新概念幾何共邊定理問答

1、新概念幾何與共邊定理的問與答廣州杜厚生（與現(xiàn)行教材上面積相等的表達式不同，本文用MPBMPB= =MQBMQB表示兩個三角形面積相等，三角形符號前省略“S S”或“面積”這是為了表達上的簡潔）問：那些人適合閱讀和使用本文？答：主要是初中數(shù)學教師和初三備考的學生，初二學生也可以嘗試使用.當然，高中數(shù)學教師也應當有所了解，高中生也可以讀一讀，但最適合的讀者，是準備參加初中數(shù)學競賽的同學.問：張景中是誰？答：張景中者，自歐幾里德已降，23002300多年來獨力改寫歐幾里德幾何體系的第一人.新體系者，新概念幾何也.張景中，1936年生于河南汝陽，18歲入北大數(shù)學系，22歲打成右派，從此淪為另類21年，

2、至1979年43歲時才平反，恢復普通公民身份.此后便文思泉涌，17年間，成就輝煌，躋身頂級數(shù)學家之列，數(shù)項成果均堪稱里程碑，成為大學教授、博士生導師、中科院院士，杰出科普作家.問：什么是“新概念幾何”？答：平面幾何問題一直是數(shù)學教育與學習中的疑難問題，兩千年來，學生的課本還是和歐幾里德時代無甚大異，教師只有在增加學習時間，減少所學內容上做文章.然而張景中院士大膽指出，我們其實不必非要虔誠地跟在歐幾里得身后學習平面幾何！他經過多年潛心研究，獨辟蹊徑，建立起一套以度量為基礎，以面積為中心的平面幾何新方法、新體系，這就是“新概念幾何”（下文簡稱新幾何）.從1989年以來，經過20年來張院士和很多中學

3、老師的教學實踐證明，“面積法”可節(jié)省課時，提高學生解決問題的能力，特別是在解決數(shù)學奧林匹克競賽問題時的優(yōu)勢相當明顯.“新概念幾何”相對于歐幾里德的幾何是一個全新的平面幾何新體系，從公理體系到定理體系、解題方法，都有極大的區(qū)別，也是歐幾里德的幾何誕生23002300多年來，第一個全新的體系.在張景中的新幾何中，甚至沒有平行公理，即平行線的存在性和唯一性是可以由面積方法推導出來的一個定理.也不需要全等三角形和相似三角形等一批定理.由于新幾何定理大大減少、解題方法統(tǒng)一為面積方法，給平面幾何減少課時和降低難度創(chuàng)造了條件.新幾何中使用的解題通法一一消點法，甚至成為了攻克世界性的科研難題一一機器證明幾何定

4、理的關鍵方法，取得了機器證明幾何定理的里程碑式的勝利.新幾何正是由于方法之新、對傳統(tǒng)幾何改造之徹底，反而造成了推廣之難.對廣大中學教師來說，幾乎是一門新學科，老師和學生在知識上同樣的一無所知！但老師應當先學一步，比學生更早掌握新幾何，為教材、課程改革作出應有的貢獻.一旦國家決定采用新幾何代替舊教材，老師就可以充滿信心地走上講臺.退一步來看，掌握新幾何的面積方法和部分新定理卻并不難，但對于現(xiàn)行教材是一個補充和改進，對個人教學能力的提高也極有補益.問：新幾何的核心是什么?答：新幾何以度量為基礎，以面積為中心，它的核心定理就是現(xiàn)行教材中一條極為平凡的定理：“等高三角形面積的比等于底邊的比”.由這個核

5、心定理推導出一條現(xiàn)行教材中沒有的定理一一共邊比例定理，這是整套新幾何教材的基礎，由該定理導出全部定理與解題方法，構成了幾何新體系.從一條極為平凡的定理著手，改寫幾何原本的整個體系，構造出一個幾何新體系，這件事本身就透出神奇.歷史上堪與之相比的，只有180年前對平行公設的研究了.當年也是從一條公設出發(fā)，構造出一個非歐幾何.但畢竟同時有高斯、小鮑耶、羅巴切夫斯基各自獨立發(fā)現(xiàn)了非歐幾何.此外，對平行公設的質疑，之前已經有過千年探討，遠不是如“等高三角形面積的比等于底邊的比”那樣平凡而不引人注意.在論推廣（見數(shù)學通報2005年第4期）一文中，張景中教授說：“幾何原本共1313卷，包含了465465條命

