平面向量全章1ppt課件

1、平面向量一平面向量一知兩個力知兩個力F1和和F2同時作用在一個物體上同時作用在一個物體上,其中其中F1=40N,方向向東方向向東,F2=30N,方向向北方向向北,求它們的合力求它們的合力.東東B 北北A O C F2 F1F 。表表示示合合力力則則為為鄰鄰邊邊作作平平行行四四邊邊形形，、以以，表表示示，表表示示如如右右圖圖所所示示，F(xiàn)OCOBOAFOBFOA21NOBACNOAOACRt3040 ，中中，在在22ACOAOCF 由由勾勾股股定定理理得得223040 N50 tan1，則則的的夾夾角角為為與與力力設(shè)設(shè)合合力力FF75. 04312 FF 37 。，方方向向是是東東偏偏北北答答：合

2、合力力大大小小為為 3750N什么是向量？向量和數(shù)量有何不同？什么是向量？向量和數(shù)量有何不同？向量：即有大小又有方向的量向量：即有大小又有方向的量數(shù)量：只需大小，沒有方向的量數(shù)量：只需大小，沒有方向的量向量的模向量的模向量的長度向量的長度在質(zhì)量、重力、速度、加速度、身高、面積、體積這些在質(zhì)量、重力、速度、加速度、身高、面積、體積這些量中，哪些是數(shù)量？哪些是向量？量中，哪些是數(shù)量？哪些是向量？數(shù)量有：質(zhì)量、身高、面積、體積數(shù)量有：質(zhì)量、身高、面積、體積向量有：重力、速度、加速度向量有：重力、速度、加速度2. 向量如何表示？向量如何表示？AB, ,a b c 向量AB向量AB幾何表示幾何表示向量常

3、用有向線段表示：有向線段的長向量常用有向線段表示：有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。注注: 以以A為起點，為起點，B為終點的有向線段記為為終點的有向線段記為 線段線段AB的長度記作的長度記作 讀為模；讀為模；ABAB也可以表示：也可以表示：大小記作大小記作: cba、FG練習(xí)練習(xí):1.:1.溫度有零上和零下之分，溫度是向量嗎？為什么？溫度有零上和零下之分，溫度是向量嗎？為什么？2.2.向量向量 AB AB 和和 BA BA 同一個向量嗎？為什么？同一個向量嗎？為什么？我們所說的向量，與起點無關(guān)，用有向線段表示向量時，我們

4、所說的向量，與起點無關(guān)，用有向線段表示向量時，起點可以取恣意位置。所以數(shù)學(xué)中的向量也叫自在向量起點可以取恣意位置。所以數(shù)學(xué)中的向量也叫自在向量. .如圖：他們都表示如圖：他們都表示同一個向量。同一個向量。不是，溫度只需大小，沒有方向。不是，溫度只需大小，沒有方向。不是，方向不同不是，方向不同aa闡明闡明1 1：有向線段與向量的區(qū)別：有向線段與向量的區(qū)別：有向線段：有固定起點、大小、方向有向線段：有固定起點、大小、方向向量：可選恣意點作為向量的起點、有大小、有方向。向量：可選恣意點作為向量的起點、有大小、有方向。ABCDABCD有向線段有向線段ABAB、CDCD是不同的。是不同的。向量向量 AB

5、 AB、CD CD 是同一個是同一個向量。向量。闡明闡明2 2：思索：思索： 1、假設(shè)兩個向量相等，那么它們的起點和、假設(shè)兩個向量相等，那么它們的起點和終點分別重合嗎？終點分別重合嗎？ 2、向量與是共線向量，那么、向量與是共線向量，那么A、B、C、D四點必在不斷線上嗎？四點必在不斷線上嗎？ 3、平行于同一個向量的兩個向量平行嗎？、平行于同一個向量的兩個向量平行嗎？ 、假設(shè)四邊形、假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，那是平行四邊形，那么有么有 嗎嗎?AB CD AB DCABCD3. 什么是零向量和單位向量？什么是零向量和單位向量？零向量：零向量： 長度為長度為0的向量，記為的向量，記為 ；單位向量

6、：長度為單位向量：長度為1的向量的向量.0注注:零向量，單位向量都是只限制大小，不確定方向的零向量，單位向量都是只限制大小，不確定方向的.4. 什么是平行向量？什么是平行向量？方向一樣或相反的非零向量叫平行向量方向一樣或相反的非零向量叫平行向量.注：注：1.1.假設(shè)是兩個平行向量，那么記為假設(shè)是兩個平行向量，那么記為ba /2.2.我們規(guī)定，零向量與任一向量平行，即對恣意向量我們規(guī)定，零向量與任一向量平行，即對恣意向量 ，a都有都有a/0三、向量之間的關(guān)系：三、向量之間的關(guān)系：練習(xí)練習(xí).判別以下各組向量能否平行？判別以下各組向量能否平行？ab ab ABCABC向量的平行與線段的平行有什么區(qū)別

7、向量的平行與線段的平行有什么區(qū)別?0 .)5(; 00)4(;)3(;)2(;)1(ACDABBAAB其其中中正正確確命命題題的的個個數(shù)數(shù)是是大大于于向向量量向向量量向向量量向向量量就就是是有有向向線線段段定定不不平平行行方方向向不不同同的的兩兩個個向向量量一一長長度度相相等等和和向向量量向向量量否否正正確確練練習(xí)習(xí)：判判斷斷下下列列命命題題是是 1 .B2 .C2 .DB例例1.試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置,在圖中分別用在圖中分別用 向量表示向量表示A地至地至B、C兩地的位移，并求出兩地的位移，并求出A地至地至B、 C兩地的實踐間隔兩地的實踐間隔(準(zhǔn)確到準(zhǔn)

