數(shù)學(xué)建模課的案例教學(xué)法

1、數(shù)學(xué)建模課的案例教學(xué)法數(shù)學(xué)系本六班姓名：王秀偉指導(dǎo)教師：王維平摘要：案例教學(xué)法是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模課特點(diǎn)和目的的教學(xué)方法，本文主要介紹了如何運(yùn)用案例教學(xué)法來(lái)組織學(xué)生進(jìn)行教學(xué)，以及如何選擇適合的案例，并且給出了具體的實(shí)例規(guī)范地演示了案例教學(xué)法的整個(gè)過(guò)程.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模、案例教學(xué)、數(shù)學(xué)模型、教學(xué)方法1 .數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模教學(xué)我們已經(jīng)進(jìn)入了計(jì)算機(jī)革命的時(shí)代，這個(gè)時(shí)代有二個(gè)主要特點(diǎn)：一是計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，計(jì)算機(jī)技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域愈來(lái)愈廣泛；二是數(shù)學(xué)使社會(huì)日益數(shù)字化，數(shù)字電路、數(shù)字通訊、數(shù)字地圖（甚至最近提出的數(shù)字地球）、數(shù)字戰(zhàn)爭(zhēng)等已成為當(dāng)今高科技研究成果的代表詞匯.但是，要利用數(shù)學(xué)的理論和方法解決各類(lèi)實(shí)際

2、問(wèn)題關(guān)鍵的第一步就是建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，即數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和計(jì)算機(jī)技術(shù)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題的一門(mén)新學(xué)科.開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課的目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)去分析研究對(duì)象的特點(diǎn)，抓住關(guān)鍵因素，進(jìn)而建立一個(gè)解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)求解數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.這也是大學(xué)素質(zhì)教育和能力培養(yǎng)的重要內(nèi)容.很明顯，數(shù)學(xué)建模課已不是傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，如果仍采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課教學(xué)方法，即“教師講、學(xué)生聽(tīng)、做習(xí)題、考試”，顯然達(dá)不到開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課的目的.為了讓學(xué)生自覺(jué)地把已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)與我們周?chē)默F(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生知道數(shù)學(xué)有用，怎樣運(yùn)用，應(yīng)該在教學(xué)

3、中，以典型實(shí)際問(wèn)題的建模例子（即具體案例）作為教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)典型問(wèn)題的建模示例，介紹數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)建模的思想方法.將上述指導(dǎo)思想貫徹到教學(xué)過(guò)程中，即案例教學(xué)法.案例教學(xué)法作為一種新穎教學(xué)方法，其有效性得到國(guó)際社會(huì)公認(rèn)，它已在法律、經(jīng)濟(jì)、軍事等課程教學(xué)中應(yīng)用，但對(duì)數(shù)學(xué)課教學(xué)來(lái)說(shuō)，它是首次，經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，我們認(rèn)為案例教學(xué)法是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模課特點(diǎn)和目的的教學(xué)方法.2 .案例教學(xué)法的組織與實(shí)施如上所述，案例教學(xué)法，就是指在課堂教學(xué)中，以具體案例作為教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)具體問(wèn)題的建模示例，介紹數(shù)學(xué)建模的思想方法.課堂上可以是教師講，也可以進(jìn)行課堂討論，由學(xué)生發(fā)言，報(bào)告對(duì)問(wèn)題的理解和所建的

4、數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)，并提出新的數(shù)學(xué)模型，對(duì)其求解、分析討論、進(jìn)行比較、驗(yàn)證.實(shí)施案例教學(xué)法有以下三個(gè)環(huán)節(jié).3 .1案例的選擇要組織好案例教學(xué)，最基本的是選擇好案例.選擇案例時(shí)，要考慮以下幾個(gè)方面：一是要有鮮明的教學(xué)目的性.這個(gè)目的就是要培養(yǎng)學(xué)生的分析解決問(wèn)題的能力，這種教學(xué)目的性不僅反映在單個(gè)案例的學(xué)習(xí)中，還要反映在整個(gè)課程的教學(xué)設(shè)計(jì)上.學(xué)生通過(guò)眾多的表面看來(lái)互不相關(guān)、支離破碎的，然而實(shí)際上都是精心選擇、用心安排的案例學(xué)習(xí)活動(dòng)，在反復(fù)的分析活動(dòng)中，經(jīng)過(guò)不斷對(duì)比、歸納、思考、領(lǐng)悟，將建立起一套對(duì)個(gè)人特別適合和有效的思維和處理問(wèn)題的程式，這種緩慢而艱巨的自我領(lǐng)悟過(guò)程，將帶來(lái)學(xué)習(xí)和分析能力的升華與質(zhì)變.