6、題.有趣的是，有一條非?；镜闹匾}，它沒有受到歐幾里得時代數(shù)學家的注意和重視（之后的兩千多年中也沒有得到應有的重視）.如果當初歐幾里得或別的數(shù)學家重視了，幾何學的歷史有可能被改寫，幾何難學、幾何解題無定法的局面就早已改觀了.這是幾何原本第6 6卷的命題一：“等高三角形或平行四邊形，它們彼此相比如同它們的底的比”共邊定理和基本命題的共同點，都是把兩個三角形的面積比化成共線線段之比.共邊定理中若A在直線PQ上，就回到了基本命題.所以，它是基本命題的推廣.基本命題圖中的線段PQ,AB的位置變得更一般些，使A不在直線PQ上，再添上交點M,就成了共邊定理的圖形了.這一點改變很重要.歐幾里得時代的幾何

7、學家，就是沒有注意到這一點改變，才失去了這條無比重要的共邊定理，也錯過了發(fā)現(xiàn)平面幾何機械化解題方法的機會.為什么強調面積？張景中這樣看面積方法的重要性:利用面積，我們可以建立面積坐標，自然地進入分析幾何.而面積坐標，本質上已經包含了笛卡爾坐標、仿射坐標、射影坐標，這就為學習更高深的幾何埋下了伏筆.學會了計算多邊形和圓的面積，自然會想到去計算曲線包圍的面積，這就會引出極限概念，引出定積分概念，自然而然地就把學生帶進了高等數(shù)學的大門.此外，微積分里用得最多的三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（指數(shù)函數(shù)），都可以用面積給出易于理解又便于推導的定義.在高等數(shù)學中，面積以各種形式出現(xiàn).面積是積分，是測度，是外微分形式，

8、是向量的外積，也是行列式.ABPABP: :AABQ=PAAABQ=PA: :AQAQ抓住面積，從小學到大學的數(shù)學內容就可以一線相串.抓住面積，結合代數(shù)與三角來展開初等幾何，就極有希望提供一種足以和歐幾里德體系爭奪課堂的幾何教材.（張景中：從數(shù)學教育到教育數(shù)學P81P81）為什么共邊定理是基石？從下面的新概念幾何體系的課程結構圖可以看出，共邊定理是新概念幾何整個體系的基石.（張景中：從數(shù)學教育到教育數(shù)學P101P101）ABCABC面積：4A1B B1C C1面積=ABACABAC: :A A1B B1A A1C C1問：怎么導出兩個定理？：答：共邊三角形有四種位置圖形，證明時，都只需要在直線

9、MBP:MBQ=APMN:AQMN=PM：MQ共角定理更簡單，ABC面積：LA1B1cl面積=-ABACsinA:-A1B1A1C1sinA1-.1/A與/A1相等或互補sinA=sinA1AABC面積：4A1B1cl面積=ABAC:A1B1A1c問：共邊定理與共角定理怎么用？答：共邊三角形與共角三角形廣泛存在.問：什么是共邊比例答：共邊比例定理簡公共邊A AB B的兩個三是P P、Q,ABQ,AB與PQMPQM, ,則有以下比例式: :MQBMQB面積=PMPMP P問：什么是共角比答：共角比例定必 JQJQ公共角的兩個三角 M M夾這個角的兩邊的圓的定義圓周角定理B曲角和瓦定理？稱共邊定理

