拋物線第一課時(shí)

1、9.7拋物線（第一課時(shí)）自主梳理1.相等焦點(diǎn)準(zhǔn)線典型例題【例1】解題導(dǎo)引重視定義在解題中的應(yīng)用，靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化，是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑.解將x=3代入拋物線方程y2=2x,得y=坂6.6>2,A在拋物線內(nèi)部.1設(shè)拋物線上點(diǎn)p到準(zhǔn)線i：x=2的距離為d,由定義知|PA|+|PF|=|PA|+d,當(dāng)PALl時(shí),|PA|十d最小,最小值為:，即|pa|十f|的最小值為7，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,代入y2=2x,得x=2,.點(diǎn)P坐標(biāo)為（2,2）.【變式1】A點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離，如圖，|PF|+|PQ|=|PS|+|

2、PQ|,故最小值在S,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)取得，此時(shí)P,Q的縱坐標(biāo)都是一1,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，1口【例2】解題導(dǎo)引（1）求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知所求曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法.若由已知條件可知所求曲線的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，一般用軌跡法；(2)待定系數(shù)法求拋物線方程時(shí)既要定位(即確定拋物線開口方向)，又要定量(即確定參數(shù)p的值).解題關(guān)鍵是定位，最好結(jié)合圖形確定方程適合哪種形式，避免漏解；(3)解決拋物線相關(guān)問題時(shí)，要善于用定義解題，即把|PF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，這種“化斜為直”的轉(zhuǎn)化方法非常有效，要注意領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用.解方法一設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),則焦點(diǎn)為F0,-P)

3、準(zhǔn)線方程為y=p.M(m,3)在拋物線上，且|MF|=5,m2=6p,r.p=4,i-解得，-二mJm+3+2J=5，m=母46.二拋物線方程為x2=8y,m=立<6,準(zhǔn)線方程為y=2.方法二如圖所示，設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),則焦點(diǎn)Fo,-p準(zhǔn)線l：y=p,作MN，l,垂足為N.則|MN|=|MF|=5,而|MN|=3+p,3+p=5,p=4.2拋物線方程為x2=8y,準(zhǔn)線方程為y=2.由m2=(-8)X(-3),得m=±246.【變式2解左頂點(diǎn)為為y2=-22(1)雙曲線方程化為Xt太=1,916(3,0),由題意設(shè)拋物線方程2px(p>0)且p=

4、3,p=6.，方程為y2=-12x.(2)由于P(2,-4)在第四象限且對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，可設(shè)方程為y2=mx(m>0)或x2=ny(n<0),代入P點(diǎn)坐標(biāo)求得m=8,n=-1,，所求拋物線方程為y2=8x或x2=y.【例3】解題導(dǎo)引解決焦點(diǎn)弦問題時(shí)，拋物線的定義有著廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì).焦點(diǎn)弦有以下重要性質(zhì)(AB為焦點(diǎn)弦，以y2=2px(p>0)為例)：2yiy2=p2,xix2=p；|AB|=xi+x2+p.證明(1)方法一由拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為Fp,0；設(shè)過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,V2).當(dāng)斜率存在時(shí)，

5、過焦點(diǎn)的直線方程可設(shè)為y=k-p)y=kCp】由5yI2，消去x,得ky2-2py-kp2=0.(*)2-、y=2px,當(dāng)k=0時(shí)，方程(*)只有一解，kw0,由韋達(dá)定理，得y1y2=p2;當(dāng)斜率不存在時(shí)，得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為g,pg,-p/,Wy2=p2.綜合兩種情況，總有y1y2=p2.方法二由拋物線方程可得焦點(diǎn)F(p,0)設(shè)直線AB的方程為x=ky+p,并設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),x=kv+p,八f則A、B坐標(biāo)滿足S72消去x,可得y2=2p,y+；卜、y2=2px,整理,得y22pkyp2=0,yiy2=-p2.(2)直線AC的方程為y=7x,xi2.點(diǎn)c坐標(biāo)為卜p,T,yc黃=

6、尹22xi，2xi2pxi點(diǎn)A(xi,yi)在拋物線上，y2=2pxi.又由(i)知，yiy2=-p2,.yc=yjyryi=y2,，BC/x軸.yi證明(i).y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F(p,0：,設(shè)直線方程為y=kx-pj(kw0),由!yG2jy2=2px消去x,得ky2-2py-kp2=0.22yiy2=-p2,xix2=4,2當(dāng)k不存在時(shí)，直線方程為x=p,這時(shí)xix2=p.242因此，xix2=pH1成立.4i_J_i_ixi+x2+p(2)|AF|+|BF|=p+p=pp2.xi+2x2+2xix2+2(xi+x2142又xix2=：，代入上式得AF/需1=p=常數(shù)，所

