七下實(shí)數(shù)輔導(dǎo)講義(一)終極版

1、第六章實(shí)數(shù)輔導(dǎo)講義【知識(shí)要點(diǎn)】1、平方根(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于 a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。即：如果x2=a,則x叫做a的平方根，記作“ 后” (a稱(chēng)為被開(kāi)方數(shù))。(2)平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)；0只有一個(gè)平方根，它就是 0本身；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.(3)開(kāi)平方：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.(4)算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做 a的算術(shù)平方根，記作“ ja”。(5) 指本身為非負(fù)數(shù)，即 石>0; 4a有意義的條件是a>0°(6)公式：(指)2=a (a>0)；2、立方根(1)定義：一般

2、地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。即：如果x3=a,把x叫做a的立方根。數(shù)a的立方根用符號(hào) 羽”表示，讀作 三次根號(hào)a”。(2)立方根的性質(zhì)：正數(shù)有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0;負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根。(3)開(kāi)立方：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立方。求一個(gè)數(shù)的立方根可以通過(guò)立方運(yùn)算來(lái)求.3、平方根與立方根與區(qū)別：0.只有正數(shù)和0有平方根，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，正數(shù)的平方根有2個(gè)，并且互為相反數(shù)，0的平方根只有一個(gè)且為一個(gè)數(shù)只有一個(gè)立方根，并且符號(hào)與這個(gè)數(shù)一致；4、.識(shí)記常用平方表：(自行完成) 5、實(shí)數(shù)的分類(lèi)(1)按實(shí)數(shù)的定義分類(lèi):整數(shù)自然數(shù)(0, 1, 2,負(fù)

3、整數(shù)(1,2,有理數(shù)實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)(1,分?jǐn)?shù)(小數(shù))2負(fù)分?jǐn)?shù)(-,23 )3 )2 ) (有限小數(shù)、3無(wú)限循環(huán)小數(shù)無(wú)理數(shù)正有理數(shù)負(fù)有理數(shù)(無(wú)限不循環(huán)小數(shù))10(2)按實(shí)數(shù)的正負(fù)分類(lèi):,一正整數(shù)正有理數(shù)正實(shí)數(shù)正分?jǐn)?shù)正無(wú)理數(shù)實(shí)數(shù)零（既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)）負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)無(wú)理數(shù)（3）實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，即數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是 一對(duì)應(yīng)關(guān)系.（4）、絕對(duì)值一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零。一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離。Va2a 0 a 0a a 0題型規(guī)律總結(jié)：0和1；立方根是

4、其本身的數(shù)是0和± 1。1、平方根是其本身的數(shù)是0；算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是 2、每一個(gè)正數(shù)都有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根，其中正的那個(gè)是算術(shù)平方根；任何一個(gè)數(shù)都有唯一一個(gè)立方根，這 個(gè)立方根的符號(hào)與原數(shù)相同。3、ja本身為非負(fù)數(shù)，有非負(fù)性，即Va >0; ja有意義的條件是a>0o 4、公式：（G）2=a （a>0）； Z a = 3/a （a取任何數(shù)）。5、區(qū)分(4a)2=a (a> 0),與 " a2 = a6 .非負(fù)數(shù)的重要性質(zhì)：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0,則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為 0 （此性質(zhì)應(yīng)用很廣，務(wù)必掌握）。7 .一般來(lái)說(shuō)，被開(kāi)放數(shù)擴(kuò)大（或縮小）n

5、倍，算術(shù)平方根擴(kuò)大（或縮?。┏啾?例如V25 5J2500 508 、.識(shí)記常用平方表：（自行完成）12=62=112=162=212=22=72=122=172=222=32=82=132=182=232=42=92=142=192=242=52=102=152=202=252=9.易混淆的三個(gè)數(shù)（自行分析它們）：（1）ja2（2）（ja）2Va310、識(shí)記下列各式的值，結(jié)果保留4個(gè)有效數(shù)字：42 y 43 y J5 弋 q6 y y 7 y【典型例題】題型一、平方根定義的運(yùn)用例1、一個(gè)正數(shù)的平方根為 3 a和2a 3,求這個(gè)數(shù)？變式1、已知2a 1和 a 2是m的平方根，求 m的值?變式2