10、：有角形的頂點分別的連線交于點成立：AAPBAAPB面積: :QMQM各種三角公式A A1B B1C C1中，/A/A補，則有:AB上作線段MN=AB,則有:ABCABC和乘積之比.A A張角公式余弦定理正弦加法定理正弦定理余弦定義張景中說:歐幾里德把注意力集中在特殊三角形上：當考慮一個三角形時，著重研究了直角三角形和等腰三角形；當考慮一對三角形時，著重研究了全等三角形和相似三角形.一個重要的事實是：隨便畫一個幾何圖形，這里面往往沒有全等三角形和相似三角形，為了使“全等”、“相似”有用武之地，就要作輔助線.但如何作輔助線，則“法無定法”.幾何做題難，原因與此有關.我們著眼于那些任何幾何圖形都會

11、出現(xiàn)的三角形對，這就是“共邊三角形”與“共角三角形”這兩種三角形是名不見經傳的，歐幾里德以來的幾何學家們從來沒有給它們足夠的重視.但是，從數(shù)學教育學的角度來看，他們是頂頂重要的.（張景中：從數(shù)學教育到教育數(shù)學P60P60）共邊定理涉及平面幾何構圖中最常見的一個步驟：兩直線ABAB、PQ,PQ,交于一點M.M.要確定交點M M的位置，本是一件不容易的事，它相當于解二元一次方程組.而共邊定理卻用兩個三角形的面積比簡單地表示出M M在線段PQPQ上的位置.等式右邊的M,M,在左邊不出現(xiàn)了，也就是被消去了.這個事實，在幾何問題的機器求解中起了關鍵的作用（張景中：論推廣）張景中說，使用共邊定理和共角定理

12、有兩個好處：其一是通用性.從統(tǒng)計學觀點看，任給幾個點連成直線，出現(xiàn)一對全等三角形或一對相似三角形的機會太少了，概率為零.所以想利用“全等”、“相似”來解題，就常常要挖空心思作輔助線，湊出全等三角形或相似三角形來.而作輔助線的規(guī)律不好掌握，學生會覺得無章可循，非常困難.但共邊三角形和共角三角形卻比比皆是，因此它們的性質到處都用得上.其二是條件和結論的對等性.要證明兩條線段相等，常用的辦法之一是構造一對全等三角形，使這兩條線段成為它們的對應邊.但要證明這兩個三角形全等，卻要滿足三個條件.這就是說，為了得到一個等式，先要建立3 3個等式.這就有點不合算了.而在共邊定理和共角定理中，卻是從一個條件到一

13、個結論.這種對等性往往能夠簡化證明的過程.其三是基礎的單純性和表述的簡明性共邊定理和共角定理，直接建立在小學生已經熟悉的三角形面積公式的一個簡單推論上，學起來簡單，也容易記得牢.而全等三角形或相似三角形的理論，推導過程較長，判定條件又多，在可接受性方面較差.（張景中：從數(shù)學教育到教育數(shù)學P81P81）事實上，在新概念幾何中，可以不安排全等三角形的教學單元.使用共邊定理證題時，首先要判斷公共邊AB及兩個不同頂點PQ,從而找到底邊AB與PQ的連線交點M.第一及第二兩個圖形交點在公共邊內，其它兩種位置，交點在公共邊外部，通常要作輔助線來找出該點.在許多題目中，并沒有給出面積關系，必須根據(jù)要證明的等式

14、找出相應的三角形.要注意共邊定理例2:2:（1983年美國中學數(shù)學競賽題）如圖的三角形ABC的面積為10,D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且BD=2,DC=3,若BCE與四邊形DCEF的面積相等，則這個面積是（）A.4C.5D.6510B.3解：由BCE與四邊形DCEF的面積相等，在四邊形BCEF中分別減去這兩個面積，得BFD與BFE同底且面積相等，所以BF/DE,可以得到AB為邊的兩個三角形ABD與ABE面積相等，因為三角形ABC的面積中，兩條線段的比值PM與QM中，P、Q就是兩個三角形的頂點，所要找的三角形就是有公共邊且分別以P、Q為頂點的三角形.但共邊三角形實在太容易得到了，以P、

