1231橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程ppt課件

1、第十二章圓錐曲線12.2.4 圓的方程圓的方程12.3.1 橢圓的規(guī)范方程橢圓的規(guī)范方程生活中的橢圓生活中的橢圓例例1.知知 ,圖中一系列同心圓半徑分別是圖中一系列同心圓半徑分別是 1,2,3,. 在兩組同心圓的交點(diǎn)中，描出在兩組同心圓的交點(diǎn)中，描出“與與 兩兩點(diǎn)間隔和為點(diǎn)間隔和為14 的點(diǎn)并用光滑曲線依次銜接所的點(diǎn)并用光滑曲線依次銜接所描的交點(diǎn)描的交點(diǎn).| 10AB ,A B-20-15-10-55101520AB思索思索 假設(shè)間隔和改為假設(shè)間隔和改為1010呢呢? 5? 5呢呢? ?一、橢圓的定義一、橢圓的定義平面上到兩個(gè)定點(diǎn)平面上到兩個(gè)定點(diǎn) 的間隔和等于常數(shù)的間隔和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做

2、橢圓的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)這兩個(gè)定點(diǎn) 叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距12,F F(常數(shù)大于常數(shù)大于 )12|FF1F2FM離叫做焦距離叫做焦距.12,F F1F2FM二、橢圓的規(guī)范方程二、橢圓的規(guī)范方程xyO1F2FM設(shè)橢圓焦點(diǎn)之間的間隔為設(shè)橢圓焦點(diǎn)之間的間隔為2c橢圓上恣意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)橢圓上恣意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的間隔和為的間隔和為2a (22 )ac以焦點(diǎn)以焦點(diǎn) 所在直線為所在直線為 軸軸,線段線段 的垂直平分線為的垂直平分線為 軸軸,建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系,12,F Fx12F Fy12(,0),( ,0)FcF c設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) 是橢圓上恣意一點(diǎn)是橢圓上恣意

3、一點(diǎn), ,那么列式為那么列式為( , )M x y12|2MFMFa2222()()2xcyxcya即即那么那么二、橢圓的規(guī)范方程二、橢圓的規(guī)范方程xyO1F2FM2222222()44()()xcyaaxcyxcy化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) (移項(xiàng)平方移項(xiàng)平方)222()acxaxcy4222222222222aa cxc xa xa cxa ca y22222222()()acxa ya ac設(shè)橢圓焦點(diǎn)之間的間隔為設(shè)橢圓焦點(diǎn)之間的間隔為2c橢圓上恣意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)橢圓上恣意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的間隔和為的間隔和為2a (22 )ac二、橢圓的規(guī)范方程二、橢圓的規(guī)范方程xyO1F2FM由于由于 ,所以取所以取 ,使得使

4、得22ac0b 222acb因此因此222222b xa ya b兩邊再同除以兩邊再同除以22a b22221(0)xyabab設(shè)橢圓焦點(diǎn)之間的間隔為設(shè)橢圓焦點(diǎn)之間的間隔為2c橢圓上恣意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)橢圓上恣意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的間隔和為的間隔和為2a (22 )ac化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) (系數(shù)化簡(jiǎn)系數(shù)化簡(jiǎn))證明滿足方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上證明滿足方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上( (略略) )二、橢圓的規(guī)范方程二、橢圓的規(guī)范方程xyO1F2FM22221(0)xyabab橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在 軸上軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為12(,0),( ,0)FcF c橢圓上的恣意點(diǎn)到焦點(diǎn)的間隔為橢圓上的恣意點(diǎn)到焦點(diǎn)的間

5、隔為 222cabx2a上式稱為橢圓的規(guī)范方程上式稱為橢圓的規(guī)范方程請(qǐng)用文字言語(yǔ)及圖形描畫(huà)方程請(qǐng)用文字言語(yǔ)及圖形描畫(huà)方程221169xy所表示的橢圓滿足所表示的橢圓滿足:acb例例2.寫(xiě)出以下橢圓的方程寫(xiě)出以下橢圓的方程: (1)如圖如圖,焦點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,且橢圓上的且橢圓上的12( 2,0),(2,0)FF點(diǎn)到焦點(diǎn)的間隔和為點(diǎn)到焦點(diǎn)的間隔和為6.(2)如圖如圖,焦點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,且橢圓上的且橢圓上的12(0,3),(0, 3)FF1F2FxyO21F2FxyO322195xy點(diǎn)到焦點(diǎn)的間隔和為點(diǎn)到焦點(diǎn)的間隔和為10.2212516yx3545(選講選講)求證求證: 方程方程 的曲

6、線上的恣意點(diǎn)到的曲線上的恣意點(diǎn)到12(0,3),(0, 3)FF2212516yx的間隔之和為的間隔之和為10.證：設(shè)證：設(shè) 為方程的曲線上的恣意一點(diǎn)為方程的曲線上的恣意一點(diǎn).( , )P x y221|(3)PFxy2216(1)(3)25yy293625 |5|255yyy由于由于,故故13| 55PFy2221252516yxy (選講選講)求證求證: 方程方程 的曲線上的恣意點(diǎn)到的曲線上的恣意點(diǎn)到12(0,3),(0, 3)FF2212516yx的間隔之和為的間隔之和為10.證證(續(xù)續(xù))：同理：同理222|(3)PFxy2933625|5| 52555yyyy那么那么1233| (5)

