方陣最小多項式的求法與應用分析解析

1、方陣最小多項式的求法與應用摘要:本文首先介紹了方陣A的最小多項式，進而給出了最小多項式的四種求法，最后討論了最小多項式的兩個應用.關鍵詞:方陣；最小多項式；不變因子MinimalpolynomialofasquarematrixanditsapplicationsFENGYu-xiang(Class1,Grade2001,CollegeofMathematicsandInformationScience)Advisor:AssociateProf.LIZhi-huiAbstract:TheminimalpolynomialofsquarematrixAisdiscussed,andfourme

2、thodsofsolutionfortheminimalpolynomialarepresented.Furthermore,theapplicationsoftheminimalpolynomialarestudied.Keywords:squarematrix;minimalpolynomial;invariantoperation一、引言文獻1中研究了方陣最小多項式的若干性質，并給出最小多項式的三種求法本文試圖通過對文獻1中的結果進一步研究，給出它相應的改進算法，并提出一種新的求法.與此同時，討論了最小多項式在矩陣的相關計算和證明中的應用，為最小多項式的應用提供了新的思想.本文所討論的矩

3、陣和多項式均為復數(shù)域C上n階方陣和多項式.二、最小多項式的性質及求法由哈密爾頓定理可知，對于一n階矩陣A,f(九)=|KE-A是A的特征多項式，則fp)=An(an+a22+ann)An,+(1)n|AE=0,即就是任給數(shù)域P上的一個n級矩陣A,總可以找到數(shù)域P上的多項式f(x),使得f(A)=0.如果多項式f(x)使得f(A)=0,我們就稱f(x)為矩陣A的零化多項式.當然A的零化多項式很多的，于是我們有定義1設A亡C.，次數(shù)最低的首項為1的A的零化多項式稱為A的最小多項式，記為rA（）.最小多項式有以下一些基本性質：定理11設AwCnM,則（1） A的任一零化多項式都能被中a（，J整除；（

4、2） A的最小多項式甲A（九）是唯一的；（3） 相似矩陣最小多項式相同.2.1由特征多項式求最小多項式定理21%是A的特征多項式零點的充分條件是九。為A的最小多項式中a（K）的零點.證明：見參考文獻1.推論1若n階方陣A的特征多項式被分解為不同的一次因式方幕的乘積：f（九）=（九一九1）m1a%）叫（九九s）叫，s其中入是A的相異的特征值，mi是特征值九的重數(shù)，且Zmi=n,則A的最小多項i1式具有如下形式：¥aP）=（九一九）d1（九一九2）"（九一%產(chǎn)，其中diwmi（i=1,2,，s）為正整數(shù).推論1實際上給出了由方陣A的特征多項式，求最小多項式的方法.例1求矩陣21

5、1A=12112一的最小多項式.解：因為A的特征多項式為f（K）=（九1）2（%4）,根據(jù)推論1便可知，A的最小多項式有以下兩種可能：（九一1）（九一4）,（九一1）2（九一4）由于1(A-E)(A-4E)=1J11-21111L11-2111-2因此，A的最小多項式為(X-1)(X-4).有時f(九)在分解時比較困難，但由推論1可知，A的最小多項式實質包含Af)(f()，f(')解:E-A|一13I-3一33-33,+13-3、4、3.2二九十4九一48九一320九一5123九十1-3-33八十1的特征多項式中的所有不同的一次因式之積，故可先求出例2求矩陣一1-33-3A-3-1-3

6、3A=I3-3-1-333-3-11的最小多項式._432f()=4-48-320-512f()=4(332-24-80)由輾轉相除法求得(f()fI')=2816于是f()_443-482-320-512(f(),f()-28162-4-32=(.4)-8于是f()='43(-8)A的最小多項式有以下三種可能：(4)(-8),(4)2('-8),(-4)3('-8)(A+4E)(A8E)=0,因此A的最小多項式為(兒+4)(九8).2. 2按最小多項式的定義及存在性求最小多項式定理31任意n階矩陣A都存在最小多項式中Ad).證明：參見文獻1.這個定理告訴我們一

7、種求最小多項式的方法，這種方法的步驟是：第一步試解A°E若能解出九°,則A的最小多項式為中人化)=九一九0；若A=%E關于%無解，則做第二步試解A2=：；0E1E若能解出九°與,則A的最小多項式為A(1)-1_，0_'1，若不能解出%與%,則做第三步試解A3=0E1A2A2若能解出%,%與%,則A的最小多項式為乎A«)=一%-4九一九2九2若不能解出”,%與九2,則再做第四步試解A4=0E1A2A3A3等等，直到求出入(i=0,1,2,，m),使矩陣方程成立為止(由哈密爾頓-凱萊定理，這樣的過程最多只有n步即可終止)，這時用上代替A,便得到所求最

8、小多項式甲a(').例2求矩陣111-111-10A=Io-1111011_的最小多項式.解：(1)試解A=%E,顯然關于左無解.(2)試解A2=%E+%A寫出方程兩邊的矩陣，并選擇某行(某列)來求解代數(shù)方程組，以此求九°和心,例如，比較第一行(3,2,0,-1);九°E+%A的第一行為(兒°+%,%,%,%),從而的方程組I.。+%=3,1=2|A.1二0-11=-2此方程組顯然無解.(3)試解A3=0E1A2A2寫出防城兩邊的矩陣，并選擇第一列來求解%,%和%,這可由此比較方程兩邊第一歹1：(6,7-7,-7)"1;九0E+%A+%A2的第一

