第八章矩陣特征值和特征向量計(jì)算

1、第八章. 矩陣特征值和特征向量計(jì)算xAx 0 , x A n使及若有設(shè)xCRRnn的根。它是特征多項(xiàng)式 0A)-Idet( 但高次多項(xiàng)式求根精度低 , 一般不作為求解方法. 目前的方法是針對(duì)矩陣的特點(diǎn)可以給出不同的有效方法.X X 是是A A的特征向量，的特征向量， 是是A A的關(guān)于的關(guān)于X X的特征值。的特征值。矩陣特征值與特征向量知識(shí)矩陣特征值與特征向量知識(shí)(復(fù)習(xí)復(fù)習(xí))特征向量是齊次方程組的根特征向量是齊次方程組的根: 。 0A)X-I(唯一特征值，不唯一特征向量。唯一特征值，不唯一特征向量。屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。相似的矩陣有相同的特征

2、多項(xiàng)式，反之不然。相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，反之不然。A A有有n n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量當(dāng)且僅當(dāng)相似于對(duì)角陣。個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量當(dāng)且僅當(dāng)相似于對(duì)角陣。種群年齡結(jié)構(gòu)的估算種群年齡結(jié)構(gòu)的估算問(wèn)題問(wèn)題. . 已知一種昆蟲(chóng)每已知一種昆蟲(chóng)每2 2周產(chǎn)卵一次周產(chǎn)卵一次,6,6周以后死亡周以后死亡, ,孵化以后的幼蟲(chóng)孵化以后的幼蟲(chóng)2 2周后成熟周后成熟, ,平均產(chǎn)卵平均產(chǎn)卵100100個(gè)個(gè),4,4周齡的成蟲(chóng)平均產(chǎn)卵周齡的成蟲(chóng)平均產(chǎn)卵150150個(gè)個(gè), ,假設(shè)每假設(shè)每個(gè)卵發(fā)育為個(gè)卵發(fā)育為2 2周齡成蟲(chóng)的概率為周齡成蟲(chóng)的概率為0.09(0.09(稱為成活率稱為成活率),2),2周齡的成蟲(chóng)周齡的成蟲(chóng)發(fā)育成

3、發(fā)育成4 4周齡成蟲(chóng)的概率為周齡成蟲(chóng)的概率為0.2.0.2. (1)(1)假設(shè)開(kāi)始時(shí)假設(shè)開(kāi)始時(shí),0-2, 2-4,4-6,0-2, 2-4,4-6周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目相同周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目相同, ,計(jì)算計(jì)算2 2周、周、4 4周、周、6 6周后各種周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目；周后各種周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目； (2)(2)討論這種昆蟲(chóng)各種昆蟲(chóng)數(shù)目的演變趨勢(shì)討論這種昆蟲(chóng)各種昆蟲(chóng)數(shù)目的演變趨勢(shì): :各周齡的昆蟲(chóng)的各周齡的昆蟲(chóng)的比例是否有一個(gè)穩(wěn)定值比例是否有一個(gè)穩(wěn)定值? ?昆蟲(chóng)數(shù)目是無(wú)限地增長(zhǎng)還是趨于滅亡昆蟲(chóng)數(shù)目是無(wú)限地增長(zhǎng)還是趨于滅亡? ? 這個(gè)問(wèn)題可歸結(jié)為種群的年齡結(jié)構(gòu)及其增長(zhǎng)趨勢(shì)的問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題可歸結(jié)為種群的年齡結(jié)構(gòu)及其增長(zhǎng)趨

4、勢(shì)的問(wèn)題. .英國(guó)英國(guó) 的生物學(xué)家的生物學(xué)家P.H.Leslie P.H.Leslie 在在19451945年提出了種群年齡結(jié)構(gòu)的離散數(shù)學(xué)年提出了種群年齡結(jié)構(gòu)的離散數(shù)學(xué)模型模型, ,利用矩陣的特征值與向量得出數(shù)學(xué)模型的解利用矩陣的特征值與向量得出數(shù)學(xué)模型的解. . 假定昆蟲(chóng)的雌、雄數(shù)目比為一常數(shù)，為簡(jiǎn)單計(jì)，只考慮雌性個(gè)體.將所有的雌性個(gè)體分成3個(gè)年齡組: 64 , 42 , 20210),:),:),:CCC年齡的單位為周年齡的單位為周, ,每個(gè)年齡組的時(shí)間段為每個(gè)年齡組的時(shí)間段為2 2周。取周為一個(gè)時(shí)間單周。取周為一個(gè)時(shí)間單位位. .建立模型的依據(jù)為建立模型的依據(jù)為: : 組雌性后代的成活數(shù)

5、所育組雌性期間到在組雌性后代的成活數(shù)所育組雌性期間到在時(shí)刻組雌性個(gè)體數(shù)的在時(shí)刻CCCCCttttt02010111組的成活率組雌性個(gè)體數(shù)的在時(shí)刻雌性個(gè)體數(shù)的在時(shí)刻CCCCCCtt1010211 ) (t) .px(t) (t (t)(t), (t), (x(t)(t) .) (t ) ( (t) .)(t t).(t).()(t ), ,i(i),t(ttxxxxxxxxxxxxxTi2020000090513901 ,(1) , 201109010901500901001 , 210 21 2101201210即為寫成矩陣的形式將記則有組的雌性個(gè)體數(shù)第為時(shí)刻令I(lǐng). 各周齡昆蟲(chóng)數(shù)xAx 0 ,

