第十二章 振動

1、第四篇第四篇 振動與波動振動與波動不同的振動現(xiàn)象具有一些共同的物理特性不同的振動現(xiàn)象具有一些共同的物理特性振動與波動都是自然界最常見的運動形式振動與波動都是自然界最常見的運動形式各種波具有的共同特性稱為波動性各種波具有的共同特性稱為波動性水面波水面波超聲波胎兒圖像超聲波胎兒圖像光導(dǎo)纖維傳導(dǎo)光波光導(dǎo)纖維傳導(dǎo)光波心電圖心電圖座鐘的鐘擺座鐘的鐘擺衛(wèi)星繞月周期運動衛(wèi)星繞月周期運動共同特征共同特征：運動在時間、空間上的周期性運動在時間、空間上的周期性區(qū)別區(qū)別：振動振動: 任何物理量在某一定值附近隨時間周期任何物理量在某一定值附近隨時間周期性變化性變化波動波動: 振動在空間的傳播振動在空間的傳播第十二章第

2、十二章 振振 動動只要一個物理量在一定的平衡值附近發(fā)生周只要一個物理量在一定的平衡值附近發(fā)生周期性的變化，都可認(rèn)為該物理量在作振動期性的變化，都可認(rèn)為該物理量在作振動振動振動*12-5 兩個相互垂直的簡諧振動的合成兩個相互垂直的簡諧振動的合成12-4 一維簡諧振動的合成一維簡諧振動的合成 拍現(xiàn)象拍現(xiàn)象*12-3 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振12-2 簡諧振動的能量簡諧振動的能量12-1 簡諧振動簡諧振動12-6 振蕩電路振蕩電路 電磁振蕩電磁振蕩一、簡諧振動一、簡諧振動1. 彈簧振子彈簧振子 理想理想模型模型任何復(fù)雜的振動任何復(fù)雜的振動m光滑光滑輕彈簧輕彈簧不計空氣阻尼不計空氣

3、阻尼都可以認(rèn)為是由幾個或多個簡諧振動合成都可以認(rèn)為是由幾個或多個簡諧振動合成倔強系數(shù)為倔強系數(shù)為k 的彈簧與質(zhì)量的彈簧與質(zhì)量m 的物體構(gòu)成的物體構(gòu)成彈簧振子彈簧振子. 彈簧和物體組成振動系統(tǒng)彈簧和物體組成振動系統(tǒng).GN-A 0 A X彈簧振子的振動（演示）彈簧振子的振動（演示）平衡位置：合力為零。即平衡位置：合力為零。即 G+N=0 （G = N）GNF -A 0 A X 彈簧振子的振動彈簧振子的振動GN-A 0 A X平衡位置：合力為零。即平衡位置：合力為零。即 G+N=0 （G = N）彈簧振子的振動彈簧振子的振動NGF-A 0 A X 彈簧振子的振動彈簧振子的振動GN-A 0 A X平衡

4、位置：合力為零。即平衡位置：合力為零。即 G+N=0 （G = N）彈簧振子的振動彈簧振子的振動 平衡位置平衡位置O物體所受合外力為零的位置物體所受合外力為零的位置 胡克定律胡克定律彈性力大小彈性力大小kxF 方向方向始終指向平衡位置始終指向平衡位置O 以以O(shè) 為原點取為原點取Ox軸軸kmxgmNFOF彈簧勁度系數(shù)彈簧勁度系數(shù)x諧振子諧振子合外力為零位置合外力為零位置坐標(biāo)坐標(biāo)x 為物體相對于平衡位置的位移為物體相對于平衡位置的位移x是彈簧相對自然長度的形變量是彈簧相對自然長度的形變量. 物體所受合外力大小物體所受合外力大小F = - -kx 的運動為簡諧振動的運動為簡諧振動2. 簡簡諧振動諧振

