2.1反常積分newppt課件

1、1一、無窮限的反常積分一、無窮限的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分 第四節(jié) 反常積分2( )lim( )taatf x dxf x dx即,一、無窮限的反常積分( ) ,)lim( )( ) ,.()tataffxaxaf x dxf x dx設(shè)在無窮區(qū)間上連續(xù)，若極限存在，則稱此極限為，記作在無窮區(qū)間上的反常積分定定義義 1 1當(dāng)極限存在時，稱反常積分收斂；當(dāng)極限不存在時，稱反常積分發(fā)散.( )lim( )bbttf x dxf x dx類似地，300( )( )( )f x dxf x dxf x dx，即00lim( )lim( )baabf x dxf x dx(

2、)f x dx當(dāng)右端兩個積分都收斂時，稱收斂；否則稱為發(fā)散.c說說明明: : 定義2中用任意常數(shù) 作中間點均可以.00( )(,)( )(,( )()( ).f xf x dxf x dxf x dxf x 定定義義 2 2 若在上連續(xù)，且反常積分和都收斂，則稱上述兩反常積分之和為，記作在無窮區(qū)間上的反常積分4201(1)(2)1xe dxdxx例0limbxbe dx(1) 原式0limx bbelim(1)1bbe022011dxdxxx(2) 原式022011limlim11baabdxdxxx00lim arctanlim arctanbaabxxlim arctanlim arcta

3、nabab 22 5證證(1)1p 1111pdxdxxx1ln x (2)1p 11111ppxdxxp1111ppp，1111pdxppx例 證明：當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散.1111pdxppx因此，當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散.6證證limbpxpxaabedxedxlimpapbbeepp,0,0apeppp00pxaedxpp練習(xí)：證明當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散.00pxaedxpp因此，當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散.7223011(1)sin(2)(1)xdxdxxxx例211(1)sindxx 原式211limsinbbdxx 21lim cosbbx1lim coscos12bb301 1(1)xdxx (2)

4、 原式23011(1)(1)dxxx0211112(1)2xx 8( )lim( )bbattaf x dxf x dx即，二、無界函數(shù)的反常積分( )( , ( ).lim( )( )( ,( )3bttabaf xa baf xtaf x dxf xa bf x dx定定義義設(shè)在上連續(xù)，點 為的瑕點取 . 若存在，則稱此極限為在上的反常積分. 仍記作( )( ).f xaaf x： 若在點 的任一鄰域內(nèi)無界，則稱點 為的瑕點瑕瑕點點類似地，9( ) , )( ).lim( )( )( , ( )tatbbaf xa bbf xtbf x dxf xa bf x dx，定定義義 4 4 設(shè)在

5、上連續(xù)點 為的瑕點取 . 若存在，則稱此極限為在上的反常積分. 仍記作( )lim( )btaatbf x dxf x dx即，( ) , ( ).( )( )( )( )( ) li = m( )+ lim( )cbacbcbaacbttatatbbaf xa bccf xf x dxff x dx dxf x dxf x dxf x dxf x dxxf x dx，定定義義 5 5 設(shè)在上除點 外連續(xù)點 為的瑕點若兩個反常積分和都收斂則定義否則，稱反常積分發(fā)散.10解220(0).adxaax例221limxaax ，由于220limttadxax原式limarcsin0.2tata( )

6、?abcf x、， ，如何判別上述定義3 4 5中的點為的瑕點.xa則是瑕點lim( )lim( )lim( )xcxaxbf xf xf x ，.方方法法 : : 證明0lim arcsinttaxa11證證(1)1q 10ln,x (2)1q 1110011qqxdxxq,11,11qqq110011qdxdxxx10111qdxqqx例 證明：當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散.10111qdxqqx因此，當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散.12解解21lndxxx例2211limlnlnttdxdxxxxx21(ln )limlnttdxx21lim ln(ln )ttx1lim ln(ln2)ln(ln )tt 故

7、原反常積分發(fā)散.1x ：瑕點13解2330(1)dxx例232233131300+(1)(1)1dxdxdxxxx22331001lim(1)(1)ttdxdxxx223333111lim(1)(1)tdxdxxx2331321311lim(1)321tx 233303(12)(1)dxx1x ：瑕點23121301lim(1)31ttx 1410sin(ln )x dx例解1100limsin(ln )sin(ln )ttx ddxxx11sinlncoslnsinlnttttx xxdx 11122sin(ln )(coslnsinln )tx dxttt11122011122200sin

8、(ln )(coslnsinln )lim(coslnsinllimn )ttx dxtttttt 0 x ：瑕點111sinlncosin(lnsln)tttx dxx xxdx無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量.150(4)dxxx例101(4)(4)dxdxxxxx解：原式=0101(4)lim(4)ttdxxdxxxx112222lim arctanarctanarctanbb0 x ：瑕點兩類反常積分的混合！10limarctan2ttx112220arctanlimarctanarctantt11lim(4)4)bbdxxxdxxx1limarctan2bbx2 原式=1624400112 2dxxdxxx例 證明證1xt ，令則24014101()11ttdxdtx2041tdtt 2401tdtt2401xdxx1210()()2xxd xx111222220arctan().2xx 221104204dxxxxdx22124422441000001111211xxdxxdxdxxdxxxdxxxx兩類反常積分的混合！17201(1)(1)ndxxx例1tx ，解：令dttttnn021111)(27117(2)P220121