8、確到1km).1:80000005.什么是相等向量和共線向量？什么是相等向量和共線向量？長度相等且方向一樣的向量叫相等向量長度相等且方向一樣的向量叫相等向量注：注：1.假設(shè)向量假設(shè)向量 相等，那么記為相等，那么記為 ； 2.恣意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來恣意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來 表示，并且與有向線段的起點無關(guān)。表示，并且與有向線段的起點無關(guān)。, a b ababc a=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4平行向量也叫共線向量平行向量也叫共線向量注：任一組平行向量都可以平移到同不斷線上注：任一組平行向量都可以平移到同不

9、斷線上.OabcABC,aOA bOB cOC 2 ./,/,/)6(;,)5(;)4(;)3(;|,|)2(;)1(AcacbbakmknnmDCABABCDABCDDCABbaba是是其其中中不不正正確確命命題題的的個個數(shù)數(shù)則則若若則則若若中中，一一定定有有平平行行四四邊邊形形是是平平行行四四邊邊形形，則則四四邊邊形形若若則則若若的的起起點點相相同同，終終點點相相同同兩兩個個向向量量相相等等，則則它它們們否否正正確確練練習(xí)習(xí)：判判斷斷下下列列命命題題是是 3 .B4 .C5 .DB0, 0.,.|,.,/.|,|.0, 0|.|,|. 1 aaGbabaFbabaEbabaDbababaC

10、aaBbabaA則則若若不不是是共共線線向向量量與與則則若若則則若若則則若若或或則則若若則則若若則則若若下下列列說說法法是是否否正正確確的的長長度度與與的的方方向向與與的的單單位位向向量量，則則是是若若000|. 2aaaaaaa 相等相等幾幾何何圖圖形形為為這這些些向向量量的的終終點點構(gòu)構(gòu)成成的的處處，上上點點移移動動到到直直線線的的所所有有向向量量的的起起點點平平行行把把平平行行于于直直線線Pll. 3l直直線線以以上上都都有有可可能能同同一一條條直直線線上上同同一一個個點點上上同同一一個個圓圓上上量量的的終終點點將將落落在在到到同同一一起起點點后后，這這些些向向把把所所有有相相等等的的向

11、向量量平平移移. 4DCBAB5.如圖，設(shè)如圖，設(shè)O是正六邊形是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與的中心，分別寫出圖中與 相等的向量。相等的向量。 OA OB OC 、 、OABCDEFOACBDO ：解解OBDCEO OCABEDFO ABCDEF6.如圖，設(shè)如圖，設(shè)O是正六邊形是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與的中心，分別寫出圖中與 相等的向量。相等的向量。 OA OB OC 、 、O7 7：如圖：如圖,EF,EF是是ABCABC的中位線的中位線,AD,AD是是BC BC 邊是的邊是的中中 線線, ,在以在以A A、B B、C C、D D、E E、F F為端點的有向線為端

12、點的有向線 段表示的向量中請分別寫出段表示的向量中請分別寫出1 1與向量與向量CDCD共線的向量有共線的向量有_個個, ,分別是分別是_；2 2與向量與向量DFDF的模一定相等的向的模一定相等的向量有量有_個個, ,分別是分別是_；3 3與向量與向量DEDE相等的向量有相等的向量有_個個, ,分別是分別是_。 ABCDEF7DC,DB,BD,FE,EF, CB, BC5FD,EB,BE,EA,AE2CF, FA8 8：如圖：如圖,D,D、E E、F F分別是分別是ABCABC各邊上的中點，四邊形各邊上的中點，四邊形BCMFBCMF是平行四邊形，請分別寫出：是平行四邊形，請分別寫出： 1 1與與

13、EDED共線的向量；共線的向量；2 2與與EDED相等的向量；相等的向量；3 3與與FEFE相等的向量。相等的向量。ABCDFEM解：解：1DE、BF、FB、FA、 AF、CM、MC、AB、BA2 2FBFB、AFAF、MCMC3BD、DC、EM課本課本 P8687嘉祥一中高一、一科數(shù)學(xué)組嘉祥一中高一、一科數(shù)學(xué)組知識回想知識回想 1. 向量與數(shù)量有何區(qū)別? 2. 怎樣來表示向量向量? 3. 什么叫相等向量向量?數(shù)量只需大小沒有方向數(shù)量只需大小沒有方向,如如:長度長度,質(zhì)量質(zhì)量,面積等面積等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如位移如位移,速度速度,力等力等1)用有向線段來表示,線段的長度

14、表示線段的大小，箭頭所指方向表示向量的方向。AB2用字母來表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示.如aAB,長度相等長度相等,方向一樣的向量相等方向一樣的向量相等.(正由于如此,我們研討的向量是與起點無關(guān)的自在向量,即任何向量可以在不改動它的大小和方向的前提下,移到任何位置.) 上海上海香港香港臺北臺北引入引入1：上海上海香港香港臺北臺北O(jiān)ABOABOA+AB=OB向量加法的三角形法那么：向量加法的三角形法那么：abba abCAB ,abAABa BCbACabababABBCAC 、內(nèi)點 ，則與，記 則 這稱為 已已知知非非零零向向量量在在平平面面任任取取一一作作向向量量叫叫做做

