用割補法求面積

1、在組合圖形中，除了多邊形外，還有由圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，為了計算它們的面積，常常需要變動圖形的位置或?qū)D形進行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補，使它變成可以計算出面積的規(guī)則圖形。就是在多邊形的組合圖形中，為了計算面積，有時也要用到割補的方法。例 1 求下列各圖中陰影部分的面積：分析與解 ：（ 1）如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按照右下圖所示，將這兩部分分別拼補在陰影位置。可以看出，原題圖的陰影部分等于右下圖中弧所形成的弓形，其面積等于扇形 OAB 與三角形 OAB 的面積之差。AB 4 44-42=4.56 。（ 2）在題圖虛線分割的兩個正

2、方形中，右邊正方形的陰影部分是半徑為個圓，在左邊正方形中空白部分是半徑為 5 的四分之一個圓。5 的四分之一如下圖所示， 將右邊的陰影部分平移到左邊正方形中。好等于一個正方形的面積，為55=25 ?？梢钥闯?， 原題圖的陰影部分正例 2 在一個等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段（見右圖），求圖中陰影部分的面積占整個圖形面積的幾分之幾。分析與解 ：陰影部分是一個梯形。我們用三種方法解答。（ 1）割補法從頂點作底邊上的高，得到兩個相同的直角三角形。將這兩個直角三角（ 2）拼補法將兩個這樣的三角形拼成一個平行四邊形（下頁左上圖）。積和平行四邊行面積同時除以2，商不變。所以原題

3、陰影部分占整個圖形面（ 3）等分法將原圖等分成9 個小三角形（見右上圖），陰影部分占3 個小三角形，注意，后兩種方法對任意三角形都適用。也就是說， 將例題中的等腰三角形換成任意三角形，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。例 3 如左下圖所示，在一個等腰直角三角形中，削去一個三角形后，剩下一個上底長 5 厘米、下底長 9 厘米的等腰梯形（陰影部分）。求這個梯形的面積。分析與解 ：因為不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面積。可以從等腰直角三角形與正方形之間的聯(lián)系上考慮。將四個同樣的等腰直角三角形拼成一個正方形（上頁右下圖），圖中陰影部分是邊長9 厘米與邊長5 厘米的兩個正方形面積之差，也是所求梯形面積

4、的 4 倍。所以所求梯形面積是（99-5 5） 4=14 （厘米 2）。例 4 在左下圖的直角三角形中有一個矩形，求矩形的面積。分析與解 ：題中給出了兩個似乎毫無關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)，無法溝通與矩形的聯(lián)系。我們給這個直角三角形再拼補上一個相同的直角三角形（見右上圖）。因為A 與 A，B 與 B面積分別相等，所以甲、乙兩個矩形的面積相等。乙的面積是46=24 ，所以甲的面積，即所求矩形的面積也是24。例 5 下圖中，甲、乙兩個正方形的邊長的和是20 厘米，甲正方形比乙正方形的面積大 40 厘米 2。求乙正方形的面積。分析與解 ：如果從甲正方形中“挖掉 ”和乙正方形同樣大的正方形丙，所剩的A ，B ，C 三

5、部分之和就是40 厘米 2（見左下圖）。把 C 割下，拼補到乙正方形的上面（見右上圖），這樣A ，B， C 三塊就合并成一個長20 厘米的矩形，面積是40 厘米 2，寬是 40 20=2 （厘米）。這個寬恰好是兩個正方形的邊長之差，由此可求出乙正方形的邊長為（ 20-2 ）2=9（厘米），從而乙正方形的面積為99=81（厘米 2）。練習(xí) 221.求下列各圖中陰影部分的面積：（1）（2）2.以等腰直角三角形的兩條直角邊為直徑畫兩個半圓弧（見下圖），直角邊長4 厘米，求圖中陰影部分的面積。3.在左下圖所示的等腰直角三角形中，剪去一個三角形后，剩下的部分是一個直角梯形（陰影部分）。已知梯形的面積為3

6、6 厘米 2，上底為3 厘米，求下底和高。4.在右上圖中，長方形AEFD 的面積是 18 厘米 2，BE 長 3 厘米，求CD 的長。5.下圖是甲、乙兩個正方形，甲的邊長比乙的邊長長3 厘米，甲的面積比乙的面積大45 厘米 2。求甲、乙的面積之和。6.求下圖（單位：厘米）中四邊形ABCD 的面積。五年級奧數(shù)專題二十一 :用等量代換求面積一個量可以用它的等量來代替；被減數(shù)和減數(shù)都增加（或減少）同一個數(shù)，它們的差不變。前者是等量公理，后者是減法的差不變性質(zhì)。這兩個性質(zhì)在解幾何題時有很重要的作用，它能將求一個圖形的面積轉(zhuǎn)化為求另一個圖形的面積，或?qū)蓚€圖形的面積差轉(zhuǎn)化為另兩個圖形的面積差，從而使隱蔽