5、二是要有趣味性.通過(guò)調(diào)查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模都懷有濃厚的興趣，但普便存在畏難情緒.因此我們?cè)诰唧w組織案例時(shí)，針對(duì)這些具體情況，首先選擇些既趣味，又能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想方法的簡(jiǎn)單案例，如椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)？人狼羊菜過(guò)河，七橋問(wèn)題，為什么發(fā)射衛(wèi)星需要三級(jí)火箭等，從培養(yǎng)興趣著手，讓學(xué)生逐步體會(huì)到建模方法與數(shù)學(xué)的重要性.三是要有高度的擬真性.案例的趣味性是增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的目的在于解決實(shí)際工作中的問(wèn)題，因此，案例選擇的擬真性尤為重要.在教學(xué)中我們?yōu)閷W(xué)生提供的案例盡可能具有真實(shí)性和實(shí)用性.四是要有代表性和廣泛性.避免涉及過(guò)多的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，又要考慮到當(dāng)今科學(xué)技術(shù)的發(fā)展、學(xué)科間的互相滲透

6、，照顧到拓寬學(xué)生的知識(shí)面，案例涉及到經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、社會(huì)、醫(yī)學(xué)、測(cè)繪、管理、軍事等方面內(nèi)容，這些問(wèn)題的實(shí)際背景容易被學(xué)生了解和接受，有的就是平時(shí)所接觸過(guò)但又不深入了解的普通問(wèn)題，學(xué)起來(lái)饒有興趣，頗感親切.2.2課堂講授在講授具體案例時(shí)，一是抓兩頭：一頭是突出從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，講清問(wèn)題的背景、建模要求和已掌握的信息，如何利用合理的假設(shè)和簡(jiǎn)化分析，從而提煉出數(shù)學(xué)模型來(lái)；另一頭是如何用求解結(jié)果解釋實(shí)際現(xiàn)象，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，而?duì)求解的中間步驟適當(dāng)從問(wèn).這種講授方法既突出了學(xué)習(xí)重點(diǎn)，使學(xué)生了解和熟悉建模的困難和關(guān)鍵所在，又讓學(xué)生有余地去鉆研和進(jìn)一步學(xué)習(xí)有關(guān)的數(shù)學(xué)理論.如講授傳染病模型時(shí)，不同假設(shè)會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果，從

7、實(shí)際出發(fā)，不斷的修改使之趨于合理才會(huì)得到一個(gè)成功的模型，同時(shí)還可以進(jìn)一步看到還有那些改進(jìn)和發(fā)展的方向，又例如在介紹人口模型時(shí)，采用不同的數(shù)學(xué)方法研究同一個(gè)問(wèn)題的不同側(cè)面，從而達(dá)到不同的建模目的，解決不同層次的問(wèn)題.二是教師講與學(xué)生討論相結(jié)合.案例的背景、關(guān)鍵因素、所要應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具，教師講清楚，至于如何去粗取精，運(yùn)用那些數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)、如何建立模型可以進(jìn)行討論式教學(xué)，這樣可充分調(diào)動(dòng)教師和學(xué)生兩方面的積極因素，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和學(xué)習(xí)興趣，使講堂變學(xué)堂，使傳授知識(shí)變?yōu)閷W(xué)習(xí)知識(shí)，從而達(dá)到培養(yǎng)能力和提高素質(zhì)的目的，如人口的離散模型及部分競(jìng)賽優(yōu)秀論文，我們先布置任務(wù)，介紹難點(diǎn)，問(wèn)題的關(guān)鍵所在及注意