15、的的和和作作即即種種求求向向量量和和向向量量加加法法的的三三角角方方法法，形形法法的的。首尾連首尾連首尾相接首尾相接嘗試練習(xí)一：嘗試練習(xí)一：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD1根據(jù)圖示填空：根據(jù)圖示填空：_ABBCCDDE AE 例例1.如圖，知向量如圖，知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b abab 那么那么 OBab OABaba 三角形法那么三角形法那么作法作法1：在平面內(nèi)任取一點：在平面內(nèi)任取一點O，作作 ， ，OAa ABb b例題講解：例題講解：思索思索1：如圖，當(dāng)在數(shù)軸上兩個向量共線時，：如圖，當(dāng)在數(shù)軸上兩個向量共線時，加法的三角形法加法的三角

16、形法 那么能否還適用？如何作出那么能否還適用？如何作出兩個向量的和？兩個向量的和？abab12| |ababab 若 ， 方向相同，則ABCBCAabab00aaa規(guī) 定 ：| |abababba 若 ， 方向相反，則（或） 當(dāng)向量當(dāng)向量 不共線時，和向量的長度不共線時，和向量的長度 與向量與向量 的長度和的長度和 之間的大小關(guān)系如何？之間的大小關(guān)系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的兩邊之和大于第三邊| |ababab 當(dāng)向量、不共線時有綜合以上探求我們可得結(jié)論：| |abab 圖圖1 1表示橡皮條在兩個力表示橡皮條在兩個力F1F1和和F2F2的作用下

17、，沿的作用下，沿MCMC方向方向伸長了伸長了EOEO；圖；圖2 2表示橡皮條在一個力表示橡皮條在一個力F F的作用下，沿一樣的作用下，沿一樣方向伸長了一樣長度方向伸長了一樣長度EOEO。從力學(xué)的觀念分析，力。從力學(xué)的觀念分析，力F F與與F1F1、F2F2之間的關(guān)系如何？之間的關(guān)系如何？MCEOF1F2圖圖1ME OF圖圖2F=F1+F2F=F1+F2F2F1F引入引入2：OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 點 為點兩個為鄰邊則為點對線與 這平行四邊則稱為 以以同同一一起起的的已已知知向向量量 、 作作, ,以以起起的的角角就就是是 的的和和即即向向量量加加法法

18、的的種種求求向向量量和和的的方方法法，形形法法。起點一樣起點一樣向量加法的平行四邊形法那么：向量加法的平行四邊形法那么：OABCabba 起點一樣起點一樣向量加法的平行四邊形法那么：向量加法的平行四邊形法那么： 文字表述為：以同一同點的兩個向量為鄰邊作平行文字表述為：以同一同點的兩個向量為鄰邊作平行四邊形，那么以公共起點為起點的對角線所對應(yīng)向量就四邊形，那么以公共起點為起點的對角線所對應(yīng)向量就是和向量。是和向量。例例1.如圖，知向量如圖，知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ababO例題講解：例題講解：作法作法2：在平面內(nèi)任取一點：在平面內(nèi)任取一點O，作作 ， ，OAa OBb OAO

19、B、以以 為鄰邊作為鄰邊作 OACB ，.OCOAOBab 連結(jié)連結(jié)OC，那么，那么abba BCA平行四邊形法那么平行四邊形法那么嘗試練習(xí)二：嘗試練習(xí)二：(3)(3)知向量知向量 ，用向量加法的三角形法那么和平行四邊形，用向量加法的三角形法那么和平行四邊形法那么作出法那么作出a b 、ab abbba思索思索2:數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對恣意數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對恣意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么對恣意向量那么對恣意向量 的加法能否也滿足交換律和結(jié)合律？的加法能否也滿足交換律和結(jié)合律？請畫圖進(jìn)展探求。請畫圖進(jìn)展探求。,a b OABCabba abb

20、a abccb cba ACDabba()().a b c a b c 例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，經(jīng)常經(jīng)過輪船進(jìn)展運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，經(jīng)常經(jīng)過輪船進(jìn)展運輸，如下圖，一艘船從長江南岸如下圖，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以點出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.1試用向量表示江水速度、船速以及船實踐航行的速度；試用向量表示江水速度、船速以及船實踐航行的速度；2求船實踐航行的速度的大小與方向用與江水速度的夾求船實踐航行的速度的大小與方向用與江水速度的夾 角來表示。角來表示。2 3ADBC

21、,ADABADABABCDAC 圖， 、為鄰邊則實際.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，經(jīng)常經(jīng)過輪船進(jìn)展運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，經(jīng)常經(jīng)過輪船進(jìn)展運輸，如下圖，一艘船從長江南岸如下圖，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以點出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.1試用向量表示江水速度、船速以及船實踐航行的速度；試用向量表示江水速度、船速以及船實踐航行的速度；2求船實踐航行的速度的大小與方向用與江水速度的

22、夾求船實踐航行的速度的大小與方向用與江水速度的夾 角來表示。角來表示。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船實踐航行速度為答：船實踐航行速度為4km/h,方向與水的流速間的夾角為方向與水的流速間的夾角為60。ADBC1他還能回想起實數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？他還能回想起實數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？2兩個實數(shù)的減法運算可以看成加法運算嗎？兩個實數(shù)的減法運算可以看成加法運算嗎？思索：思索：如設(shè)如設(shè),x yR xy()xy 實數(shù)實數(shù) 的相反數(shù)記作的相反數(shù)記作 。aa如何定義向量的減法運算呢？如何定

23、義向量的減法運算呢？ 向量的減法運算及其幾何意義向量的減法運算及其幾何意義回想：回想：一、相反向量：一、相反向量：規(guī)定：規(guī)定：設(shè)向量設(shè)向量 ，我們把與，我們把與 長度一樣，方向相反長度一樣，方向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。a1()a 3設(shè)設(shè) 互為相反向量，那么互為相反向量，那么,a b,0ab ba ab 2.2.2 向量的減法運算及其幾何意義向量的減法運算及其幾何意義記作：記作： a的相反向量仍是的相反向量仍是 。00二、向量的減法：二、向量的減法：()abab 2()aa()aaa00BACab設(shè)設(shè),AB b ACa DEb()AEab 又又b BC a 所以所以