5、動定義定義令令2 mkxa2 加速度與位移成正比且方向相反的振動為簡諧振動加速度與位移成正比且方向相反的振動為簡諧振動makx 0dd222 xtx 位移是時間的余弦（正弦）函數(shù)的運動為簡諧振動位移是時間的余弦（正弦）函數(shù)的運動為簡諧振動)cos( tAx簡諧振動的微分方程簡諧振動的微分方程解為解為簡諧振動方程簡諧振動方程)sin(tAx2若令若令 則上式變?yōu)閯t上式變?yōu)楹喼C振動的三個等價判別式簡諧振動的三個等價判別式)cos(tAx 其中其中 x 位移位移 (displacement) (坐標(biāo)原點選在平衡位置）坐標(biāo)原點選在平衡位置） x 的正負(fù)表示位移的方向的正負(fù)表示位移的方向 A 振幅振幅

6、(amplitude) (最大位移的絕對值）最大位移的絕對值）簡諧振動的運動方程本章采用余弦形式簡諧振動的運動方程本章采用余弦形式, 即即 )(t 相位相位 (phase)(phase)- 角（圓）頻率角（圓）頻率 (angular frequency or circular frequency) - 初相初相 (original phase)二、簡諧振動的振幅、周期及頻率二、簡諧振動的振幅、周期及頻率振幅振幅 A物體離開平衡位置的最大位移的絕對值物體離開平衡位置的最大位移的絕對值周期周期 T物體作一次完全振動所需的時間，單位物體作一次完全振動所需的時間，單位 s頻率頻率 v單位時間內(nèi)所作完全

7、振動的次數(shù)，單位單位時間內(nèi)所作完全振動的次數(shù)，單位 Hz角角(圓圓)頻率頻率22秒秒內(nèi)物體作全振動的次數(shù)內(nèi)物體作全振動的次數(shù)Tv22 kmxOAA單位單位 rad/s 或或 s-1（由初始條件決定）（由初始條件決定）. 單位單位 m.相位相位 ：決定任意時刻：決定任意時刻 t 物體運動狀態(tài)的物物體運動狀態(tài)的物理量理量.t初相初相 ：決定初始時刻：決定初始時刻 t=0 時物體運動狀態(tài)的物時物體運動狀態(tài)的物理量理量. 對彈簧振子對彈簧振子 mk 由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定 T, 也由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定也由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定. kmmkkm 例如下圖系統(tǒng)處在三種狀態(tài)例如下圖系統(tǒng)處在三種狀態(tài) 有

8、相同的有相同的 ，T , 。 Tv22 )cos( tAxkmT2 簡諧振動方程可以表示為簡諧振動方程可以表示為)2cos( tAx)2cos( tTAx 振動周期和頻率可以表示為振動周期和頻率可以表示為mkv21 固有周期固有周期固有頻率固有頻率與初始與初始條件無關(guān)條件無關(guān)伽利略曾觀察的伽利略曾觀察的比薩教堂的吊燈比薩教堂的吊燈 符合定義的幾種簡諧振動模型符合定義的幾種簡諧振動模型豎直彈簧振子豎直彈簧振子 mk lg OgmFl0彈簧無形彈簧無形變位置變位置平衡位置平衡位置平衡時平衡時00klmg單擺單擺lgmTF 5 sinmgF lgt 22dd振動方程振動方程位移位移x 時時kxxlk

9、mgF)(0三、簡諧振動的速度和加速度三、簡諧振動的速度和加速度)cos( tAx)sin(tAdtdxvxtAdtda22)cos(位位 移移速速 度度加速度加速度時間時間曲線曲線0 A A A2 A2 AA xtavT4T2T43TO四、簡諧振動的相位、初相和振幅的決定四、簡諧振動的相位、初相和振幅的決定相位相位確定確定 t 時刻振動物體位置和運動方向時刻振動物體位置和運動方向 t初相初相t = 0 時的相位時的相位 由初始條件（由初始條件（初始時刻初始時刻(計時起點計時起點)的位置和速度的位置和速度）確定確定A和和 設(shè)設(shè) t = 0 時時00vv ，xx由由)cos( tAx)sin(