15、M或Q、M為頂點的三角形，選擇就更多了，但并不是每一對都能推出所需結論的，選對了，結論很容易就出來了.只找對的，不找廢的，這就是初學的最大難點.必須經過一定時間的反復練習才能做到得心應手.若再加上對角線交點P,四邊形ABCD中可以有18對共邊三角形!這里，證明平行用到了平行的基本命題，證明線段的比值用到了共角定理.傳統(tǒng)證法中，要用到全等三角形、平行四邊形或相似三角形，同時要作輔助線構成全等、相似、或平行四邊形.P、Q為頂點的共邊三角形通常在圖形中都可以找到三對或更多對，何況還可以轉化成以例如下圖中的任意四邊形ABCD,分別以四條邊和兩條對角線為公共邊,可以得到6對共邊三角形,問：共邊定理怎么證

16、平行?答：用面積方法推出平行線的判這是新概念幾何中最重要的定充分必要條件是MABMAB= =有了這條定理，就可以不用平行線性質來證平行了.實際上，這條定理在傳統(tǒng)幾何課程中也用來判斷直線的平行，只不過不常使用而已.例1：（三角形中位線定理）如圖，4ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的中點，用面積方法證明：DE/BC且DE=1BC.2證明：D、E分別是AB、AC邊上的中點，.ADE:BDE=AADE:ACDE=1：1ABDE=ACDEDE/BCDBC=ZADE由共角定理得：ADE/ABC=AD DE/AB-BC=1/4.AD=1ABDE=1BC.2定，用到下面這個基本命題,理之一.基本命題：設M

17、 M、N N兩點在直線ABAB同側，則MNMN/ABAB的AE.不確定為10,且BD=2,DC=3,所以ABD的面積等于4,即4ABE面積等于4,所以4BCE的面積等于104這是一道由面積相等推知兩線平行的典型題目.例3:3:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.證明：.OA=OC,OB=OD,由共角定理得：AOB/COD=OA-OB=OC-OD=1即AOB=COD,，共底的兩個三角形ACB=CBD,，AD/BC;同理可證AB/CD問：共邊定理怎么證線段相等?答：常常是共邊與共角兩個定理都會用到。利用面積相等，并且面積比中有相等的線段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。例4:4:（等腰三角形兩腰

18、上的高相等）已知：如圖，AB=AC,CEAB于E,BDXAC于D,求證：BD=CE.解：由三角形面積定理得：SAABC=1 1ABCE=-ACBD22.AB=AC,.1.BD=CE;本題是直接用等底三角形面積相等推出高相等，相比于全等三角形證法要簡潔得多。例5:5:如圖，已知AD平分/BAC,BDAD,DE/AC,DE交AB于F點求證：BE=EC.證明：連接C、F,由平行線性質，得DFC=DFA;由AD平分/BAC,DF/AC,可得/FAD=/FDA,AF=FD由BDLAD,得/FBD=/FDB,，BF=DF;，AF=BF.DFB=DFA;ADFC=ADFB;BE:EC=ADFC:DFB=1：

19、1,即BE=EC.本題是用共邊三角形面積相等推出線段相等。例6:6:如圖，ABC中，AB=AC,BD=CE,求證：DF=EF.證明：連接CD、BE,AB=AC/DBC與/BCE互補，由共角三角形定理：ADBC:ABCE=BD-BC:CEBCAB=AC,BD=CE,得DBC=BCE,再由共邊定理得：ADBC:BCE=DF:FE=1：1DF=EF.本題先用共角三角形定理證得4DBC與4BCE面積相等，再由共邊定理推出線段相等。相比于先作平行線構造全等三角形，再由全等三角形證線段相等的證法，面積法顯然更巧妙。1一例 7 7：在等腰直角二角形 ABCABC 的斜邊 BCBC 上取一點D,使DC=BC,