24、BCa b ababab他能利用我們學(xué)過的向量的加法法那么作出他能利用我們學(xué)過的向量的加法法那么作出 嗎？嗎？ ()ab 不借助向量的加法法那么他能直接作出不借助向量的加法法那么他能直接作出 嗎？嗎？ a b三、幾何意義：三、幾何意義： 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點指向向量的終點指向向量 的終點的向量的終點的向量ba ba1假設(shè)從假設(shè)從 的終點指向的終點指向 終點作向量，所得向量是什么呢？終點作向量，所得向量是什么呢？ab2當(dāng)當(dāng) ， 共線時，怎樣作共線時，怎樣作 呢？呢？ababABOABOaOA bOB abBA 留意：留意：1起點必需一樣。起點必需一樣。2指向被減向量的終點。指

25、向被減向量的終點。ba普通地普通地abBabbAO三角形法那三角形法那么么a練習(xí)：練習(xí)：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB DB CA ACADBA 三、幾何意義三、幾何意義留意：留意：1起點必需一樣。起點必需一樣。2指向被減向量的終點。指向被減向量的終點。普通地普通地abBabbAO 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點指向向量的終點指向向量 的終點的向量的終點的向量ba ba練習(xí)：練習(xí)：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (6)AO BO (5)OA OB DB CA ACADAB BA 知向量知向量 ，求作

26、向量，求作向量 ， 。ab例例3, , ,a b c d cd abcd OBACDabd c作法：作法：在平面內(nèi)任取一點在平面內(nèi)任取一點O，,OA a ,OB b ,OC c ,OD d 那那么么BAab DCcd 作作留意：留意：起點一樣，銜接終點，指向被減向量的終點。起點一樣，銜接終點，指向被減向量的終點。a b c d 練習(xí)：練習(xí)：ab知向量知向量 ，求作向量，求作向量 。ab,a b 12ab34abbaa b a b a b a b 例例4在在 ABCD 中，中，,ABa ,ADb他能用他能用 表示表示 嗎？嗎？,AC DB DBACabACa b DBa b ,ab變式一變式一

27、本例中，當(dāng)本例中，當(dāng) 滿足什么條件時，滿足什么條件時， 與與 相互垂直？相互垂直？ ,abababab變式二變式二 本例中，當(dāng)本例中，當(dāng) 滿足什么條件時，滿足什么條件時， ,ab?ababab與 互相垂直穩(wěn)定練習(xí)：穩(wěn)定練習(xí)：1 1、在、在 中，中， ， ，那么，那么ABCBCa CAb AB a b bc ab2 2、如圖，用、如圖，用 表示以下向量：表示以下向量：a b c ，DBACEabcg fd e(1) e g (2) f d (3) d g ab c BACab)+=+=+abba( ab )ca( bc向量的減法向量的減法一、定義利用向量的加法定義。一、定義利用向量的加法定義。二

28、、幾何意義起點一樣，由減向量的終點二、幾何意義起點一樣，由減向量的終點 指向被減向量的終點。指向被減向量的終點。向量的概念向量的概念: :向量的表示方法：向量的表示方法：零向量、單位向量概念：零向量、單位向量概念： 平行向量定義：平行向量定義： 相等向量定義：相等向量定義： 共線向量與平行向量關(guān)系：共線向量與平行向量關(guān)系： 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)(1)兩個有共同起點且相等的向量兩個有共同起點且相等的向量,其終點能夠不同其終點能夠不同.(2) (3)假設(shè)非零向量假設(shè)非零向量 共線共線,那么那么(4)四邊形四邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形,那么必有那么必有 = (5)向量向量 平行平行,那么那么 的方向一

29、樣或相反的方向一樣或相反ab與ab=ABDCab與判別以下命題能否正確判別以下命題能否正確, ,假設(shè)不正確假設(shè)不正確, ,請請簡述理由簡述理由. .ab與(6)共線的向量，假設(shè)起點不同，那么終點一定不共線的向量，假設(shè)起點不同，那么終點一定不同。同。 則若若 m m = = n n, ,n n = = k k, ,m m = = k k; ;CAB1 1、位移、位移ABBCAC+= OFEGEGABEOCF1F2FGOCF1F2F為F1與F2的合力它們之間它們之間有什么關(guān)有什么關(guān)系系2 2、力的合成、力的合成F1F2FF1 + F2 = F數(shù)的加法啟發(fā)我們數(shù)的加法啟發(fā)我們, ,從運算的角度看從運

30、算的角度看,AC,AC可以以為是可以以為是ABAB與與BCBC的的和和,F,F可以以為是可以以為是F1F1與與F2F2的和的和, ,即位移即位移, ,力的合成可看作向量的加力的合成可看作向量的加法法. .,abab +已知向量 求作向量向量的加法ab作法1在平面內(nèi)任取一點O OAaAB =(2)作 ,bO Bab 作=+(3 )AB這種作法叫做向量加法的三角形法那么,abab +已知向量 求作向量還有沒有其他的做法？還有沒有其他的做法？向量加法的三角形法那么向量加法的三角形法那么位移的合成可以看位移的合成可以看作向量加法三角形作向量加法三角形法那么的物理模型法那么的物理模型oabABC作法1在