10、tAv sincos00AAx v2020)( v xA振幅振幅 由由 給出給出 的兩個可能值的兩個可能值A(chǔ)x0cos A 0sinv 由由 的正負(fù)號，確定的正負(fù)號，確定 的值的值 初相初相 的決定的決定 2 0 或或 三角函三角函數(shù)法數(shù)法例例1 (書書P84) 彈簧振子彈簧振子k = 1.60 N/m，m = 0.40 kg。解解mk-1s2 0 m,10. 000 vx振幅振幅22020 v xAm10. 00 x 角頻率角頻率mxOk0 t時時物體以向左的速度物體以向左的速度0.20 m/s。將物體從平衡位置向右移到將物體從平衡位置向右移到x = 0.10 m處后并給處后并給將物體從平衡

11、位置向右移到將物體從平衡位置向右移到x = 0.10 m處釋放。處釋放。就下列情形分別求簡諧振動方程。就下列情形分別求簡諧振動方程。0 振動方程振動方程(m) 2cos1 . 0tx m/s20. 0 m,10. 000 vx振幅振幅m21 . 022020 vxAAx0cos 1 21cos0 Ax 0sin0A4 振動方程振動方程(m) )42cos(14. 0tx0 t時，時，由由 cos0Ax 0 t時時 cos0Ax sin0A設(shè)平衡時鋼繩的伸長量為設(shè)平衡時鋼繩的伸長量為 0l 例例2 (書書P85）卷揚機上吊著）卷揚機上吊著 的重物，以的重物，以kg1033 m解解建立坐標(biāo)系建立坐

12、標(biāo)系22ddtxmFmg )(0 xlkF 0klmg 當(dāng)當(dāng)m 相對于相對于O 的位移為的位移為 x 時時0dd22 xmktx物理模型物理模型xgmFl0Ox重物此后的運動方程。重物此后的運動方程。N/m10275 k鋼繩的勁度系數(shù)鋼繩的勁度系數(shù) ，不計鋼繩質(zhì)量，求，不計鋼繩質(zhì)量，求m/s 3 v速度速度 下降，鋼繩上端因故突然被卡住，這時下降，鋼繩上端因故突然被卡住，這時故該振動為簡諧振動故該振動為簡諧振動.令令-1s 30 mk 0dd222 xtx )cos( tAx取鋼繩剛被卡住時取鋼繩剛被卡住時t = 0，m/s3 , 000 vxm1 . 022020 vxA0cos0 Ax 0

13、sin0A23 運動方程運動方程)(2330cos(1 . 0mtx cos0Ax sin0A 當(dāng)取坐標(biāo)向上，可定出當(dāng)取坐標(biāo)向上，可定出 ，因而振動，因而振動方程為方程為2(m) )230cos(1 . 0tx可見，坐標(biāo)取向相反，兩振動方程的相位相可見，坐標(biāo)取向相反，兩振動方程的相位相差差 . )(230cos(1 . 0mtx或或 sin 例例3 （書（書P86) 證明：當(dāng)擺球偏角證明：當(dāng)擺球偏角 很小時，單擺的很小時，單擺的 sinddmgtm v取取擺線在平衡位置的右邊時，擺線在平衡位置的右邊時， 為正為正 解解擺球切向運動方程擺球切向運動方程tldd v當(dāng)當(dāng) 時，時，5 lgt 22d

14、d令令lg 2 222dd t故單擺作諧振動，振動周期故單擺作諧振動，振動周期glT22 運動為簡諧振動，并求其周期。運動為簡諧振動，并求其周期。 gmTF lO五、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法五、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法)cos( tAxPAA振幅振幅 t = 0時，時，A與與x軸夾角軸夾角 t 0時，時， 參考圓參考圓旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 末端的投影點末端的投影點 tt =0 AAxOMMPt AAA t與與 x 軸夾角軸夾角逆時針方向旋轉(zhuǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)A 以以 為角速度為角速度在在x 軸上軸上,從坐標(biāo)原點從坐標(biāo)原點O點作點作一矢量一矢量 ,令其反時針以角速令其反時針以角速度度 勻速旋轉(zhuǎn)，規(guī)定：勻

