一維Schr(o¨)dinger方程的能控性及其穩(wěn)定化

1、一維Schr(o|)dinger方程的能控性及其穩(wěn)定化Schrodinger 方程是量子力學(xué)中的基本方程, 用來描述量子系統(tǒng)中關(guān)于原子分子 , 亞原子等粒子的自由態(tài), 束縛態(tài) , 局部化的變化情況. 本論文主要討論不同邊界條件下雙線性Schrodinger 方程的控制問題 , 給出了一維Schrodinger 方程的能控性及其穩(wěn)定化結(jié)果. 本論文共分為四章. 第一章主要介紹了雙線性偏微分方程控制系統(tǒng)的重要性,Schrodinger 方程的能控性和穩(wěn)定化等基本概念, 雙線性 Schrodinger 方程控制問題的導(dǎo)出及其發(fā)展, 以及在不同的邊界條件下研究Schrodinger 方程控制問題的科學(xué)

2、意義. 第二章討論了 Sturm-Liouville 邊界條件下一維 Schrodinger 方程的局部精確能控性. 考慮一維雙線性Schrodinger 方程：其中ai2+bi2 w0,i=1,2.系統(tǒng)(0.0.1)用來描述Sturm-Liouville邊界條件下勢阱 V(x) 中的量子粒子在外加電場w(t) 作用下的動力學(xué)行為 . 上述系統(tǒng)是一個雙線性控制系統(tǒng)，其中狀態(tài)函數(shù)為y: R+x RHC,控制函數(shù)w： R*R作用在偶 極矩n : (0,冗)R上當V(x)三0, n (x)=x時,K.Beauchard給出了 1D無窮維 Schrodinger 方程在 Dirichlet 邊界條件下

3、(b1=b2=0) 的精確能控性結(jié)果8. 對于Dirichlet 邊值問題,G.Turinici在90中指出：若狀態(tài)函數(shù)在H2n H01空間,控制函數(shù)在L2空間，那么1D無窮維Schrodinger方程是不可控的 K.Beguchard 在正則性更高的 Sobolev 空間 H(0)7(I ; C):=小 H7(I,C);小(2i) H01(I,C),i=0,1,2,3上考慮系統(tǒng)(0.0.1)的能控性，她利用Nash-Moser隱函數(shù)定理，成功地克服了先驗解正則性丟失的問題，進而給出了 1D無窮維雙線性 Schrodinger 方程是局部精確能控的 . 利用同樣的方法,K.Beauchard

4、給出變化定義域下1D無窮維Schrodinger方程是局部精確能控的9 ; K.Beauchard和她的導(dǎo)師J.M.Coron給出幾乎全局能控性的結(jié)果12.在14中,K.Beauchard和C.Lau-rent考慮偶極距(x)更一般的情形，當仙(x)滿足一定條件時，她們找到了一個隱藏的正則性條件, 進而在 H(0)3(I,C) 中利用經(jīng)典的逆函數(shù)定理, 得到 1D無窮維S chrodinger方程的精確能控性.當V(x) W0時,V.Nersesyan得到了在H3 中全局近似能控性的結(jié)果76. 他在 75 中指出 Dirichlet 邊界條件下Schrodinger方程在H(V)3+ & (I

5、,C)中是局部精確能控的.上述結(jié)果只考慮Dirichlet 邊界條件 , 并沒有考慮其它情形的 Sturm-Liouville 邊界條件 . 在本章中，我們考慮Neumanns界條件(a1=a2=0),Dirichlet-Neumann邊界條件(a1=b2=0 或 a2=b1=0)以及一般邊界條件(a1>0,a2>0,b1>0,b2>0).我們發(fā)現(xiàn)除Dirichlet 邊界條件以外的 Sturm-Liouville 邊界條件在證明正則性時并不需要H(0)3 正則性 . 我們利用線性化系統(tǒng)三角矩問題的經(jīng)典結(jié)果, 通過逆函數(shù)定理，在H(0)2空間得到了 1D無窮維Schro

6、dinger方程的局部精確能控性.第三章討論了一維Schrodinger 方程在不均勻介質(zhì)中的近似穩(wěn)定化 . 這部分結(jié)果發(fā)表在 94 中. 我們考慮不均勻介質(zhì)中的量子粒子在外加電場w(t) 作用下的控制系統(tǒng)：其中u(x)是x-依賴型系數(shù)稱為阻抗函數(shù)，11 (x)為偶極距.當u(x)三1,n (x)=x時,K.Beauchard和M.Mirrahimi得到系統(tǒng)(0.0.2)的近似穩(wěn)定化結(jié)果15. 眾所周知 ,LaSalle 不變原理是證明有限維動力系統(tǒng)平衡點漸近穩(wěn)定性強有力的工具. 然而 , 在無窮維系統(tǒng)中應(yīng)用 LaSalle 不變原理是很困難的 , 這是因為在無窮維空間中 , 閉的有界的子集不

7、一定是緊的 . 他們利用類似于在73 中的隱式反饋控制方法, 阻止量子狀態(tài)進入較高的能量面, 通過證明近似收斂性, 克服了緊性的缺失, 得到了基態(tài)附近的穩(wěn)定化結(jié)果. 我們考慮 u(x) 不恒為常數(shù)時的情形這里 , 我們通過構(gòu)造Lyapunov 函數(shù), 利用 LaSalle 不變原理 , 得到 Dirichlet 邊界條件下 ,1D 無窮維雙線性Schrodinger 方程在不均勻介質(zhì)中的近似穩(wěn)定化 . 第四 章 , 我們討論了周期邊界條件下 Schrodinger 方程的近似穩(wěn)定化問題 . 在自然界中,周期現(xiàn)象是普通存在的 . 由于周期邊值問題解的多重性 , 即一個特征值對應(yīng)兩個特征向量, 這給周期邊值問題的控制帶來一定的困難 . 我們考慮帶有兩個控制的一維Schrodinger方程：在周期邊界條件y(i)(t,0)=y(