7、(5)1055PFPFyy證畢證畢請(qǐng)用文字言語(yǔ)描畫(huà)方程請(qǐng)用文字言語(yǔ)描畫(huà)方程22221(0)yxabab二、橢圓的規(guī)范方程二、橢圓的規(guī)范方程22221(0)xyabab下面兩式都叫做橢圓的規(guī)范方程下面兩式都叫做橢圓的規(guī)范方程:xyO1F2FacbxyO1F2Facb22221(0)yxabab22212| 2 ,PFPFa cab12(,0),( ,0)FcF c22212| 2 ,PFPFa cab12(0, ),(0,)Fc Fc課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.以下方程的曲線是橢圓嗎？以下方程的曲線是橢圓嗎？2222(3)(3)8xyxy(1)(2)2222(1)(1)2xyxy2.求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)或規(guī)

8、范方程求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)或規(guī)范方程:2212516xy(1)(2)221169144yx5,3ab(3) ，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在 軸上；軸上；x1bc(4) ，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在 軸上軸上.y3.假設(shè)關(guān)于假設(shè)關(guān)于 的方程的方程 表示橢圓，表示橢圓，, x y221mxny,m n求求 所滿足的條件及焦點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的條件及焦點(diǎn)的坐標(biāo).課堂練習(xí)答案課堂練習(xí)答案1.(1)橢圓；橢圓；(2)線段線段.2.(1)12( 3,0),(3,0)FF(2)12(0,5),(0, 5)FF(3)(4)221259xy22121yx3.當(dāng)當(dāng) 為不相等的正實(shí)數(shù)時(shí)方程表示橢圓為不相等的正實(shí)數(shù)時(shí)方程表示橢圓,m n 時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)

9、為時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為110mn11(,0)mn 時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為110nm11(0,)nm圓錐曲線的歷史圓錐曲線的歷史數(shù)學(xué)家門奈赫莫斯數(shù)學(xué)家門奈赫莫斯(公元前公元前4世紀(jì)中葉世紀(jì)中葉)發(fā)現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)了他用垂直于圓錐的一條母線的平面去截圓錐面他用垂直于圓錐的一條母線的平面去截圓錐面得到三種不同的截線：得到三種不同的截線：圓錐曲線，處理了圓錐曲線，處理了“倍立方問(wèn)題倍立方問(wèn)題.橢圓橢圓拋物線拋物線雙曲線的一支雙曲線的一支課外閱讀資料課外閱讀資料1 1丹德林的球丹德林的球 課外閱讀資料課外閱讀資料2 2在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球,使得它們分別與圓錐的側(cè)面相使得它們分別與

10、圓錐的側(cè)面相切且與截面分別相切與切且與截面分別相切與 點(diǎn)點(diǎn).在截口曲線上任取一點(diǎn)在截口曲線上任取一點(diǎn) 并作并作母線的平行線母線的平行線,分別與兩球交于分別與兩球交于 ,由于球外一點(diǎn)到球的切線由于球外一點(diǎn)到球的切線長(zhǎng)都相等因此有長(zhǎng)都相等因此有:12,F FA,C B12,AFAC AFAB顯然顯然 是定值是定值,因此因此BC12AFAF 定值1.教材方法教材方法“兩次平方法由英國(guó)數(shù)學(xué)家薩爾蒙兩次平方法由英國(guó)數(shù)學(xué)家薩爾蒙(18191904)初次采用，過(guò)程略初次采用，過(guò)程略.2. “和差法由法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)和差法由法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)(16611704)初次采用初次采用:設(shè)設(shè)12|,|MFadMFad那

11、么那么2222122222|()()|()()MFxcyadMFxcyad兩式相減得兩式相減得 ，解得，解得44cxadcxda再代入式后化簡(jiǎn)即得，后略再代入式后化簡(jiǎn)即得，后略.橢圓規(guī)范方程的推導(dǎo)橢圓規(guī)范方程的推導(dǎo)課外閱讀資料課外閱讀資料3 3橢圓規(guī)范方程的推導(dǎo)橢圓規(guī)范方程的推導(dǎo)課外閱讀資料課外閱讀資料3 33.“平方差法由平方差法由19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家賴特在其世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家賴特在其1836年出版的書(shū)中初次采用：年出版的書(shū)中初次采用：設(shè)設(shè)112212|,|,2MFdMFddda那么那么22212222()()dxcydxcy兩式相減得兩式相減得1212()()4ddddcx12 (22 )4ad

12、acx再代入式后化簡(jiǎn)即得，后略再代入式后化簡(jiǎn)即得，后略.即即，解得，解得1cdaxa橢圓規(guī)范方程的推導(dǎo)橢圓規(guī)范方程的推導(dǎo)課外閱讀資料課外閱讀資料3 34.“分子有理化法現(xiàn)行俄羅斯數(shù)學(xué)教材中采用：分子有理化法現(xiàn)行俄羅斯數(shù)學(xué)教材中采用：2222()()2xcyxcya兩邊平方化簡(jiǎn)即可，后略兩邊平方化簡(jiǎn)即可，后略.分子有理化得：分子有理化得：222242()()cxaxcyxcy即即22222()()cxxcyxcya兩式相加得兩式相加得22()cxcyaxa橢圓規(guī)范方程的推導(dǎo)橢圓規(guī)范方程的推導(dǎo)課外閱讀資料課外閱讀資料3 35.“余弦定理法由余弦定理法由18世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂爾在其世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂爾在其1745年出版年出版中初次采用：中初次采用：設(shè)設(shè)12