15、速旋轉(zhuǎn)，規(guī)定：A M點旋轉(zhuǎn)一周，相當(dāng)于p 點做一次全振動。模模振幅振幅A角速度角速度角頻率角頻率旋轉(zhuǎn)周期旋轉(zhuǎn)周期振動周期振動周期T=2/ 上的投影在oxA上的投影端點速度在oxA上的投影端點加速度在oxA位移位移速度速度加速度加速度x =Acos(t+ 0)v =- Asin(t+ 0)a =- 2Acos(t+ 0)旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量簡諧振動簡諧振動符號或表達式符號或表達式A初相初相 0t=0時，時， 與與ox夾角夾角A相位相位t+ 0t時刻，時刻， 與與ox夾角夾角A旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 與諧振動的對應(yīng)關(guān)系與諧振動的對應(yīng)關(guān)系A(chǔ)簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法 O XPM0)(t相

16、位相位參考圓參考圓 O XPM3)(t參考圓參考圓簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位相位 O XPM2)(t參考圓參考圓簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位相位 O XPM32)(t參考圓參考圓簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位相位 O XPM)( t參考圓參考圓簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位相位 O XPM34)(t參考圓參考圓簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位相位 O XPM23)(t參考圓參考圓簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位相位 O XPM35)(t參考圓參考圓簡諧振動的旋轉(zhuǎn)

17、矢量表示法簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位相位 O XPM或或2參考圓參考圓簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法0)(t相位相位A.若某時刻若某時刻 t 測得質(zhì)點的位移測得質(zhì)點的位移 ，向，向Ox 軸負(fù)軸負(fù)2Ax t 時刻質(zhì)點振動的相位時刻質(zhì)點振動的相位 321arccos t 解解1 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法AAxO2A t 解解2 解析法解析法2Ax 21)cos( t0 v0)sin( t3 t方向運動。求該時刻質(zhì)點振動的相位。方向運動。求該時刻質(zhì)點振動的相位。例例4 （書（書P85) 設(shè)質(zhì)點在設(shè)質(zhì)點在Ox軸上作諧振動，振幅為軸上作諧振動，振幅為 作旋轉(zhuǎn)矢量圖作旋轉(zhuǎn)矢量圖 例例5 用

18、旋轉(zhuǎn)矢量法求簡諧振動物體在下列情況的初相用旋轉(zhuǎn)矢量法求簡諧振動物體在下列情況的初相. (1)起始起始時時, 物體具有負(fù)最大位移物體具有負(fù)最大位移.(2)t=0時時, 物體在平衡位置且向負(fù)向運動物體在平衡位置且向負(fù)向運動. (3)t=0時時, 物體的位移為物體的位移為A/2且向正向運動且向正向運動. 解解: sin0cosAAA (1)t=0時時(2)t=0時時0sincos00AA(3)t=0時時0sincos20AAAOX A AXO2/ 2 XO3 A3O2-22x(m)t(s)1 已知某質(zhì)點作簡諧運動，振動曲線如圖，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫出已知某質(zhì)點作簡諧運動，振動曲線如圖，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫出

19、振動方程振動方程.解：設(shè)振動方程為解：設(shè)振動方程為)cos(tAx解得解得4由圖可知由圖可知 A=2m(1)當(dāng)當(dāng)t = 0時時(2)2cos20 x0sin2dd0tx0 sin由由 22cos由由4 例例6 已知振動曲線已知振動曲線 (x-t 曲線曲線) 求振動方程求振動方程.)443cos(2 tx振振動動方方程程為為解得解得0)4cos(21x0)4sin(21當(dāng)當(dāng)t = 1時有時有24再用圖中另一時刻的已知條件求再用圖中另一時刻的已知條件求 2)4(由由0 )4sin( 43 m(3)由由思考和討論：思考和討論：2121kkkkk串)111(21kkk21kkk并（1）如果兩彈簧串接在