20、作 BE1ADBE1AD 交 ACAC 于 E E, ,求證:3AEAE= =EC.EC.1證明：連結CF,由DC=BC,得圖中兩個陰影三角形的面積之比為1：2,3即：4AFC:AEBnl：2,又由 BE1ADBE1AD, ,等腰直角三角形 ABCABC 的條件，得Z1+Z2=Z3+Z2=90,1=73,由共角定理得：AFAC:AB-BF=AFC:AAFB=1：2AF:BF=1：2,由AAFB與4AEB相似，得AE：AB=1：2,AB=AC.AE=EC本題先用CD：DB=1：2得到兩個陰影三角形的面積之比為1：2,再由共角三角形定理證得AF：BF=1：2,過程相當簡潔明了。問：共邊定理怎么證比

21、例線段？答：共邊定理最適合用來求同一直線上的兩條線段的比值，或反過來，已知同一直線上的兩條線段的比值求共邊三角形的面積比。由于共邊定理有四種位置圖形卻對應同一個比值，所以怎樣選取最合適的兩個三角形就成為正確解題的關鍵。也因為圖形選擇的差異，造成了不止一種解法。只有通過一定的練習量，才能做到迅速正確地選擇適當?shù)墓策吶切?。?:已知在4ABC中，D為BC的中點，E為AD的中點，BE的連線交AC于F.解答：構造以BF為公共邊的兩個三角形ABF和DBF,則由AFDBF、么DCFC冏漸E等，EiGWMNAF=CFCABEAF1,由圖易得=-.CBEFC6RE構造以AD為公共邊的兩個三角形ABAD和AF

22、AD,則EFBAD,由AF=1,設FAD=1,則FDC=6,ADC=7;由FADFC6BD,=2,得BAD=14,DC例3:（三角形角平分線性質定理）如圖，AD平分/BAC,求證：證明：AD平分/BAC,由共角三角形定理:例2:4ABC中，D是BC上的一點,BD=2,E為AD上一點，AE=-,DCED4AF求，F(xiàn)CBEEF解答：構造以BE為公共邊的兩個三角形AFABE和CBE,貝U=FCBEEFBAD14=FAD1C例1圖,得三個三角形ABF和1-2=-3期2ADADB:ADC=ABAD:ACAD=AB:AC又AADB:AADC=BD:CDAB:AC=BD：DC.例4:如圖，MBC中，AE=A

23、F,AD是底邊的中線且與EF交于P點求證：ABPE=ACPF證明： AD是底邊的中線，MBD=MCDAEDMCD，一AACDx(AD為公共邊，EF為頂點，注意=1)MFDMBDAABD問：全等和相似方法在新概念幾何中應當保留嗎？氏卜K KF F在新概念幾何中，可以由面積法先推導出正弦為限弦，理/再推出全等三角形判定定理和相似三角形判定定理，實際上，新教材中可以完全不用看也呼似公氣卜禰為歐N何的寶貴遺產，在許多問題中它們有明顯的優(yōu)勢，為了讓兩種教材更好地兼容，各取一所長，減少新幾何推廣的阻力，張景中也是主張保留全等和相似方法的.D-C例如下面這道題目，三種解法就各有利弊.例1:1:已知：MBC中

24、，AB=AC=BD,E為AB中點，求證：2CE=DC證法1（全等法）：設DC中點F,連接BF,可得BF是MDC中位線BF/AC,./FBC=ZACB=ZABC,BF=BE,CB=BCFBCAEBC,，EC=CF=FD,由兩邊成比例且夾角相等，可證AECsACD;在AEC和ACD中，AE：AC=AC:AD=1：2AECAACD,CE：CD=AC：AD=1：2,，2CE=DC證法3（面積法一一勾股差定理）：設AE=1,則AC=AB=2,AD=4,由勾股差定理得：AEC：ACD=1：4=(AE2+AC2EC2):(AD2+AC2-CD2)=(1+4EC2):(16+4CD2)=(5EC2):(20C