8、的問(wèn)題，讓學(xué)生自學(xué)后先在小組內(nèi)進(jìn)行討論，然后在課堂上進(jìn)行報(bào)告，報(bào)告內(nèi)容可以代表小組集體的意見(jiàn)和觀點(diǎn)，也可以報(bào)告小組討論中不同的意見(jiàn)和觀點(diǎn)，此時(shí)教師的主要任務(wù)是質(zhì)疑，讓大家來(lái)討論以期達(dá)到共識(shí)，然后寫(xiě)出書(shū)面報(bào)告或論文，通過(guò)這種形式的討論，使學(xué)生不但充分體會(huì)建立模型的全過(guò)程和重要作用，又學(xué)會(huì)查找資料，培養(yǎng)和提高口頭及書(shū)面表達(dá)（科技論文寫(xiě)作）能力.三是注意現(xiàn)代教學(xué)手段的運(yùn)用.我們打破數(shù)學(xué)教學(xué)上一支粉筆、一塊黑板的傳統(tǒng)，采用現(xiàn)代化的手段和方式來(lái)豐富我們的課堂教學(xué)形式，如較多使用投影儀、計(jì)算機(jī)等來(lái)加大課堂的信息量及處理我們過(guò)去難以處理和實(shí)現(xiàn)的信息，獲得了較好的教學(xué)效果.2.3建模實(shí)踐與考核為了鞏固課堂教學(xué)

9、內(nèi)容，使學(xué)生確有收獲，建模實(shí)踐訓(xùn)練也是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，主要有以下幾個(gè)方面：一是課后作業(yè)練習(xí).數(shù)學(xué)建模的作業(yè)有兩類(lèi)：一類(lèi)是作業(yè)題，基本上是用課堂上講過(guò)的數(shù)學(xué)方法建?；?qū)χv過(guò)的案例中的有關(guān)內(nèi)容作進(jìn)一步的推導(dǎo)和討論，以達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固目的；另一類(lèi)是布置學(xué)生自學(xué)有關(guān)章節(jié)的內(nèi)容（案例），讓學(xué)生明白這些模型的背景、建模目的、過(guò)程、結(jié)果分析等步驟，在這個(gè)基礎(chǔ)上再動(dòng)手解決有關(guān)問(wèn)題，這樣一方面提高學(xué)生的自學(xué)能力，讓他們自己分析問(wèn)題和解決問(wèn)題；另一方面培養(yǎng)學(xué)生的想象力，能夠舉一反三.對(duì)部分基礎(chǔ)好、作為培訓(xùn)的學(xué)生，布置有關(guān)文獻(xiàn)讓他們課外自學(xué)，并按照要求寫(xiě)出讀書(shū)筆記或論文，鍛煉其獨(dú)立思考及科技論文寫(xiě)作.二是上機(jī)實(shí)習(xí).根據(jù)

10、課堂教學(xué)的進(jìn)度，布置學(xué)生進(jìn)行上機(jī)實(shí)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行實(shí)習(xí)，一方面能鞏固課堂的教學(xué)內(nèi)容，加深對(duì)內(nèi)容的理解，體會(huì)到在分析，解決問(wèn)題中，數(shù)學(xué)建模和計(jì)算機(jī)技術(shù)的重要性；另一方面培養(yǎng)學(xué)生的上機(jī)能力（主要是數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)處理能力）和使用有關(guān)數(shù)學(xué)軟件包等計(jì)算工具，通過(guò)實(shí)習(xí)報(bào)告來(lái)檢驗(yàn)實(shí)習(xí)的效果和存在的問(wèn)題，以便及時(shí)改進(jìn)和提高.三是考試.考試主要包括兩部分，一部分是平時(shí)成績(jī)，占30%,主要是學(xué)生的作業(yè)、自學(xué)討論、報(bào)告及上機(jī)實(shí)習(xí)報(bào)告，并規(guī)定這項(xiàng)不及格者應(yīng)視為該課不及格，無(wú)補(bǔ)考，需跟下一屆學(xué)生一起重修，這樣督促學(xué)生每次作業(yè)，每次實(shí)習(xí)都能認(rèn)真對(duì)待；另一部分是閉卷考試，占70%,主要考核學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)方法及建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模