31、平面內(nèi)任取一點OOAa OBb =(2)作 ,O Cab作=+(3 ) 還有沒有其他的做法？還有沒有其他的做法？向量加法的平行四邊形法那么向量加法的平行四邊形法那么這種作法叫做向量加法的平行四邊形法那么力的合成可以看作向力的合成可以看作向量加法的平行四邊形量加法的平行四邊形法那么的物理模型法那么的物理模型o知向量a,b,分別用向量加法的三角形法那么與向量加法的四邊形法那么作出a+babACa b= + AC a b= + ABC(1) 同向ab(2)反向ab00aaa+=+=規(guī)定：ABC,a bab 當(dāng)線時來向 量是 共向 量,又 如 何作 出?判別判別 的大小的大小|abab+與1 1、不共

32、線、不共線aboABb+aba |abab+ab+ababab+| |abab+=+2 2、 共線共線(1)同向(2)反向| |abab+判別判別 的大小的大小|abab+與BCDAa+b+ca+bb+cabcBCDAbabaa+b()()abbaabcabc+=+=+ 數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律,即對恣即對恣意意a,bR,有有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 恣意向量恣意向量a,b的加法能否也滿足交換律的加法能否也滿足交換律與結(jié)合律與結(jié)合律?能否成立？能否成立？根據(jù)圖示填空根據(jù)圖示填空:(1)a+d=_(2)c+b=_ACDBOabcdDA CB DC

33、BAEgefdcab根據(jù)圖示填空根據(jù)圖示填空:(1)a+b=_(2)c+d=_(3)a+b+d=_(4)c+d+e=_cffg例例2 2 長江兩岸之間沒有大橋的地方長江兩岸之間沒有大橋的地方, ,經(jīng)常經(jīng)過輪渡進(jìn)展運輸經(jīng)常經(jīng)過輪渡進(jìn)展運輸. .如下圖如下圖, ,一艘船從長江南岸一艘船從長江南岸A A點出發(fā)點出發(fā), ,以以5km/h5km/h的速度向垂直于的速度向垂直于對岸的方向行駛對岸的方向行駛, ,同時江水的速度為向東同時江水的速度為向東2km/h.2km/h.(1)(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實踐航行的速度試用向量表示江水速度、船速以及船實踐航行的速度( (保保管兩個有效數(shù)字管兩個

34、有效數(shù)字) )解解:(1)CAD船速B 水速船實踐航行速度(2)(2)求船實踐航行的速度的大小與方向求船實踐航行的速度的大小與方向( (用與江水速度間的夾角用與江水速度間的夾角表示表示, ,準(zhǔn)確到度準(zhǔn)確到度).).在在RtABC中中,CADB=2,=5ABBC 22ACABBC 2225 = 295.429 tan,2CAB因為70CAB船實踐航行速度大小約為5.4km/h,方向與水的流速間的夾角為70()()abbaabcabc+=+=+小結(jié)小結(jié)1.向量加法的三角形法那么向量加法的三角形法那么(要點：兩向量首尾銜接要點：兩向量首尾銜接)2.向量加法的平行四邊形法那么向量加法的平行四邊形法那么

35、(要點：兩向量起點重合組成平行四邊形兩要點：兩向量起點重合組成平行四邊形兩鄰邊鄰邊)3.向量加法滿足交換律及結(jié)合律向量加法滿足交換律及結(jié)合律學(xué)習(xí)目的學(xué)習(xí)目的:1、向量的加法運算，及其幾何意義、向量的加法運算，及其幾何意義 2、向量加法的三角形法那么和平行四邊形法那么作兩個向量、向量加法的三角形法那么和平行四邊形法那么作兩個向量 的和向量的和向量 ABC1、位移、位移ABBCAC+= 2、力的合成、力的合成F1F2FF1 + F2 = F 數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看， AC可以以為是可以以為是AB與與BC的和，的和，F(xiàn)可以以為是可以以為是F1與與F2的的和

36、，即位移、力的合成可以看作向量的加法。和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。求兩個向量和的運算，叫做向量的加法. + 已知向量 a , b, 求作向量abab作法1在平面內(nèi)任取一點OoAB= (2)作 OAa ,b=+作(3 ) O BabAB+ 已知向量 a , b, 求作向量ab還有沒有其他的做法？還有沒有其他的做法？首尾相接，首尾連首尾相接，首尾連aboABC作法1在平面內(nèi)任取一點OOB= (2)作 OAa ,b=+(3 ) O Cab作起點一樣，連對角起點一樣，連對角ACab=+ACab=+ABC(1)同向(2)反向ababa+=+=a00a規(guī)定：ABC 當(dāng) 向 量是 共 線 向 量

37、 時又 如 何作 出 來 ?a a , ,b b, ,a a + + b baboABb+aba |abab+ 當(dāng) 向 量不 是 共 線 向 量 時又 如 何作 出 來 ?a a , ,b b, ,a a + + b b|abab一般地，有+數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，即對恣數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，即對恣意意a，bR，有，有a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+a) 恣意向量恣意向量 的加法能否也滿的加法能否也滿足交換律與結(jié)合律？足交換律與結(jié)合律？ 、a b)+=+=+abba(ab)ca (bc練習(xí)：練習(xí)：1.AB BC AC 2.AC CA 04.0AB CD GA EF 證明：3