20、一起，再聯(lián)結(jié)如果兩彈簧串接在一起，再聯(lián)結(jié)m，情況如何？，情況如何？（2）如果兩彈簧并接在一起，再聯(lián)結(jié)如果兩彈簧并接在一起，再聯(lián)結(jié)m，情況如何？，情況如何？kmk1k2xOmkx212211,xxxCxkxkkx212211,xxxxkxkkxExample7、有兩相同的彈簧，其倔強系數(shù)均為有兩相同的彈簧，其倔強系數(shù)均為 k 。求：。求： （1）把它們串聯(lián)起來，下面掛一個質(zhì)量為）把它們串聯(lián)起來，下面掛一個質(zhì)量為 m 的重物，此系統(tǒng)的重物，此系統(tǒng)作簡諧振動的周期。作簡諧振動的周期。 （2）把它們并聯(lián)起來，下面掛一個質(zhì)量為）把它們并聯(lián)起來，下面掛一個質(zhì)量為 m 的重物，此系統(tǒng)的重物，此系統(tǒng)作簡諧振動

21、的周期。作簡諧振動的周期。xxSolution ：求等效倔強系數(shù)：求等效倔強系數(shù)串聯(lián)：串聯(lián)：并聯(lián)：并聯(lián)： 21xkxK21kK kxxK22kK22kmKmT2222111kmKmT2222222)(sin21212222 tAmmEkv)(cos2121222 tkAkxEp2222121kAAmEEEpk 動能動能勢能勢能總能量總能量)(cos21222 tAm 以彈簧振子為例討論簡諧振動的能量以彈簧振子為例討論簡諧振動的能量 因略去彈簧的質(zhì)量因略去彈簧的質(zhì)量, ,物體的質(zhì)量就是系統(tǒng)的質(zhì)量物體的質(zhì)量就是系統(tǒng)的質(zhì)量, , 物物體的動能就是系統(tǒng)的動能體的動能就是系統(tǒng)的動能. . 設(shè)在某一時刻設(shè)

22、在某一時刻, ,振子速度為振子速度為v則則系統(tǒng)的系統(tǒng)的該時刻物體的位移為該時刻物體的位移為x, ,則系統(tǒng)的勢能：則系統(tǒng)的勢能：簡諧振動的動能和勢能隨時間變化并相互轉(zhuǎn)換簡諧振動的動能和勢能隨時間變化并相互轉(zhuǎn)換Ot動能動能勢能勢能總能量總能量能量曲線能量曲線0 2TT23T振動系統(tǒng)的總機械能守恒振動系統(tǒng)的總機械能守恒222maxmax2121mAkAEEEpk kpEE 221kAE21位移變化一個周期，能量變化兩個周期位移變化一個周期，能量變化兩個周期.例例 彈簧的倔強系數(shù)為彈簧的倔強系數(shù)為k, 一端固定一端固定, 另一端連一質(zhì)量為另一端連一質(zhì)量為M的物體的物體,其振幅為其振幅為A. 在下列兩種

23、情況下在下列兩種情況下, 一塊質(zhì)量為一塊質(zhì)量為m的粘土從的粘土從h高處自由落高處自由落下下,正好落在正好落在M上上,問問(1)振動周期有何變化振動周期有何變化? (2) 系統(tǒng)的能量有何變化系統(tǒng)的能量有何變化? 情況之一情況之一: 粘土是在粘土是在M通過平衡位置時落至通過平衡位置時落至M; 之二之二, 粘土是在粘土是在M位位于最大位移處落至于最大位移處落至M.解解:振動系統(tǒng)為彈簧振動系統(tǒng)為彈簧+(M+m) 振動周期取決于系統(tǒng)振動周期取決于系統(tǒng), 故在兩種情故在兩種情形形(M+m)系統(tǒng)振動周期都相同系統(tǒng)振動周期都相同. kmMT 22 因能量與振幅的平方成正比因能量與振幅的平方成正比, 所以所以核