6、 x A n使及若有設(shè)xCRRnn 0.40500.315918.46800 0X 3X , 0180. 00250. 25100. 3 0X 2X , 0.20000.090022.50000PX1X :,PP32別為得到各周齡的昆蟲(chóng)數(shù)分只要用矩陣乘法就可以這樣II.種群年齡結(jié)構(gòu)演變趨勢(shì)分析 0.1368-0.24320.9603- , 0.0399-0.13340.9903- , 0.01710.08760.9960 -0.3554 , -0.6680 1.0234, 02430-0.81 - 2102103aaaP,.Ptt值向量為一組對(duì)應(yīng)的特征必定線性無(wú)關(guān)它們對(duì)應(yīng)的特征值向量，特征值為

7、征方程為的特不難算出，的關(guān)系，利用數(shù)值方法表達(dá)式與的找到數(shù)目的演變趨勢(shì)，需要要獲知各周齡雌性昆蟲(chóng) def Q 2101210210PQQPQ-）則為列構(gòu)造矩陣，（即以，可以對(duì)角化，若令由線性代數(shù)可知，矩陣 4 12101）（故 Q QQP-ttt-tt ）5（ 0X 0Q1 -t2t1t0 QX Pt kkkkkkkkkQ X-210t2t1t0210210t2t1t0t2101 , Q 0X tX ,4941.126992.225260.110 P則記2t21t10t0210kkk(6) 2100t0022011tkkkt 7) ( tX t t 1 0.3473 , 0.6527 t ,

8、, , , 600t00000201210210kkkkk.tXt充分大時(shí)，從而，當(dāng)時(shí)，當(dāng)所以，都小于無(wú)關(guān)，且與，及由于的情況。性昆蟲(chóng)數(shù)目隨時(shí)間演變）式反映了各周齡組雌 .,tX,t1,;,tX 11 000000昆蟲(chóng)趨于滅亡遞減時(shí)則當(dāng)若周齡組的昆蟲(chóng)數(shù)都增加各遞增時(shí)則當(dāng)若即昆蟲(chóng)總數(shù)趨于穩(wěn)定時(shí)，則當(dāng)若幾何級(jí)數(shù)增加按比率每個(gè)時(shí)間單位近似地以即每個(gè)周齡組的昆蟲(chóng)數(shù)t,;,)t (X,t.k 6868121971000971480011 ., 102341 210210002100比例趨于穩(wěn)定。各周齡組的昆蟲(chóng)總數(shù)的時(shí)間的延續(xù)，的昆蟲(chóng)數(shù)是多少，隨著不管各初始時(shí)刻各周齡還是減少，不管昆蟲(chóng)總數(shù)是增加它說(shuō)明那么

9、，容易得出。記延續(xù)而增加時(shí)間的各周齡組的昆蟲(chóng)數(shù)隨著所以本問(wèn)題中 t , tt . , S. t tt t.Ssxsssssskxxxii1. 冪法.值與特征方向。從而逼近按模最大特征，計(jì)算一向量序列：出發(fā)，我們從任意的向量是最敏感的特征方向。向是矩陣主要的，也就對(duì)應(yīng)的特征方而按模最大的特征值所征方向，矩陣特有的特矩陣的特征向量反映了基本思想：）（）（）（）（）（）（）（）（xxxxxxxxkkAAA1120100 求按模最大的特征值與特征向量, 方法簡(jiǎn)單收斂慢.矩陣A 的特征向量集，是 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量)( , , , n2121已經(jīng)歸一化列成：的特征值按模大小可排且VVVnAVVVxxR

10、nnn2211(0)(0) ：則任一初始向量一組基，作為VVVxAxnknnkkkk222111)0()(可構(gòu)造序列討論(1)()()(11222111)(VVVxnknkkkn(1）若按模最大特征值 1 是特征多項(xiàng)式單實(shí)根.是無(wú)窮小量。充分大時(shí)則且若 )( k )2( 1 0 111(k)1i1kkkVxi.)(xxVx)k(i)k(ikk1211111111)(k n , 1,i 收斂速度依賴于比值由 算法 2, 1, 0,k )()1()()()()( yxxxyykkkkkAk則迭代計(jì)算：若記歸一化向量為xVkinik)(111(k)maxy 充分大時(shí)當(dāng))A,AA(VVVxxyxVyx