38、.AB BC CA 0方法與技巧：方法與技巧：5化簡以下各式：化簡以下各式：1.PB OP OB 2.()AB MBBO OM 6.ABCDBC 對于任一四邊形，下列式子中不等于的是（ ）. A BAADDC . B BDDAAC . C ABBDDC . D DCBAAD D.,1baba求作向量已知向量、如圖例ab|;| ,_) 1 (baba時當(dāng)|:|,baba有一般地|;| ,_)2(baba時當(dāng)|).|( | ,_)3(abbaba或時當(dāng)./2,/5,2hkmhkm江水速度為向東的速度行駛以點出發(fā)、一艘船從長江南岸某例;,) 1 (實際航行的速度求小船向行駛?cè)粜〈虼怪睂Π兜姆?,)

39、2(小船實際航行的速度求的方向行駛?cè)粜〈瑢嶋H向垂直對岸最小值各是什么最小值各是什么的最大值和的最大值和則則已知已知|, 6| , 8|baba )+=+=+abba(ab)ca(bc1、以下說法正確的選項是A、數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小.B、方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小.C、向量的大小與方向有關(guān).D、向量的?？梢员容^大小.DDCAB BA aabbAB CD C練習(xí)練習(xí):2:2CDBDACAB化簡) 1 (:0CBBDCDCDCD 解 原式COBOOCOA化簡)2(:()()()0OABOOCCOOAOBBA 解 原式3、判別以下命題能否正確，假設(shè)不正確，闡明理由

40、、判別以下命題能否正確，假設(shè)不正確，闡明理由01 BAAB、OBOAAB、23、相反向量就是方向相反的量、相反向量就是方向相反的量4、假設(shè)、假設(shè) ，那么，那么A、B、C三點是一個三角形的定點三點是一個三角形的定點0CABCABaa 05、 6、兩個向量是互為相反向量，那么兩個向量共、兩個向量是互為相反向量，那么兩個向量共線線 例例3:化簡化簡(1);(2);(3). ABCBABBCDADCMNMPPQ解解(1)AB-CB=AB+(-CB)=AB+BC=AC;(2)AB+BC+DA-DC=AB+BC+CD+DA=AB+BC+DA+CD=.0(3)MN-MP-PQ=MN-(MP+PQ)=MN-M

41、Q=MN+QM=QM+MN=QN.練習(xí)練習(xí) 1化簡：化簡：)()(BDACCDAB0)()(DAADCADCBDABBDCADCABBDACCDAB原式練習(xí)._BC, 5AC, 8AB的取值范圍是則若13BC3ABACABACABAC,ABACBC解：,120| | 3|oABa ADbDABababab 如圖已知向量練習(xí)3:，且，求和120oabADBCO|ba|DB|ba|AC|baDBbaAC3|AB|AD|ABCDADAB，故，由向量的加減法知，故此四邊形為菱形由于，為鄰邊作平行四邊形、解：以120oabADBCO33 3| |sin60322oAODODAD 由于菱形對角線互相垂直平

42、分,所以是直角三角形，33|ba|3|ba|，所以3|AC|ADC60DAC120DABOO是正三角形，則所以，所以因為1.1.向量加法三角形法那么向量加法三角形法那么aAbBCabaaAbBbOCab特點：首尾相接特點：首尾相接特點特點: :共起點共起點b a b Ba ABAab O特點：共起點，連終點，方向指向被減向量特點：共起點，連終點，方向指向被減向量2.2.向量加法平行四邊形向量加法平行四邊形法那么法那么3.3.向量減法三角形法那么向量減法三角形法那么復(fù)習(xí)回想復(fù)習(xí)回想: :實踐背景實踐背景33 ,aa 一一物物體體作作勻勻速速直直線線運運動動，一一秒秒鐘鐘的的位位移移對對應(yīng)應(yīng)向向量

43、量那那么么在在同同方方向向上上 秒秒的的位位移移對對應(yīng)應(yīng)的的向向量量用用表表示示，試試畫畫出出該該向向量量, ,看看看看它它們們有有何何關(guān)關(guān)系系？a3a 思索：知非零向量思索：知非零向量 , 作出作出 和和 , 他能闡明它們的幾何意義嗎？他能闡明它們的幾何意義嗎？ aaaa()()()aaa aBACOaaaNMQPaaaOCOAABBCaaa PNPQQMMNaaa （）（）（）3a 記作 -3a 記作 普通地，我們規(guī)定實數(shù)普通地，我們規(guī)定實數(shù)與向量與向量 的積是一個向量，這種運算的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作叫做向量的數(shù)乘，記作 ，aa|;aa1 12 2當(dāng)當(dāng) 時，時， 的方

44、向與的方向與 的方向一樣；的方向一樣； 當(dāng)當(dāng) 時，時， 的方向與的方向與 的方向相反。的方向相反。aa0aa0特別的，當(dāng)特別的，當(dāng) 時，時，00.a一.向量數(shù)乘的定義它的長度和方向規(guī)定如下：它的長度和方向規(guī)定如下：a3(2 )a3(2 )a6a=abab22ab2a2b2()22abab3 26222 ,()()(), ,(),aaaa babab ( (1 1) )根根據(jù)據(jù)定定義義 求求作作向向量量和和為為非非零零向向量量并并進(jìn)進(jìn)行行比比較較，看看看看它它們們有有何何關(guān)關(guān)系系？( (2 2) )已已知知向向量量求求作作向向量量和和并并進(jìn)進(jìn)行行比比較較，看看看看它它們們有有何何關(guān)關(guān)系系？探探求

45、求設(shè)設(shè) 為實數(shù)，那么為實數(shù)，那么, (1) ()() ;(2)();(3) ().aaaaaabab 特別的，我們有特別的，我們有()()(),().aaaabab 向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算算.對于恣意向量對于恣意向量 ，以及恣意實數(shù)，以及恣意實數(shù) ，恒，恒有有ab ，1212().abab 12, 1()()aa （）3()abab（）2 ()aaa（）2、實數(shù)與向量積的運算律分配律分配律分配律分配律例例1.計算：計算：34322332(1)(2)(3)();()();()().aababaabcabc 13 412( )()aa 原