6、、已知某個(gè)數(shù)的平方根分別為a 3和2a 15,求a和這個(gè)數(shù)?-0.01 2例2、（1）下列各數(shù)是否有平方根，請(qǐng)說(shuō)明理由（-3） 20 2（2）下列說(shuō)法對(duì)不對(duì)？為什么?4有一個(gè)平方根只有正數(shù)有平方根任何數(shù)都有平方根 例3、求下列各數(shù)的平方根： （1）9（2） 若a>0, a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)(3) 0.36169變式3、.下列語(yǔ)句中，正確的是（）A. 一個(gè)實(shí)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)B.負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根C. 一個(gè)實(shí)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)D.立方根是這個(gè)數(shù)本身的數(shù)共有三個(gè)變式4.下列說(shuō)法正確的是（）A. -2是（-2） 2的算術(shù)平方根C. 16的平方根是土 4題型三、化簡(jiǎn)求

7、值B . 3是-9的算術(shù)平方根D. 27的立方根是土 3例 1、已知 0 x 3,化簡(jiǎn)：J(2x 1)2 x 5變式1、若x 1 x 1 0,化簡(jiǎn):"(1 x)2.(b c)2例2已知a,b,c實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)變式2、實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示化簡(jiǎn)：a 1 V（a 2）2 =-2-1 o i 2變式3如圖所示，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,則點(diǎn)C所表示的實(shí)數(shù)為()A. J52B. 2-/5C. 45 -3D.3例3、當(dāng)a<0時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是()B -1例4、化簡(jiǎn)下列各式:(1) I1：-1.4|(2) | 兀-3.142|(3) |-,1-.&#

8、39;' |【變式1】化簡(jiǎn):卜后2收| + V2 + V| |V2 -內(nèi)題型四、利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式三種常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)：a2 0a 0,a 0(a 0)注意：(1)任何非負(fù)數(shù)的和仍是非負(fù)數(shù)；(2)若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0,那么這幾個(gè)非負(fù)數(shù)均為0.例1、已知實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足 Jx 2+(y+1) 2=0,則x-y等于【變式11已知a、b是有理數(shù)，且滿(mǎn)足(a-2) 2+b 3=0,則ab的值為【變式2已知''卜I 那么a+b-c的值為【變式 3】已知(x-6)2+""+|y+2z|=0,求(x-y)3-z3 的值。求被開(kāi)方數(shù)中的未知數(shù)的值f例 2 若 y=

9、 vx 5 + 勺5 x+2017,則 x+y=2變式1、若夕彳(x y),則x-y的值為()A. -1 B. 1 C. 2 D. 3變式2、若x、y都是實(shí)數(shù)，且y=，'2x 3 d3 2x 4,求xy的值1 1變式3、已知b 43a 2 2/2 3a 2,求 1的值？ a b題型五、解方程 23(1) (x 2)4 0(2) (x 3)27 0_32(3) 27x125 0(4) (2x 1).25題型六、整數(shù)部分和小數(shù)部分的探討例1、已知x是亞0的整數(shù)部分，y是/10的小數(shù)部分，求 (y J10) x1的平方根。變式1設(shè)m是7 加3的小數(shù)部分，n為7 J13的小數(shù)部分，求(m n)

10、2°17的值?.變式2、已知K?0的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,求a2 b2的值.題型六 關(guān)于平方根、立方根的求值例1、求下列各式的值(3)(4)4( 4)2(1)兩； V16 ；解(1)因?yàn)?2 81,所以士 國(guó)=±9.例2 (1) 64的立方根是 32(2)下列說(shuō)法中： 3都是27的立萬(wàn)根，3y y,J64的立萬(wàn)根是2,3/ 84。正確的有()A 、1個(gè) B、2個(gè) C 、3個(gè) D、4個(gè)題型八、探索找規(guī)律11(鹽城市)現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算“"：aXb=ab,如3X2=32=9,則一派3=()22 (資陽(yáng)市)若“！ ”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且 1! =1, 2! =