11、)k()k()k()k()k()k(111111 而同樣使用。使差時(shí)多數(shù)情況由于舍入誤注當(dāng) 0 0 11(2)按模最大特征值1是特征多項(xiàng)式的 重實(shí)根則：且 , , 111n討論(2) n), , 1,(i )( )()1(111i11)1(1i1111ii1)(xxVxVVVxkikiikikkikikiniiiikk且始值而不同！定，所以特征向量隨初由初始值但由于）（ 0ixn , 4, 3,j , 121j且若：xxxxVVxkjkjkikikkkk)()2(1)()2(2122111)( 10)-(8 )( ) 1(或則的近似特征向量與分別是且 2) 1( 2 2122111)(1)1(

12、1111)(1)1(VxxVxxkkkkkkk討論(3) )3(12121VVeeii且，對(duì)共扼復(fù)數(shù)：若按模最大特征值是一 nn331111(0)VVVVx任意初始向量：VVVVxknkknn3331k11111(k) VVeVeVnkkikikn331111k3 ）（充分大118 )(k , ) 1111k(k)eVeVxikik(n,1,2,j , 11)(e)V(j xijjk個(gè)分量：的第12)-(8 )cos(2 ) ( )(keeeexjkikijikijkkj則?kx)k(j , 11的比值，不是相鄰向量相應(yīng)分量變化不規(guī)則增大時(shí)，n21j )2cos(2 )1cos(2 )cos(

13、2 k 2)2(1)1()(，）（）（充分大時(shí)：當(dāng)kxkxkxjkkjjkkjjkkj則 ,q ,cos2p-22121eeii)cos(2 ) 1(cos(2cos2 )2(cos(2)( 212)(21)1(21)2(kkkxxxjkjkjkkjkjkj14)(8 2 , 2 0 22 2221221ppxqipqipqpx的兩個(gè)根而求出：是，則 當(dāng) K 充分大時(shí)將上式看作等式, 任取兩個(gè) K 值的兩個(gè)方程求出 P , q ,0)cos(cos) 1(cos(2 )2(cos(2 2kkkjk求特征向量 ; 11k111111)(k1k11111(k)1VVxVVxkkVVVVVxx)(k

14、kkk)k(1121k11111111111111121)(k 11!, , , 21 值可能是一對(duì)復(fù)數(shù)否則當(dāng)考慮這兩個(gè)特征續(xù)如果迭代平穩(wěn)收斂則繼在實(shí)際計(jì)算中注意的兩個(gè)近似特征向量。與從而得到VVVVVxxkkkk2212k2111111111k111111)(11)(k)( 1i000I-A , A A iIA-,迭代。代用取2. 冪法的加速與降階原點(diǎn)位移法: 收斂速度決定于12大小.不變。且特征向量）（：則 - 0i000ViiiixxAxx)I（Ax. )()(12010200102201021101)0(0)(即可使適當(dāng)選擇VVVxIAxnnnkkkkk！通過(guò)試算找的分布有一定了解，對(duì)

15、 0i)(.AVVVVAAVATT)()()(1111112111 令與的特征值已求出對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣降階：怎樣求次大特征值？。當(dāng)，即），（注意到：0 2 11111i111111111VVVVVVVVVVVVVViTiiTiTiTiTTTniAA A0)( 11111111111112VVVVVVVVAVATT)()(故有),2( , )(- 11111112niVVAVVVVVVAVAiii)(TiTi)(i)( 22但精度漸差。的按模最大特征值，是A)()0(A 1！若特征值非的最小特征值的最大特征值A(chǔ)3. 反冪法xxx, kxAx(k)(k)(k(k)(k1111A : , 10 解方

16、程組求：則冪法 2, 1, 0,k )()1( )()( )(yxxxykkkkAk歸一化（防止溢出）也可以用加速算法.l客觀世界模型化順序：客觀世界模型化順序： 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 物理物理 化學(xué)化學(xué) 生物生物 社會(huì)科學(xué)。社會(huì)科學(xué)。前面學(xué)科可以模型后面的學(xué)科前面學(xué)科可以模型后面的學(xué)科, ,反之不行反之不行!?!?應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本方法是建立模型應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本方法是建立模型, ,而且這種模而且這種模型是最基礎(chǔ)的型是最基礎(chǔ)的, ,因此也是最普遍因此也是最普遍( (通用通用) )的的. .數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)的意義：數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)的意義：l畢達(dá)哥拉斯與柏拉圖：畢達(dá)哥拉斯與柏拉圖： 數(shù)學(xué)規(guī)律是宇宙間最基本、最普遍的規(guī)律。數(shù)學(xué)規(guī)

17、律是宇宙間最基本、最普遍的規(guī)律。 Bourbaki 的訃文（1968年冬） Cantor（康托爾）、Hilbert（希爾伯特）、Noether（諾特）諸家族，Cartan、Weil、Dieudonn、 Chevalley，諸家族 Bruhat（布里阿）、Dixmier（荻思米埃）、Godement（古德曼）、Samuel（薩姆埃爾）、Schwartz （施瓦爾茲）諸家族 ， Demazure （德馬祖爾）、Douady（杜阿第）、Giraud（吉?jiǎng)冢?、Verdier（費(fèi)荻耶）諸家族， 還有其他家族以及Able 和Idle小姐， 悲哀地奉告Nicolas Bourbaki老爺于11月11日在Nancago自己的莊圓中逝世。 茲訂