46、原式式233225( )ababab 原原式式解解:二.例題講解3233252( )abcabcabc 原原式式2 263 ) 3( 342 );3()2(2 ) 4()0 .abcabcxaxaxa bx 計算:(1) （2）已知求141269126abcabc解：（）原式13a2 33244440 xaxaxab（ ）原等式可化為34xab 340 xab整理得練習(xí)練習(xí): :思索思索:0 ().a abba 向向量量與與 共共線線，當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)有有唯唯一一一一個個實實數(shù)數(shù) ，使使向量共線定理向量共線定理(重點重點)abba 問問題題二二：如如果果向向量量 與與 共共線線那那么么，？ab

47、baab 對對于于向向量量 與與 ，以以及及實實數(shù)數(shù)問問題題一一：如如果果那那么么，向向量量 與與 是是否否共共線線？(0)a 例例2.如圖，知恣意兩個向量如圖，知恣意兩個向量 ，試作，試作a b 、2 ,3 .OBab OCab ,OAab 他能判別他能判別A、B、C三點之三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？間的位置關(guān)系嗎？為什么？abab2b3bABCO解解: 2 -() 3 -()2ABOBOAababbACOCOAababb 2ACAB , , ,A B C所以三點共線練習(xí)練習(xí):如圖，知如圖，知AD=3AB，DE=3BC，試判別試判別AC與與AE能否共線。能否共線。A AD DE EC CB

48、 BAEADDE 解：解：333()3ABBCABBCAC .ACAE 與共線ABCMabD, ,.ABCDMABaADba bMA MB MCMD 例3.如圖,的兩條對角線相交與點且你能用表示和111222MCACab 1111()2222MDMBDBabab 1111()2222MAACabab 1111()2222MBDBabab :. ABCDACABADabDBABADab 解 在中() 如圖所示，D是 ABC的邊AB上的中點，則向量CD11221122 BCBABCBAC BCBA BCBA練習(xí)練習(xí):ADCBA課堂小結(jié)課堂小結(jié):(0)a 3334220 ( ) A.ba(a),a,

49、b B.mab,nab,m/n C.a,b ab. D.abcabc1 1. .下下列列各各式式敘敘述述不不正正確確的的是是為為非非零零向向量量 則則共共線線則則若若共共線線, ,則則存存在在唯唯一一的的實實數(shù)數(shù) 使使得得, ,則則練習(xí)練習(xí):C1321123333 ABCDABD=2DB, CD=CA+ C ,( ) A. B. C.- D.-AB2 2. .在在三三角角形形中中, ,已已知知 是是邊邊上上一一點點, ,若若則則A33 ., , , ,( ). . . .oABCDA B Ca b cODAabcB abcC abcD abc已已知知一一點點 到到平平行行四四邊邊形形的的 個個

50、頂頂點點的的向向量量分分別別為為則則向向量量等等于于B4. 知四邊形知四邊形ABCD中，中，E、F分別是分別是AD和和BC的中點，的中點， 求證：求證：12EF(ABDC) 1212124 .e eeeekek 6 6. .設(shè)設(shè) ，是是兩兩個個不不共共線線的的向向量量，而而和和2 2共共線線，求求實實數(shù)數(shù) 的的值值12124 eeeke 解解：向向量量和和2 2共共線線12124 ,()ekeee 存存在在實實數(shù)數(shù)使使得得2 28k 24k 由由向向量量相相等等的的條條件件, ,得得0 ()a a 5 5. .求求已已知知向向量量的的 單單位位向向量量. .1321123333ABCDABD=

51、2DB, CD=CA+ C ,( ) A. B. C.- D.-AB 7 7. .在在三三角角形形中中, ,已已知知 是是邊邊上上一一點點, ,若若則則名師一號名師一號P 79P 79練習(xí)練習(xí):AP91 A組組 9 11作業(yè)作業(yè):思索題:1212124.e eeeekek 2.設(shè) ，是兩個不共線的向量，而和2共線，求實數(shù) 的值12124eeeke 解：向量和2共線1212,(4)ekeee 存在實數(shù)使得28k 24k 由向量相等的條件,得(0)a a 1.求已知向量 的單位向量.例例1計算：計算：34a132ababa2 2332abcabc3 312a5b52abc 例：知向量例：知向量AB

52、AD3BCDE3試判別試判別，AEAC與能否共線。能否共線。ABCDEABDECBCAB 33 BCAB 3AC 3 與與 共線共線 AE ACDEADAE 解：解：1.,R,()(1) 0,0,;(5)0,0,;.2.3 .4 .5aaaaaaaaaaaaaaaABCD 已知則在以下各命題中正確的命題共有與 方向一定相反與 方向一定相同與 是共線向量與方向一定相同與方向一定相反如圖，在恣意四邊形如圖，在恣意四邊形ABCDABCD中，中，E E為為ADAD的中的中點，點，F(xiàn) F為為BCBC的中點，那么的中點，那么2ABDCEF 2.3.1平面向量根本定理平面向量根本定理2.3.2平面向量正交分