24、心是根據(jù)初始條件定出核心是根據(jù)初始條件定出A. hm 粘上粘上M之前之前: 水平速度水平速度 m為為0, M為為MkAAM0m粘上粘上M之后之后: (M+m)水平速度為水平速度為v .mMkMAmMMkMAMkMAmM , (）00 0 xmMk t=0時時mMMkAAkE mMMAxA222202121 ( ）情形一情形一: 略去摩擦略去摩擦, M+m系統(tǒng)在水平方向動量守恒系統(tǒng)在水平方向動量守恒之一之一:m是在是在M通過平衡位置時落至通過平衡位置時落至M情形二情形二: 略去摩擦略去摩擦, M+m系統(tǒng)在水平方向動量守恒系統(tǒng)在水平方向動量守恒m 粘上粘上M之前之前: 水平速度水平速度 m為為0,

25、 M為為 .之二之二:m是在是在M位于最大位移處落至位于最大位移處落至M.m 粘上粘上M之后之后: (M+m)水平速度為水平速度為 .000Ax0 0)(mMt=0時時 有有222121 kAAkEAA 小結(jié)小結(jié)：簡諧振動的特征：簡諧振動的特征 1)1)動力學(xué)特征：動力學(xué)特征：受彈性回復(fù)力或受彈性回復(fù)力或 準(zhǔn)彈性回復(fù)力準(zhǔn)彈性回復(fù)力2)2)運動學(xué)特征：運動學(xué)特征：3)3)能量特征能量特征：kxF xxmka20dd222 xtx 22221)dd(2121kAtxmkx 常常量量一、阻尼振動一、阻尼振動振幅隨時間減小的振動振幅隨時間減小的振動實驗表明，流體中運動物體所受的粘滯阻力實驗表明，流體中

26、運動物體所受的粘滯阻力txFdd v由牛頓第二定律由牛頓第二定律kxtxtxmdddd22 令令m2 阻力系數(shù)阻力系數(shù)阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)mk 0 固有角頻率固有角頻率0dd2dd2022 xtxtx 運動微分方程運動微分方程1. 弱阻尼弱阻尼202 )cos(e tAxt220 振動曲線振動曲線有阻尼作用時的角頻率有阻尼作用時的角頻率微分方程解為微分方程解為xtOtA e tA e T阻尼振動的周期阻尼振動的周期2202 T2. 強阻尼及臨界阻尼強阻尼及臨界阻尼強阻尼強阻尼202 臨界阻尼臨界阻尼202 位移時間曲線位移時間曲線xtO臨界阻尼臨界阻尼強阻尼強阻尼二、受迫振動二、受迫振動 共振共振

27、1. 受迫振動受迫振動系統(tǒng)在周期性外力作用下發(fā)生的振動系統(tǒng)在周期性外力作用下發(fā)生的振動最簡單的驅(qū)動力可表示為最簡單的驅(qū)動力可表示為tHF cos H驅(qū)動力的振幅驅(qū)動力的振幅 驅(qū)動力的角頻率驅(qū)動力的角頻率22ddcosddtxmtHtxkx 2. 運動微分方程運動微分方程周期性的外力稱為驅(qū)動力周期性的外力稱為驅(qū)動力令令mHhmmk ，220 thxtxtx cosdd2dd2022 )cos()cos(00 tAteAxt受迫振動的運動方程受迫振動的運動方程其中其中220 穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解暫態(tài)解暫態(tài)解2222204)( hA2202arctan 振幅振幅與驅(qū)動力相位差與驅(qū)動力相位差3. 共振共振由由