9、列：(九0+9+3%,%+2%,2九2,一%2九2)'，得關于九0,%和九2的方程組：%+4+3%=6!1,2,2=7-212=-7-1-22=-7解此方程組得0=-7,1=0,'2=722因為對于上面解出的九0，3和九2,矩陣方程3792A3=A-A222成立.所以A的最小多項式為2.3利用Jordan標準型求最小多項式定理41設矩陣AwC，則A的最小多項式可以由PaO)=('-'l)dl('-2)d2('-s)ds給出，其中九i(i=1,2，s)是A的相異的特征根,di(i=1,2，s)是在A的Jordan型J中包含兀的各分塊的最大階數(shù).證明

10、:參見文獻1.推論2當A的所有特征值都相異時，A的最小多項式甲a(?J就是A的特征多項式f()=E-A.由定理4,在一般情況下,A的最小多項式可以通過求出它的Jordan標準型J獲得.例3求矩陣-00000-121110_1002100000200000020-100002_A=的最小多項式.解：由A的特征多項式F(九)=正-A=(-1)3(一2)3知A有兩個不同的特征值：=1,%=2(均為三重的).容易求得rank(A-E)=5,所以又t于九1=1的特征向量僅有一個，這表示對應的Jordan塊的數(shù)目是1.又由于rank(A-2E)=4,對應于%=2的特征向量有2個，因此對應于%=2的Jord

11、an塊共有2塊.故A的Jordan標準型為：-111111|212一2一可見J中包含兒=1的塊的階數(shù)d1=3,包含九2=2的Jordan塊的最大階數(shù)d2=2,因此A的最小多項式為：彳a()=('-1)3('-2)22.4利用不變因子求最小多項式引理14A的最小多項式是A的初等因子的最小公倍式.因此只要對A的若當標準型,i=1,2,，s1九i.,現(xiàn)在對任一多項式f(九)有證明：相似矩陣有相同的最小多項式和初等因子矩陣J證明即可.設I"%J2，其中Jin.我們已知Jj的最小多項式是(九-九-f(J1)f(J)=f(J2)f(Js)一因止匕f(J)=0當且僅當f(J1)=f

12、(J2)=3=f(Js)=0.這就是說，f(九)是J的化零多項式f(九)是J1J2,，Js的化零多項式，進一步，g(K)是J的最小多項式必須g(九)是Ji,J2,，Js的化零多項式，因此是的最小多項式的公倍式；另一方面，這些Ji的最小多項式的任一公倍式必須是J的化零多項式，因而被g(九)整除.故J的最小多項式必須是J1,J2，Js的最小多項式，即J的初等因子（兒-兒）"（九-"I2（九KSV的最小公倍式.定理54A的最小多項式恰為A的最后一個不變因子.證明由于A的最后一個不變因子dn（九）具有性質弓伍）|dn（九），i=1,2,，n-1,所以dn（，4中包含了A的初等因子所

13、有互異的指數(shù)最高一次因式的幕，它恰是A的全部初等因子的最小公倍式，于是命題得到證明.例5證明九000an1-1九00anA（兒）=0-1九0an/000九a?000-1九十a(chǎn)1-_.nd的不變因子是1,1，1,f（Q,其中f（九）=九n+a1Kn，+an/九+an.證明：因為AW的左下角的n-1階子式為（1）n，所以DnQ）=1,于是D1（1）=D2（'）=,=Dn（'）將A（K）的第二，第三，第n-1行，第n行分別各乘以7、九2,，爐：爐都加至第一行上，依第一行展開即得：Dng）=A（X）=N+4非，+an兒+an一n因此，A（九）的不變因子是1,1，,1,f（1）.由定理5

14、可知，A的最小多項式實質為A的最后一個不變因子dn（?J,而dn（，）=""，其中Dn（九）為A的n階行列式因子，故可得求A的最小多項式的Dn4（）方法.例6求矩陣九-1的最小多項式.解：D4A()-1.50-100-1九十2A®)右上角有一個三級子式所以0-1-10-1223324'50-100-1324.5一3-10-6-34100,求A解：f(1)=KEA=(九1)3,由A-E=0,而(AE)2=0,知A的最小多項式g(1)=(X-1)2,所以A不能對角化.但我們有100('-1)2q()(a'b)d1=1,d2=1,d3=1,d4=

15、J,23所以A(九)的不變因子是1,1,1,K4+2九3+3九2+4九+5,它的最小多項式為九4+2九3+3九2+4九+5三、最小多項式的應用這一節(jié)我們將討論最小多項式的一些應用3.1求矩陣的高次幕例7已知用待定系數(shù)法令九=1,a*b=1,對上式求導后再令九=1,解得a=100,b=-99201-1000-600因止匕，A100=100A-99E=100-499-300100500300_3.2判斷矩陣是否可逆例8設g。)是矩陣A的最小多項式.h(，J是任意多項式，證明：h(7J可逆的充要條件是(h()g(-)=1證：若(h(，)g(九)=1,則存在u(，)v(，“)，使h(')u(')g(')v()=1于是h(Qu(Q=E,故|h(A)產(chǎn)0,從而h(Q可逆.反之，當h(K)可逆時，設(h(7)g*)=dg),于是h(九)=u(八)d(九)，g(九)=v(九)d(九)從而有0=g(A)=v(A)d(A),h(A)=u(A)d(A)(*)因為|h(A)|#0，所以|d(A)產(chǎn)0,即d(A)可逆，這就有等式(*)推出v(A)=0,并進一步得到v(九)=g(