53、解及坐標(biāo)表示平面向量正交分解及坐標(biāo)表示普通地普通地, ,實數(shù)實數(shù) 與向量與向量 的積是一個向量的積是一個向量, ,記作記作: : aa(1)(2)當(dāng)當(dāng) 時時, 的方向與的方向與 的方向一樣的方向一樣; 當(dāng)當(dāng) 時時, 的方向與的方向與 的方向一樣的方向一樣;(3)當(dāng)當(dāng) 時時,或或 時時,|;|aa000a0aaaa0a一、數(shù)乘的定義：一、數(shù)乘的定義：它的長度和方向規(guī)定如下它的長度和方向規(guī)定如下:二、數(shù)乘的運算律：二、數(shù)乘的運算律：(2)(2)第一分配律第一分配律: :(1)(1)結(jié)合律結(jié)合律: :(3)(3)第二分配律第二分配律: :aa)()(aaa)(baba )(1. 1. 定理定理: :

54、向量向量 與非零向量與非零向量 共線的充要條件是有共線的充要條件是有且只需一個實數(shù)且只需一個實數(shù) , ,使得使得. . abab三、向量共線的充要條件：三、向量共線的充要條件： 利用向量共線定理，能方便地證明幾何中的三點共線和兩利用向量共線定理，能方便地證明幾何中的三點共線和兩直線平行問題直線平行問題. .但要留意的是但要留意的是: :向量平行和直線平行在重合概念向量平行和直線平行在重合概念上有區(qū)別上有區(qū)別. .普通說兩直線平行不包含兩直線重合普通說兩直線平行不包含兩直線重合, ,而兩向量平行而兩向量平行那么含兩向量重合那么含兩向量重合. . 設(shè)設(shè) 、 是同一平面內(nèi)的兩個不共是同一平面內(nèi)的兩個

55、不共1e2e線的向量，線的向量，a 是這一平面內(nèi)的任一向量，是這一平面內(nèi)的任一向量，1e2e我們研討我們研討 a 與與 、 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。1ea2e研討研討OC = OM + ON =OC = OM + ON =21OA + OBOA + OB11e2e2即即 a = + . a = + .1ea1eA A2eO OaC CB B2eN NM M M MN N平面向量根本定理 一向量 a 有且只需一對實數(shù) 、 使21共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任 假設(shè) 、 是同一平面內(nèi)的兩個不1e2e11ea = + 2e2示這一平面內(nèi)一切向量的一組基底。我們把不共線的向量 、 叫做表1e2e1一

56、組平面向量的基底有多少對？有無數(shù)對思索E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E思索 (2)假設(shè)基底選取不同，那么表示同一 向量的實數(shù) 、 能否一樣？ 21可以不同，也可以一樣O OC CF FM MN NaE E E EA AB BN NOC = 2OB + ON OC = 2OB + ON OC = 2OA + OEOC = 2OA + OEOC = OF + OE OC = OF + OE (1)(1)不共線的向量不共線的向量 叫做這一平面內(nèi)一切向量叫做這一平面內(nèi)一切向量 的一組基底的一組基底; ; 12,e e 平面向量根本定

57、理平面向量根本定理:(4)基底給定時基底給定時,分解方式獨一分解方式獨一.(2)基底不獨一基底不獨一;12e ,e0 假設(shè)假設(shè) 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么那么對這一平面內(nèi)的任一向量對這一平面內(nèi)的任一向量 ,有且只需一對實數(shù)有且只需一對實數(shù) , 使使1 12 2aee12, 12,e e a(3) 任一向量任一向量 都可以沿兩個不共線的方向都可以沿兩個不共線的方向 的的 方向分解成兩個向量方向分解成兩個向量 和的方式；和的方式；a12,e e 1 12 2,ee闡明：闡明：知向量 求做向量-2.5 +3 例1： 、 1e2e1e2e1e2e15 .2e23eO

58、ABC例例2：凸四邊形：凸四邊形ABCD的邊的邊AD,BC的中點分別為的中點分別為E,F, 用用 表示表示1EF(ABDC)2 DABCEFCDAB,EF例例3.3.如圖如圖, , 不共線不共線, , 用用 表示表示OBOA,OBOA,OP)(RtABtAPOPBA(1)OPt OAtOB 變式：變式： 不共線不共線, ,點點P P在在O O、A A、B B所在的平面內(nèi)所在的平面內(nèi), ,且且 求證：求證：A A、B B、P P三點共線三點共線,OA OB (1)()OPt OAtOB tR 311:,.,10khOBkOQOAhOPQPOBOAGABCG求證已知點分別交于點的直線與過點的重心為

59、、設(shè)例 例4、 如圖，知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分別是DC,AB的中點. 請大家動手,在圖中確定一組基底，將其他向量用這組基底表示出來。ANMCDB解析：BC = BD + DC = MN = DN-DM 21=(AN-AD)- DC(ADAB)+DCANMCDBDC = AB =21211e設(shè)AB = ,AD = ,那么有：1e2e41= - .2e1e1e2e1e21= - + = 2141= - - 2e1e1e2e211e- -+ 評析評析 可以在詳細(xì)問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量可以用基底來表示，再利用有關(guān)知識處理問題。向量的夾角向量的夾角)1800( 兩

60、個非零向量兩個非零向量 和和 ，作，作 ，ab,OAa OBb 180 與與 反向反向abOABabOAa0 Bbb AOBab那么那么 叫做向量叫做向量 和和 的夾角的夾角記作記作ab90 與與 垂直，垂直，abOAB ab留意留意:在兩向量的夾角在兩向量的夾角定義中定義中,兩向量必需是兩向量必需是同起點的同起點的 與與 同向同向abOABaba向量的正交分解向量的正交分解121 12212,e eeee e 一個平面向量用一組基底表示成 的形式，我們稱它為向量的分解。當(dāng)互相垂直時，就稱為向量的正交分解。在平面上，假設(shè)選取相互垂直的向量作在平面上，假設(shè)選取相互垂直的向量作為基底時，會為我們研