7、的關(guān)系明朗化，找到解題思路。例 1 兩個相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積。分析與解 ：陰影部分是一個高為3 厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不能直接求出它的面積。因為三角形ABC 與三角形DEF 完全相同，都減去三角形 DOC 后，根據(jù)差不變性質(zhì)，差應(yīng)相等， 即陰影部分與直角梯形 OEFC 面積相等， 所以求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求直角梯形OEFC 的面積。 直角梯形 OEFC 的上底為 10-3=7 （厘米），面積為（7+10 ） 22=17 （厘米 2）。所以，陰影部分的面積是17 厘米 2。例 2 在右圖中，平行四邊形ABCD 的邊 B

8、C 長 10 厘米，直角三角形ECB 的直角邊 EC 長 8 厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG 的面積大10 厘米 2 ，求平行四邊形ABCD 的面積。分析與解 ：因為陰影部分比三角形EFG 的面積大10 厘米 2，都加上梯形FGCB后，根據(jù)差不變性質(zhì)，所得的兩個新圖形的面積差不變，即平行四邊行ABCD 比直角三角形 ECB 的面積大 10 厘米 2 ，所以平行四邊形 ABCD 的面積等于10 82+10=50 （厘米 2 ）。例 3 在右圖中， AB=8 厘米， CD=4 厘米， BC=6 厘米，三角形 AFB 比三角形EFD的面積大18 厘米 2。求 ED 的長。分析與解 ：求 E

9、D 的長，需求出EC 的長；求 EC 的長，需求出直角三角形ECB 的面積。因為三角形AFB 比三角形EFD 的面積大18 厘米 2 ，這兩個三角形都加上四邊形FDCB 后，其差不變，所以梯形ABCD 比三角形ECB 的面積大18 厘米 2。也就是說，只要求出梯形ABCD 的面積，就能依次求出三角形ECB 的面積和 EC 的長，從而求出ED 的長。梯形 ABCD 面積 =（ 8+4 ） 62=36 （厘米 2），三角形 ECB 面積 =36-18=18 （厘米 2），EC=18 62=6 （厘米），ED=6-4=2 （厘米）。例 4 下頁上圖中， ABCD 是 74 的長方形， DEFG 是

10、10 2 的長方形，求三角形BCO 與三角形EFO 的面積之差。分析：直接求出三角形BCO 與三角形EFO 的面積之差，不太容易做到。如果利用差不變性質(zhì)，將所求面積之差轉(zhuǎn)化為另外兩個圖形的面積之差，而這兩個圖形的面積之差容易求出，那么問題就解決了。解法一：連結(jié) B，E（見左下圖） 。三角形 BCO 與三角形EFO 都加上三角形BEO ，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BEC 與三角形BEF 的面積之差。所求為4（ 10-7 ） 2-2 （ 10-7 ） 2=3 。解法二：連結(jié) C，F(xiàn)（見右上圖） 。三角形 BCO 與三角形EFO 都加上三角形CFO ，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BCF 與三角形ECF

11、 的面積之差。所求為4（ 10-7 ） 2-2 （ 10-7 ） 2=3 。解法三： 延長BC交GF于 H（見下頁左上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形 COFH ，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BHF與矩形CEFH的面積之差。所求為（ 4+2 ）（ 10-7 ） 2-2 （ 10-7 ）=3 。解法四： 延長AB ，F(xiàn)E交于H （見右上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形 BHEO ，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求矩形BHEC與直角三角形BHF的面積之差。 所求為4（10-7 ） -（ 10-7 ） （ 4+2 ） 2=3 。例 5左下圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是4 厘米，

12、求三角形ABC的面積。分析與解 ：這道題似乎缺少大正方形的邊長這個條件，實際上本題的結(jié)果與大正方形的邊長沒關(guān)系。連結(jié)AD （見右上圖），可以看出，三角形ABD 與三角形 ACD 的底都等于小正方形的邊長，高都等于大正方形的邊長，所以面積相等。因為三角形AFD 是三角形ABD 與三角形ACD 的公共部分， 所以去掉這個公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個部分，即三角形ABF 與三角形FCD 面積仍然相等。根據(jù)等量代換，求三角形ABC 的面積等于求三角形BCD 的面積，等于442=8 （厘米 2 ）。練習(xí) 211.左下圖中，等腰直角三角形ABC 的腰為 10 厘米，以 C 為圓心、 CF 為半徑畫弧線EF ，組成扇形CEF 。如果圖中甲、 乙兩部分的面積相等，那么扇形所在的圓的面積是多少？2.右上圖（單位：厘米）是兩個相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積。3.左下圖中，扇形 ABD 的半徑是 4 厘米，甲比乙的