28、 得得A 取最大值時，取最大值時，共振角頻率共振角頻率0dd A220r2 振幅振幅A 最大的現(xiàn)象稱為最大的現(xiàn)象稱為220r2 hA最大振幅最大振幅AO0 0 較小較小較大較大穩(wěn)定受迫振動穩(wěn)定受迫振動共振共振 長長850米、寬米、寬12米的美國華盛頓州米的美國華盛頓州Tacoma Narrows 橋，于橋，于1940年，在通車幾個月后，由年，在通車幾個月后，由凌晨的風(fēng)引起大幅擺動因共振而垮塌凌晨的風(fēng)引起大幅擺動因共振而垮塌1AO x2 x1 x xM2AA1 2 )cos(111 tAx)cos(222 tAx振幅振幅)cos(212212221 AAAAA初相位初相位22112211cosc

29、ossinsintanarc AAAA合振動位移合振動位移)cos(21 tAxxx兩個同方向、同頻率簡諧振動兩個同方向、同頻率簡諧振動一、兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成一、兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成 一質(zhì)點同時參與一質(zhì)點同時參與由圖可見由圖可見 x = x1 + x2coscoscos2211AAAsinsinsin2211AAA22112211 coscossinsintanAAAA 兩式相比得：兩式相比得：O x2 x1 x XM1A2AA12M1M2在三角形在三角形OM1M中，由余弦定律有中，由余弦定律有：)cos(2122122212AAAAA 所以合振動的振幅和初相分別為：

30、所以合振動的振幅和初相分別為：)cos(212212221AAAAA221122111 coscossinsintanAAAA 1. 相位相同相位相同 ), 2, 1, 0( 212 kk 21maxAAA 2. 相位相反相位相反), 2, 1, 0( )12(12 kk 21minAAA 3. 一般情況下一般情況下2121AAAAA )cos(212212221 AAAAA相位差相位差 的影響的影響 12 討討 論：論： 例例1.（書書P94自學(xué)自學(xué)）物體同時參與物體同時參與N個同方向、同頻率的個同方向、同頻率的解解設(shè)設(shè)N個簡諧振動的振動方程為個簡諧振動的振動方程為)1(cos)2cos()

31、cos(cos321 NtaxtaxtaxtaxN 1a2a3aCOMNPQA旋轉(zhuǎn)矢量表示旋轉(zhuǎn)矢量表示 都等于都等于 成等差級數(shù)。求合振動振幅。成等差級數(shù)。求合振動振幅。簡諧振動，其振幅都等于簡諧振動，其振幅都等于a，每相鄰二振動的相位差，每相鄰二振動的相位差 NOCQ 2sin2 Ra 2sin2 aR 2sin2 NRA 合振動的振幅合振動的振幅2sin2sin NaA 1a2a3aCOMNPQA2 N個等腰三角形全等，每個三角形底角均個等腰三角形全等，每個三角形底角均= 22每個三角形頂角均每個三角形頂角均=其中其中解：解：作平行四邊形如圖作平行四邊形如圖6o1A2AA例例2：已知已知:

32、 :21AAAcm81Acm10A61相相差差與與 AA求：求：的的相相差差，及及212AAAcm04. 56cos212212AAAAAcos2222221AAAAAoAAAAA47.522arccos222221o47.826二、兩個同方向、不同頻率的簡諧振動的合成拍現(xiàn)象二、兩個同方向、不同頻率的簡諧振動的合成拍現(xiàn)象 兩個同方向、不同頻率的簡諧振動可表示為兩個同方向、不同頻率的簡諧振動可表示為)cos(11 tAx)cos(22 tAx合振動的位移為合振動的位移為)cos()cos(2121 ttAxxx若若 | 1 - - 2| 1 + 2 合振動可看作角頻率為合振動可看作角頻率為 21