11、2X1=2, 3! =3X2M=6, 4! = 4>3X2X1,，則100!98!的值為()A. 50B. 99!C. 9900D. 2!493 .如果有理數(shù) a,b滿(mǎn)足I ab - 2 I + I 1 - b I =0,1111試求_1 1 1+1的值.ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2) (a 2016)(b 2016)4 .觀察思考下列計(jì)算過(guò)程：:112=121,J12i=11;同樣：1112 =12321,)12321 =111;由此猜想：,12345678987654321 =題型/I實(shí)數(shù)比較大小的方法1、方法一：差值比較法差值比較法的基本思路是設(shè)a, b為任意兩個(gè)

12、實(shí)數(shù)， 先求出a與b的差，再根據(jù)當(dāng)a-b>0時(shí)，得到a>b。當(dāng)a-b<0時(shí)，得到a<b。當(dāng)a-b=0,得到a=b。例1、比較1-J2與1-<3的大小。3、方法二：商值比較法商值比較法的基本思路是設(shè)a, b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先求出 a與b得商。當(dāng) 亙<1時(shí)，a<b;當(dāng)?shù)?gt;1時(shí)，abb>b;當(dāng)=1時(shí)，a=b。來(lái)比較a與b的大小。bf例2、比較、13 3 與1的大小。884、方法三：平方法平方法的基本是思路是先將要比較白兩個(gè)數(shù)分別平方，再根據(jù)a>0, b>0時(shí)，可由a2>b2得到a>b來(lái)比 較大小，這種方法常用于比較無(wú)理數(shù)

13、的大小。例3、比較2 J7與3 J3的大小 5、方法四：估算法估算法的基本是思路是設(shè) a, b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先估算出a, b兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值范圍，再進(jìn)行比較。.13 3 . 1例4、比較3 與-的大小。88綜合演練一、填空題1、 （-0.7） 2 的平方根是 2、若 a2 =25, b =3,則 a+b=3、已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a-2和a-4,則a的值是4、34=5、若m、n互為相反數(shù)，則 m 75 n =6、若 Ya2a ,則 a 07、若J3x 7有意義,則x的取值范圍是8、16的平方根是土 4”用數(shù)學(xué)式子表示為9、大于-啦，小于 訴的整數(shù)有 個(gè)。10、一個(gè)正數(shù)x的

14、兩個(gè)平方根分別是 a+2和a-4 ,則a= , x=11、當(dāng)x時(shí)，& 3有意義。12、當(dāng)x時(shí)，'2x 3有意義。113、當(dāng)x時(shí)，* x有意義。x 114、當(dāng)x時(shí)，式子 x 2有意義。15、若J4a 1有意義,則a能取的最小整數(shù)為二、選擇題1. 9的算術(shù)平方根是（）A.-3 B . 3 C .±3 D . 812. 下列計(jì)算正確的是（）A 再=±2 B 、.兩病=9C. . 36 6 D. . 9293. 下列說(shuō)法中正確的是（）A . 9的平方根是3 B照的算術(shù)平方根是土 2C. J6的算術(shù)平方根是D. 炳的平方根是土 24. 64的平方根是()A. 

15、7; 8 B.±4 C .±2 D.±725. 4的平方的倒數(shù)的算術(shù)平方根是()A. 4 B . 1 C.-1 D . 18446.下列結(jié)論正確的是()A . ( 6)26 B (3)29 C( 16)216 D16 2 26 25257 .以下語(yǔ)句及寫(xiě)成式子正確的是（）A 7是49的算術(shù)平方根，即 497 B 、7是（7）2的平方根，即不 7C7是49的平方根，即v49 7 D 、7是49的平方根，即土而 78 .下列語(yǔ)句中正確的是（）A、9的平方根是 3 B 、9的平方根是3C 9的算術(shù)平方根是3 D 、 9的算術(shù)平方根是 39 .下列說(shuō)法：（1）3是9的平方根；（2）9的平方根是 3; （3）3是9的平方根；（4）9的平方根是3,其中正確的有（）A.3個(gè)B.2個(gè)C. 1個(gè)D.4個(gè)10 .下列語(yǔ)句中正確的是（）、只有正數(shù)才有算術(shù)平方根、1是1的平方根A任意算術(shù)平