25、D2)即4(5EC2)=20CD2,.1.4EC2=CD2,，2CE=DC三種證法的評價：全等法需要構造全等三角形，但反而是學生最易想到的解法;相似法最簡潔，兩步就完成證明，是最優(yōu)解法；勾股差定理是新概念幾何特有的定理，與余弦定理等價，但不出現(xiàn)角的余弦，比余弦定理好用.222勾股差定理是：ABC:A1B1C1=(a+b-c)：(a1+b1c1)問：共邊定理怎么證正弦定理和余弦定理?答：都可以用三角形面積公式推出.PE_AAEDPF-MFDMED、AABDAE=AFAB-PE=AC-PFAACDAEAC二AAFDABAFPEACPFABAACD（將3ACD適當換位，得到兩個面積比，轉換為兩組邊長

26、的比）MBD正弦定理：=ABC=b-bcSinA=acSinB,-bSinA=aSinB,同理可得22abcbSinc=cSinB,=;SinASinBSinC余弦定理的證明較繁，要將原三角形繞C點旋轉90。，再用面積方程推導：證明：設4ABC中各頂角所對邊分別為a、b、c,將4ABC繞C點旋轉90,延長ABfAB交與點D,可得：BA拼AAA五BCB+ACABCAACB,即1BD+1cAD=1a2+1b21abSin(90;Zc)1abSin(90-/c)222222c2=a2+b2abCosCabCosC22222c2=a2+b22abCosC同理可得其余兩個表達式.問：共邊定理怎么證傳統(tǒng)難

27、題?答：許多傳統(tǒng)的幾何難題或數(shù)學競賽題在有了共邊定理和共角定理之后，立刻就變得容易起來了，在這個領域內，面積方法發(fā)揮了最大的效用，新方法的簡潔、巧妙，有時令人嘆為觀止。這部分是所有介紹新概念幾何的書籍都津津樂道的篇章。當然，對于初學者來說，還是有一個逐漸熟悉的過程。例2:在4ABC內任取一點P,連接PA、PB、PC分別交對邊于X、Y、Z點.十、工PXPYPZd求證：+=1AXYBZC證明：這是一道用共邊定理證明的典型好題，在傳統(tǒng)證法難以入手的題中，正好是共邊定理一個極其簡單的直接使用，只要用P點與各邊分成的每一個小三角形與大三角形相比再相加，立即得到結論！PXPYPZPBCPCAPAB,十+=

28、+=1AXYBZCABCABCABC例（梅涅勞斯定理）:在ABC的兩邊取X、Y,直線XY與BC的延長線交求證:AXBZ,CY,=XBZCYA證明:AXBZCY,XBZCYA例3:著名數(shù)學大師華羅庚在MXZBXZBXZCXZCXZ.曰=1.也是MXZ1978年全國中學生數(shù)學競賽題解前言中，給圖，凸四邊形ABCD的兩邊DA、CB延長后交于K,另外兩邊AB、DC延長后分別與KL交于F、G.求證：KF=KGFLGLKFDBK證明：=FLDBLDBK、/KBL=xKBLDBL（以BD為公共邊的兩個三角形的面積比）（乘以同一個三角形KBL,化為兩組面積于Z點.1A的比）=吧*3_（化為兩組線段的比）CLA

29、D9KAe=KG（消去公共三角形，化為線段的比）LACGL這道題的的難點在于沒有全等，沒有相似，也沒有給定的比值，按照傳統(tǒng)方法步.驟相當多，也不易所以20多年沒有人給出簡單巧妙的解.在熟悉了共邊定理以后，這一類題真的變簡單了思考的難度大，證明的過程繁，顯然不能與共邊定理相比.問：怎樣用面積法證面積題?傳統(tǒng)證法往往不易找到思路，所以成了難題，往往在中小學數(shù)學競賽中出現(xiàn).其實，這類題使用共邊定理是最好的方法.例6:6:如圖，四邊形ABCD中，4AOD面積=2,DOC面積=3COB面積=6,求4AOB面積.解法1:AOD面積：ADOC面積=2：3=AO：OC=4AOB面積：ACOB面積，:ACOB面