33、2 tA2cos212 振幅為振幅為 ttA2cos2cos21212合成后振幅時大時合成后振幅時大時小的現(xiàn)象，稱為小的現(xiàn)象，稱為拍拍 拍頻拍頻 拍拍 =| 2 1|122 拍拍T拍的周期拍的周期 雙簧管的兩個簧片的頻率相雙簧管的兩個簧片的頻率相差無幾，能產(chǎn)生悅耳的拍音差無幾，能產(chǎn)生悅耳的拍音 哨片哨片雙簧管雙簧管一、兩個互相垂直的、同頻率的簡諧振動的合成一、兩個互相垂直的、同頻率的簡諧振動的合成 兩個互相垂直、同頻率的簡諧振動可表示為兩個互相垂直、同頻率的簡諧振動可表示為)cos(11 tAx)cos(22 tAy合振動的軌道方程合振動的軌道方程)(sin)cos(2122122122221

34、2 AAxyAyAx為一橢圓為一橢圓1. 兩振動相位差兩振動相位差 時，軌道方程為時，軌道方程為012 021 AyAx質(zhì)點簡諧振動振幅為質(zhì)點簡諧振動振幅為 2221AA xyOxy1A2A 12AA軌道是過原點斜率為軌道是過原點斜率為 的直線的直線2. 兩振動相位差兩振動相位差 時，軌道方程時，軌道方程 12 021 AyAx質(zhì)點簡諧振動振幅為質(zhì)點簡諧振動振幅為2221AA xOy1A 2A 12AA 軌道是過原點斜率為軌道是過原點斜率為 的直線的直線3. 兩振動相位差兩振動相位差 時，軌道方程時，軌道方程212 1222212 AyAx 其軌道是一以坐標(biāo)軸其軌道是一以坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，質(zhì)

35、點在橢為主軸的橢圓，質(zhì)點在橢圓上沿順時針方向運動圓上沿順時針方向運動xOy1A2A4. 兩振動相位差兩振動相位差 時，軌道方程時，軌道方程2312 1222212 AyAx 其軌道是一以坐標(biāo)軸其軌道是一以坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，質(zhì)點在橢為主軸的橢圓，質(zhì)點在橢圓上沿逆時針方向運動圓上沿逆時針方向運動xOy1A2A二、兩個互相垂直的、不同頻率的簡諧振動的合成二、兩個互相垂直的、不同頻率的簡諧振動的合成 李薩如圖形李薩如圖形 稱為稱為電磁振蕩電磁振蕩最簡單的振蕩電路最簡單的振蕩電路 LC 振蕩電路振蕩電路電容器開始放電電容器開始放電I = 0Wm= 0CqW220e CL+ + + + + +- - -

36、 - - - - - - - - -q0 0eWmW一、一、LC 振蕩電路振蕩過程振蕩電路振蕩過程 電路中電壓和電流（或電荷）的周期性變化電路中電壓和電流（或電荷）的周期性變化產(chǎn)生電磁振蕩的電路稱為產(chǎn)生電磁振蕩的電路稱為振蕩電路振蕩電路前一瞬間前一瞬間計為計為 t = 0LC電路的充電路的充、放電過程、放電過程q0 0+ + + +- - - - - - - - - - - - - - -+ + + +I0 0I0 0q0 0+ +- - - -Iq+ +- - - -Iq+ +- - - -IqI+ +- - - -qeWmWeWmWeWmWeWmWeWmWeWmWeWmWeWmW當(dāng)電容器極板上帶電量為當(dāng)電容器極板上帶電量為 q，電路中電流為，電路中電流為 I 時時CqVVtIL BAdd線圈的自感電動勢為線圈的自感電動勢為不計電路中內(nèi)阻時，有不計電路中內(nèi)阻時，有二、二、LC 振蕩電路振蕩過程的定量描述振蕩電路振蕩過程的定量描述CqVV BAtILdd 電容器兩端電勢差為電容器兩端電勢差為CL+ + + + + +- - - - - - - - - - - -qI LC 振蕩電路振蕩電路ABtqIdd 代入代入LC12 并令并令0dd222 qtq 所以電磁振蕩是所以電磁振蕩是簡諧振動簡諧振動得得簡諧振動簡諧振