11、型的情況，從督促學(xué)生復(fù)習(xí)的角度看，考試效果好.結(jié)合以上觀點(diǎn)，現(xiàn)舉一實(shí)例如下：磁帶問(wèn)題實(shí)錄與評(píng)析高三年級(jí)（1）班1.1.1由教師首先提出以下問(wèn)題：（1）一盤(pán)60分鐘的普通磁帶有多長(zhǎng)？一盤(pán)60分鐘的普通磁帶的單層厚度是多少？取一盤(pán)磁帶，觀察當(dāng)磁帶全繞在一邊（如左輪）時(shí),磁帶的邊緣與另一輪邊緣之間最短距離是多少毫米？在放音過(guò)程中，這個(gè)距離會(huì)發(fā)生變化嗎？若變化是變大還是變?。浚ㄕ?qǐng)實(shí)驗(yàn)觀察之）要使得在放音的任何時(shí)刻兩輪磁帶的外緣互不接觸，兩輪軸間的距離最少應(yīng)為多少毫米？完成這一專(zhuān)題作業(yè)的時(shí)間是一周，可以相互討論，也可以使用必要的測(cè)量、計(jì)算工具.1.1.2一周后的交流、講評(píng).首先，由教師組織學(xué)生進(jìn)行課堂討

12、論（先討論問(wèn)題（1）和（2）.幾分鐘后，全班學(xué)生分成四派：（1）設(shè)法直接測(cè)量帶長(zhǎng)L與單層帶厚度D;（2）設(shè)法直接計(jì)算L與D;（3）設(shè)法測(cè)量L,而去計(jì)算D;（4）設(shè)法測(cè)量D,而去計(jì)算L;教師進(jìn)一步要求，提“算”的同學(xué)給出算法，提“測(cè)”的同學(xué)給出實(shí)際可行的測(cè)量方案.在教師的啟發(fā)下，“算”派的學(xué)生代表上黑板給出了如下算法模先將磁帶全繞在一邊（如左側(cè)），測(cè)出圖1中的R與r（實(shí)測(cè)為R=24mm,r=10.5mm）把磁帶所在的左盤(pán)的俯視圖看成是一個(gè)圓環(huán)，把它想象成是由一條長(zhǎng)為L(zhǎng)（磁帶長(zhǎng)）寬為D（磁帶的單層厚度）的細(xì)長(zhǎng)矩形環(huán)繞填充而成.因此有：_,_22、._，一、S環(huán)=兀（Rr）=LXD=S矩形（1）教師

13、：這個(gè)模型建立得非常好，但一個(gè)方程怎么解兩個(gè)未知數(shù)L與D?學(xué)生：可以用公式（1）測(cè)量一個(gè)量，求另外一個(gè)量.老師：很好！那么測(cè)量哪一個(gè)？算哪一個(gè)？學(xué)生甲：m測(cè)量D,算出L；（圖1）學(xué)生乙：“測(cè)量L,算出D;學(xué)生丙：兩個(gè)測(cè)量更簡(jiǎn)單.教師：誰(shuí)來(lái)談?wù)劀y(cè)量L的方法？學(xué)生乙（舉手發(fā)言）：將磁帶從帶頭開(kāi)始，放入錄音機(jī)走一分鐘，取出磁帶做上標(biāo)記，測(cè)量出一分鐘走過(guò)的帶長(zhǎng)，再來(lái)乘60就是總的帶長(zhǎng).學(xué)生?。翰粚?duì)，應(yīng)將一分鐘走過(guò)的帶長(zhǎng)乘以30才是總的帶長(zhǎng).教師：乙談的不錯(cuò)，丁也補(bǔ)充的很好.60分鐘的磁帶單面放音時(shí)間約為30分鐘，所以應(yīng)將一分鐘走過(guò)的帶長(zhǎng)乘以30而不是60.另外一次測(cè)量常常由于操作和測(cè)量工具的原因造成測(cè)