30、積=6.AOB面積=4第7題圖.；DACLACX：KAC（化為有同一個三角形：DACDAC的兩組面積的比）理解,例4:4:四邊形ABCD中，M、N分是CD、AB邊的中點，BC、AD的延長線交NM延長線于P、Q兩點.求證：AQ:QD=PB：PC分析:MNA:MND=AQ:DQ（以MN為底，A、D為頂點）MNB:MNC=PB:PC（以MNMNA=MNB;MND=MNC為底，B、C為頂點）（MN是中點）AQ:QD=PB：PC說明：本題中三角形的選擇是關鍵，只有這樣，才能同時用到兩個中點.例5:5:四邊形ABCD中，AD=BC,AB、CD的中點分別為N、M,延長AD交直線MN與P、Q.求證：PC=QD

31、分析：本題是上題的變式.將上題中的比值:QD=PB:PC化為AD：QD=CB：PC,當AD=BC,就有再看看本題的傳統(tǒng)證法：如左圖，過D、C分別彳AB的平行線DE,CF,證明兩個三角形全等,然后再證兩組三角形相似，將AQ:QD轉化為AN:DEPB:PC轉化為BN：CF,再經等量代換得到結論.用到一次全等，兩次相似,答：已知比例求面積的題目,PQPQCDPNBQAQCMBC、A解法2:.AOD面積：ADOC面積=AO:OC=AAOB面積：ACOB面積，AOB面積XADOC面積=ACOB面積必AOD面積這里得到一個新的定理：四邊形對角線分成的四個三角形中，相對的兩個三角形面積的乘積與另一組相對的兩

32、個三角形面積的乘積相等.用上這個定理，就可以跳過共邊定理直接用最后一步解題了.，AOB面積=24與=4.BD1例8:AABC中，D點在BC邊上，且=,P點在BC邊上的DC3AP1同AD上,且=一PD2AE:EC=.解：SBE.SDBE-SEC=1,2,3.則 SBE=3，SDEC=6例9:如圖：AABC中，E為中點，AD：DC=2：1,AEBF面積是15,求AABC的面積.解：連結CF,為中點且4EBF面積是15;.ECF面積=EBF面積=15;AD:DC=2：1.AFB面積：FCB面積=2：1AAFB面積=60,E為中點.ACF面積=AAFB面積=60.ABC的面積=15+15+60+60=

33、150.例10:10:如圖所示，已知在平行四邊形ABCD中，AE：EB=1：2.(1)求4AEF與4CDF的周長比；(2)如果SABCD=6平方厘米，求SAADE-解答： AE:EB1：2AE：AB=AE：CD=1：3,由AEFsCDF,可得它們的周長比為1：3;例7 7(17屆希望杯全國賽初二第二試19題)：AE:EC=S&ED：SAED=1：4A解：由圖1得：PQR=4ABCABP+BCQ+ACAR);觀察圖2,連結PC,由CE=設APE=1,則4C.ABC=52,得AF同理可得BABP+ABCQ+ACAR=36：52x130m2=9cm2;PQR=13cm2Ecm2=4cm2沒有平行線，

34、沒有全等三角形，沒有相似三角形，但處處存在由面積引發(fā)的比例關系，這種比例關系通過共邊三角形和共角三角形而存在.例15:15:江陰市2006年提前招生測試數(shù)學試卷已知平行四邊形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上.由 S/BCF=4 知F至ijCB的距離為8，則F到AD的距離為y-x若AADE、ABEFACDF的面積分別為5、3、4,求4DEF的面積.， 二二 SADEF=_DE(V)=3,DE=2x4,AE“4xy-8xy-8-8D53xCB解1圖F8 8x xSAADE=SAABD=SAABCDSABCD=6平方厘米一.SADE=1平方厘米.；例11:11:如圖所示，BD,CF將長方形ABCD分成4塊，DEF的面積是四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？4cm2,AGED的面積是6cm2.問:解：連結BF,則4BDF則有：面積=CDF面積=10,BEF面積=6;設面積為x,4x=6X6,x=9;BDC是154=11平方厘米例12:12:如圖，F(xiàn)B、AD、面積=15,長方形ABCD面積=