 3! 項項（2）每項都是

18、位于）每項都是位于不同行不同列不同行不同列的三個元素的的三個元素的乘積乘積（3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列的三每項的正負號都取決于位于不同行不同列的三 個元素的個元素的列標排列列標排列 1.3 n 1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義 333231232221131211aaaaaaaaaD 332112322311312213aaaaaaaaa 123111213212223123313233pppaaaaaaaaaaaa02322113312312332211aaaaaaaaa 2311 123(,)( 1)t ppp123p p p二、二、n 階行列式的定義階行列式的定義定

19、義定義 3.1 1.3 n 1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義 由由 n2n個數(shù)組成的個數(shù)組成的階行列式階行列式等于所有等于所有n取自不同行不同列的取自不同行不同列的個元素的乘積個元素的乘積的代數(shù)和的代數(shù)和nnntp ppppnpp ppaaa121212121其中其中np pp12為自然數(shù)為自然數(shù)1, 2,., n的一個的一個排列，排列， 12.ntp pp為該排列的逆序數(shù)為該排列的逆序數(shù).記為記為det(),ija簡記為簡記為ija其中數(shù)其中數(shù)為為D的的( , )i j元元 .111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa 121212121nnntp ppppnpp pp

20、aaa 1.3 n 1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義 說明說明 行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方 程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的線性方程組的需要而程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的線性方程組的需要而定義的定義的; ; 一階行列式一階行列式 不要與絕對值記號相混淆不要與絕對值記號相混淆 . .aa 1.3 n 1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義 階行列式的每項都是位于不同行、不同列階行列式的每項都是位于不同行、不同列 的的 個元素的乘積個元素的乘積 ; ;nn 階行列式是階行列式是 項乘積的代數(shù)和項乘積的代數(shù)和 ; ;n!n 的符號為的符號為1212np

21、pnpaaa nt p pp 12(.)1;例例 3.1計算對角行列式計算對角行列式.0001002003004000展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是 123412341,tppppaaaa 解：解：所以所以 只能等于只能等于 , , 1p4同理可得同理可得2343,2,1.ppp 即行列式中不為零的項為即行列式中不為零的項為 142332411.ta a a a 1.3 n 1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義 14 ,p 若若110 ,pa 則則. 24n 21 .12121nnn ;21n n 21例例 3.2 證明證明對角行列式對角行列式 . . 1.3 n 1.3 n

22、 階行列式的定義階行列式的定義 12n 12112,111t n nnnna aa 12121.n nn 證明：證明：第一式是顯然的第一式是顯然的, ,下面證第二式下面證第二式. .若記若記,1,i n iia 則依行列式定義可知則依行列式定義可知12,11nnnaaa 1.3 n 1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義 3213,2,1,npnpp 所以可能不為零的項只有所以可能不為零的項只有1122.nna aa例例 3.3 計算計算上三角行列式上三角行列式 ,.nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa111211122212111000000觀察觀察,nnpa觀察觀察11,nnpa 進而進而;npn 則則11,npn 則則設展開式中設展開式中 有可能不為零有可能不為零 .解：解： 121