14、量的誤差，最好多測(cè)量幾次，取平均值作為測(cè)量的最終結(jié)果，這也是測(cè)量中減少誤差的常用手段之一，誰(shuí)再來(lái)談?wù)勗趺礈y(cè)量D?（靜場(chǎng)約一分鐘）學(xué)生甲（舉手發(fā)言）：磁帶太薄，普通尺子的刻度太大不好測(cè)量，可以多疊幾層再測(cè)量.學(xué)生內(nèi)：可以把磁帶繞在筆帽上30圈，再測(cè)量?jī)?nèi)、外徑就可以算出單層厚度.教師：大家的想法都很好，試著做一下就會(huì)感到測(cè)D不太容易，比如繞在筆帽上繞齊30圈就不容易，再用普通尺子測(cè)準(zhǔn)內(nèi)、外徑也不太容易.我給大家一個(gè)建議，可以到物理實(shí)驗(yàn)室向那里的老師借用一下千分尺或游標(biāo)卡尺用一下.教師：對(duì)問(wèn)題（1）（2）大家除了用前面的求解模型外，還有其他的方法嗎？請(qǐng)大家考慮一下.教師提示：可以和我們學(xué)過(guò)的數(shù)列聯(lián)系

15、一下.全班沉默，幾分鐘后學(xué)生乙：L=2兀（門(mén)+r2+rn）,n=（Rr）/D對(duì)于ri,rn不同的選取有三種計(jì)算方式：（1） ri=r,rn=RD（以磁帶內(nèi)層為基準(zhǔn)）（2） ri=r+D,rn=RD（以磁帶側(cè)面中心線為基準(zhǔn)）22（3） ri=r+D,rn=R（以磁帶外層為基準(zhǔn)）.當(dāng)D很小時(shí)，三種算法的結(jié)果非常接近，與前面的求解結(jié)果比較，相差也不超過(guò)2rD,由此引導(dǎo)學(xué)生在比較中得到結(jié)論，當(dāng)D很小時(shí)用：L=tt（R2-r2）/D求卷才之長(zhǎng)比等差數(shù)列的方法更簡(jiǎn)捷有效.為了結(jié)合課堂所學(xué)的知識(shí)，教師進(jìn)一步提出這樣的問(wèn)題，上面的求解模型，實(shí)際上是把磁帶的（俯視圖）內(nèi)側(cè)邊緣的軌跡應(yīng)是何種曲線，軌跡方程是什么？

16、它的精確長(zhǎng)度該如何求？（答：阿基米德螺線，p=r+aq,見(jiàn)解析幾何課本P.123,它的精確求長(zhǎng)要用到定積分的方法）對(duì)問(wèn)題（3）,學(xué)生普遍地觀察出，在放音初期受帶輪轉(zhuǎn)得快，供帶輪轉(zhuǎn)得慢，故大盤(pán)變“瘦”的速度小于小盤(pán)變“胖”的速度，因此兩盤(pán)的空隙漸漸變小，而放音后期正好相反，故知當(dāng)磁帶走至全長(zhǎng)的一半時(shí)，兩盤(pán)間隙最小，此時(shí)兩輪的外半徑為r',且有：兀（r'2/）=LD/2=冗（R2-r2）/2,r'=J（R2+r2：/2.要使兩輪外緣互不接觸，兩輪軸中心間距M只須滿(mǎn)足M>，2（R2+r2）.（即M>2r）3.案例教學(xué)法的特點(diǎn)主要有三點(diǎn)：一是在教學(xué)思想、教學(xué)內(nèi)容上，改變了以往只重視教學(xué)理論，輕視教學(xué)應(yīng)用的觀念，用生動(dòng)的，啟迪人的案例，將注重理論推導(dǎo)，計(jì)算機(jī)技巧的訓(xùn)練，轉(zhuǎn)變?yōu)橹匾曀枷敕椒胺治鰡?wèn)題、解決問(wèn)題的能力培養(yǎng).二是在教學(xué)方式上，改變了多年延續(xù)下來(lái)的“教師講，學(xué)生聽(tīng)（記筆記）、做習(xí)題、改習(xí)題、考試”的教學(xué)方式，通過(guò)典型案例，應(yīng)用啟發(fā)式，將教師講與學(xué)生課堂討論相結(jié)合，習(xí)題與實(shí)習(xí)相結(jié)合，開(kāi)闊思路，活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培