2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示ppt課件

1、2.3 2.3 平面向量的基本定理及平面向量的基本定理及 坐坐標(biāo)表示標(biāo)表示2.3.1 平面向量基本定理 給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量e1,e2，請作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？思思 考考1221 111 122221 12.OCOBOAMCOAOBNaOAOBOCOMONOCOMON 在平面內(nèi)任取一點(diǎn) ，作，過點(diǎn) 作平行于直線的直線，與直線交于點(diǎn)；過點(diǎn) 作平行于直線的直線，與直線交于點(diǎn)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)可知，存在實(shí)數(shù) 、 ，使得由于所以，也就是說任一向量 都可以表示成，eeeeaeeaee2.的形式平面向量基本定理平面向量基本定理

2、如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使得a=1e1+2e2. 把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.關(guān)于基底的幾點(diǎn)說明：關(guān)于基底的幾點(diǎn)說明：121. ,e e 均為非零向量，且不共線，它們是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；12122.,a ee 基 底 不 唯 一 ， 當(dāng) 基 底 給 定 時(shí) ， 分 解 形 式 唯 一 ， 是 被唯 一 確 定 的 數(shù) 量 ；123.,ae e 由定理可將任一向量 在給出基底的條件下進(jìn)行分解；同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合；2112124.=0=0;0

3、0.aeaea 時(shí)， 與 共線；時(shí)， 與 共線時(shí)，向量的夾角向量的夾角:OABba兩個(gè)非零向量兩個(gè)非零向量 和和 ,作作 ， ,那么那么abAOB叫做向量叫做向量 和和 的夾角的夾角OAa OBb ab夾角的范圍：夾角的范圍：00180,0180 與與 反向反向abOABab記作記作ab90 與與 垂直，垂直，abOAB ab留意留意:兩向量必須兩向量必須是同起點(diǎn)的是同起點(diǎn)的0 與與 同向同向abOABab特別的：特別的： 已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2. 解：例例 1 如圖在基底e1、e2下分解下列向量：例例 2例例3.在等邊三角形中，求在等邊三角形中，求 (1)AB與與A

4、C的夾角；的夾角； (2)AB與與BC的夾角。的夾角。ABC60C01202.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示正交分解正交分解 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)即它的坐標(biāo)表示，對(duì)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的每一個(gè)向量，如何表示呢？思思 考考向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示 在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，則對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y使得a=xi+yj， 把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y), 其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，

5、 顯然，i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).AOOAAAOA 當(dāng)向量起點(diǎn)被限制在原點(diǎn)時(shí)，作，這時(shí)向量的坐標(biāo)就是點(diǎn) 的坐標(biāo)，點(diǎn) 的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo)，二者之間建立的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系a 如圖，分別用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它們的坐標(biāo). 解： a=2i+3j=(2,3), b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3).例例 題題 在直角坐標(biāo)系xOy中，向量a、b、c的方向和長度如圖所示，分別求它們的坐標(biāo).例例 題題1212(,)(,)(,)452452;cos120sin120;co2222221333 3332222314

6、2 342223 3 32, 2 ,s( 30 )sin( 30 ),2 3,22a ab bc caa cosaa sinbbbbcccc 12121212解=：設(shè)，則，因此abcabc2 .如圖，e1、e2為正交基底，分別寫出圖中向量a、b、c、d的分解式，并分別求出它們的直角坐標(biāo).練一練練一練 解： a=2e1+3e2=(2,3)， b=-2e1+3e2=(-2,3)， c=-2e1-3e2=(-2,-3)， d=2e1-3e2=(2,-3). 知 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) 在第一象限， ，求向量 的坐標(biāo).練一練練一練OA| 4 3OA 60 xOAOA ,4 3cos602 3,4 3si 2

7、3,6.n6062 3,6A x yOAAxy 解：設(shè)點(diǎn)，則即，所以 1 平面向量基本定理； 2 平面向量的正交分解； 3 平面向量的坐標(biāo)表示.小小 結(jié)結(jié)2.3.32.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1 平面向量基本定理； 2 平面向量的正交分解； 3 平面向量的坐標(biāo)表示.復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，你能得出a+b，a-b，a的坐標(biāo)嗎？思思 考考 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j =(x1+x2,y1+y2).同理可得同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)，a=(x1i+y1j)=x1i+y1j=(

8、x1, y1)，已知已知A(x1,y1)，B(x2,y2)， 那么那么 =(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).ABOBOA 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則 （1兩個(gè)向量和差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和差） （2實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo). （3一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo). 已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標(biāo). 解： a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5)， a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3)， 3a+4b=3(2,1)+4(-

9、3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).例例 題題 已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4)，試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).例例 題題13224, 12 ,3 11,23,4, 1,23,4, 2,2 .2ABDDx yxyCABDCxxyyxyD 解：設(shè)頂點(diǎn) 的坐標(biāo)為，因?yàn)?，由，得所以，故頂點(diǎn) 的坐標(biāo)為2.3.42.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示 如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量？ 設(shè)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，其中b0， a與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使a=b， 即(x1,y1)= (x2,y2)， x1=x

10、2，y1=y2，消去后得，x1y2-x2y1=0.思思 考考 已知a=(4,2)，b=(6,y)，且a/b，求y. 解：a/b，4y-26=0，y=3。例例 題題 已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)，試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的關(guān)系.例例 題題11 ,312,421 ,513,62 63 4/ /.0ABCABACABACABACA 解：直線、直線有公共點(diǎn) ，所以 、 、 三又，故，點(diǎn)共線， 設(shè)線段兩端點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1,y1)，(x2,y2)， （1當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).例例 題題 121

11、21212121,222,.212xxyyOPOPOPxPxyy 解：所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為， 121111212111212121221221212133322,3322,.33PPPPOPOPPPOPPPOPOPOPOPOPxxyyPxxyy 如果那么所以點(diǎn) 的坐標(biāo)是，3 同理，如果說 那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是212PPPP32,322121yyxx 已知a=(3,2)，b=(0,-1)，求-2a+4b，4a+3b的坐標(biāo). (-6,-8)，(12,5) 知：A(2,3)，B(-1,5)，且 ， 求點(diǎn)C、D 、E的坐標(biāo). 練一練練一練11,3,34ACAB ADAB AEAB 1111 51,7,9 ,24 2CDE 已知三點(diǎn)A(1,1)，B(-1,0)，C(0,1)，求另一點(diǎn)D(x,y)，使 . 若三點(diǎn)A(1,1)，B(2,-4)，