7、以|AF|為定值.鏈接高考1. Cy=2x4,x=1,x=4,2. D方法一由弋2得S或1y=4x,y=2y=4.令B(1,2),A(4,4),又F(1,0),，由兩點(diǎn)間距離公式得|BF|=2,|AF|=5,|AB|=35.|BF|2+|AF|2一|AB|24+25-454,cosZAFB=一2|BF|AF|2X2X55.方法二由方法一得A(4,4),B(1,2),F(1,0),FA=(3,4),FB=(0,2),|FA|=>/32+42=5,|FB|=2.5X2|FA|FB|.cos/AFB=-FA-FB-=32鞏固提升A組一、選擇題1. D因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為x=-2,所以p=2,

8、所以p=4,所以拋物線的方程是y2=8x.所以選D.2. B3.C4.B二、填空題5. #-1解析如圖所示，若圓C的半徑取到最大值，需圓與拋物線及直線x=3同時(shí)相切，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,0)(a<3),則圓的方程為(xa)2+y2=(3a)2,與拋物線方程y2=2x聯(lián)立得x2+(2-2a)x+6a-9=0,由判別式A=(2-2a)2-4(6a-9)=0,得a=4乖，故此時(shí)半徑為3(4寸6)=。61.6 .42解析由題意可設(shè)AB的方程為y=kx+m,與拋物線方程聯(lián)立得x2-4kx-4m=0,線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),Xi+X2=4k=4,得k=1.Xyi+y2=k(xi+X2)+2m=

9、4,m=0.從而直線AB:y=x,|AB|=2|OM|=472.7 .乎解析拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為g,0線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為g,1代入拋物線方程得1=2pX3解得p=V2,故點(diǎn)b的坐標(biāo)為42,1)故點(diǎn)b到該拋物線準(zhǔn)線的距離為乎+乎=乎.三、解答題8 .解設(shè)直線和拋物線交于點(diǎn)A(xi,必)，B(x2,丫2),(1)當(dāng)拋物線開口向右時(shí)，設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),：y2=2px則i，消去y得，4x2-(2p-4)x+1=0,y=2x+1Xi+X2=|AB|=71+k2|xiX2|=V5叱xi+X224xiX2則7號(hào)-P=第p2-4p-12=0,解得p=6(p=2舍去)，拋物線方

10、程為y2=12x.(2)當(dāng)拋物線開口向左時(shí)，設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),仿(1)不難求出p=2,此時(shí)拋物線方程為y2=4x.綜上可得，所求的拋物線方程為y2=4或y2=12x.9.證明因?yàn)橹本€AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,A(xi,yi),B(x2,y2),y=kx+2,由S12可得x2-8kx-16=0,ly=8x，x1+x2=8k,x1x2=16.拋物線方程為y=；x2,求導(dǎo)得y=；x.所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率分別是.11111_k1“x1,k24x2,k1k24x17x2/<5x1x21.444416所以AQXBQ.B組一、選擇題1.

11、C如圖所示，A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,F點(diǎn)坐標(biāo)為(p,0),設(shè)A(m,寸2pm)(m>0),則由拋物線定義，|AF|=|AAi|,即m+p=|AF|.又|AF|=|AB|=22pm,2m+p=2y2pm,整理，得m27pm+p"=0,2A=(7p)24X%48p2>0,，方程有兩相異實(shí)根，記為mm2,2p一且mi+m2=7p>0,mim2=4>0,mi>0,m2>0,n=2.2. C二、填空題3. 14，1/過P作PK±l（l為拋物線的準(zhǔn)線）于K,則|PF|=|PK|,.|PA|+|PF|=|PA|+|PK|.，當(dāng)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時(shí)，|PA|十|PK|最小,此時(shí)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,把y=1代入y2=4x,得x=4,即當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為1，1,忖，|PA|十|PF|最小.4. （1,±2）三、解答題5.解（1）由題設(shè)點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l1的距離，所以點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)線的拋物線，所求軌跡的方程為x2=4y.由題意直線l2的方程為y=kx+1,與拋物線方程聯(lián)立消去y得x24kx4=0.記P(X1,y1),Q(X2,y2),則X1+X2=4k,X1X2=4.因?yàn)橹?/p>