自感互感及磁能3

1、I1I212.3 12.3 自感互感與磁場能量自感互感與磁場能量 一、自感系數(shù)、互感系數(shù)自感系數(shù)、互感系數(shù)相互靠近的兩組通電線圈相互靠近的兩組通電線圈穿過線圈穿過線圈 1 的磁通鏈的磁通鏈1I2I 21 11 12 22由疊加原理由疊加原理NNN 11111112 當任何一個線圈的形狀、其中的電流或兩線圈的當任何一個線圈的形狀、其中的電流或兩線圈的相對位置再或線圈周圍的環(huán)境（介質(zhì)）發(fā)生變化都會相對位置再或線圈周圍的環(huán)境（介質(zhì)）發(fā)生變化都會在任一線圈中產(chǎn)生感應電動勢。在任一線圈中產(chǎn)生感應電動勢。 I1的磁場過線圈的磁場過線圈 1 的磁通鏈為的磁通鏈為N 111 I2的磁場過線圈的磁場過線圈 1

2、的磁通鏈為的磁通鏈為N 112111dNdt 024IdlrdBr 根據(jù)畢沙定律根據(jù)畢沙定律BI所以所以B dS I定義定義1111 1NL I 112122NM I 同理同理22222NL I 221211NM I L 稱為稱為自感自感系數(shù)系數(shù) self-indutanceM 稱為稱為互感互感系數(shù)系數(shù) mutual induction 實驗也證實了這一點（周圍空間無鐵磁質(zhì)）實驗也證實了這一點（周圍空間無鐵磁質(zhì)）SI單位：亨利（單位：亨利（H）111211ddNNdtdt 美國物理學家美國物理學家亨利亨利在在1830年觀察到自感現(xiàn)象，直年觀察到自感現(xiàn)象，直到到 1832年年7 月才將題為月才將

3、題為長螺線管中的電自感長螺線管中的電自感的論的論文，發(fā)表在文，發(fā)表在美國科學雜志美國科學雜志上。亨利與法拉第是各上。亨利與法拉第是各自獨立地發(fā)現(xiàn)電磁感應的，但發(fā)表稍晚些。強力實用自獨立地發(fā)現(xiàn)電磁感應的，但發(fā)表稍晚些。強力實用的電磁鐵繼電器是亨利發(fā)明的，他還指導的電磁鐵繼電器是亨利發(fā)明的，他還指導莫爾斯莫爾斯發(fā)明發(fā)明了第一架實用電報機。了第一架實用電報機。 亨利的貢獻很大，因未能立即發(fā)表而失去了許多亨利的貢獻很大，因未能立即發(fā)表而失去了許多發(fā)明專利權和發(fā)現(xiàn)優(yōu)先權。但人們沒有忘記這些杰出發(fā)明專利權和發(fā)現(xiàn)優(yōu)先權。但人們沒有忘記這些杰出的貢獻，為了紀念亨利，用他的名字命名了自感系數(shù)的貢獻，為了紀念亨利

4、，用他的名字命名了自感系數(shù)和互感系數(shù)的單位，簡稱和互感系數(shù)的單位，簡稱“亨亨”。 1832年受聘為新澤西學院物理學年受聘為新澤西學院物理學教授，教授，1846年任華盛頓史密森研究院年任華盛頓史密森研究院首任院長，首任院長，1867年被選為美國國家科年被選為美國國家科學院院長。學院院長。 互感系數(shù)這個物理量則描述了兩個線圈或電路互感系數(shù)這個物理量則描述了兩個線圈或電路的磁場互相影響（耦合）的程度。的磁場互相影響（耦合）的程度。1221MMM由對稱性不難理解由對稱性不難理解iiiiLI i = 1，2，ijjMI ij 自感系數(shù)在數(shù)值上等于回路中通過單位電流時自感系數(shù)在數(shù)值上等于回路中通過單位電流

5、時通過自身回路所包圍面積的磁鏈數(shù)。通過自身回路所包圍面積的磁鏈數(shù)。 互感的應用如：變壓器?；ジ械膽萌纾鹤儔浩鳌?互感也有不利的地方，如打電話竄線?；ジ幸灿胁焕牡胤剑绱螂娫捀Z線。 使兩線圈的互感使兩線圈的互感 M 減小的辦法之一，減小的辦法之一，是使兩線圈互相垂直。是使兩線圈互相垂直。自感現(xiàn)象的應用：鎮(zhèn)流器，扼流圈等。自感現(xiàn)象的應用：鎮(zhèn)流器，扼流圈等。自感也有不利的一面自感也有不利的一面 （大電流的電路拉閘時要小心?。ù箅娏鞯碾娐防l時要小心?。?另外，還可以利用自感、互感現(xiàn)象制作感式另外，還可以利用自感、互感現(xiàn)象制作感式傳感器，它們在自動檢測、自動控制過程中有重傳感器，它們在自動檢測、

6、自動控制過程中有重要的作用要的作用二、自感電動勢互感電動勢二、自感電動勢互感電動勢 當電路固定（即線圈大小、形狀、匝數(shù)相對位當電路固定（即線圈大小、形狀、匝數(shù)相對位置、介質(zhì)分布都不變）時，自感、互感系數(shù)都不變置、介質(zhì)分布都不變）時，自感、互感系數(shù)都不變自感電動勢自感電動勢L 互感電動勢互感電動勢M iLiidILdt iMdIMdt jdIMdt 11ddt 1112dddtdt L的存在總是阻礙電流的變化，所以自感電的存在總是阻礙電流的變化，所以自感電動勢是反抗電流的變化動勢是反抗電流的變化,而不是反抗電流本身。而不是反抗電流本身。LdILdt 若若 ，則，則 ， 與與 I 方向相同；方向相

7、同；0dIdt0L L 若若 ，則，則 ， 與與 I 方向相反。方向相反。0dIdt0L L 討論討論 互感系數(shù)在數(shù)值上等于當?shù)诙€回路電流變化互感系數(shù)在數(shù)值上等于當?shù)诙€回路電流變化率為每秒一安培時，在第一個回路所產(chǎn)生的互感電率為每秒一安培時，在第一個回路所產(chǎn)生的互感電動勢的大小。動勢的大小?；ジ邢禂?shù)的物理意義互感系數(shù)的物理意義212dIMdt 21dI dt若若12 M 討論討論 已知：匝數(shù)已知：匝數(shù)N，橫截面積橫截面積S，長度，長度 l ，磁，磁導率導率 試計算長直螺線管的自感。試計算長直螺線管的自感。解：普通物理學教案例題1 ：Sl自感的計算步驟：自感的計算步驟：LH dlIBH SN

8、B dS LI HB LHnIBH SB dS NLI HB LSlNISl 2N ISl 2n V 22NlSl NIl NIl 已知：已知：R1 、R2，求：一無限長同軸傳輸，求：一無限長同軸傳輸線（視為內(nèi)外導體柱殼）單位長度的自感線（視為內(nèi)外導體柱殼）單位長度的自感. 解：普通物理學教案例題2 ：2IHr dB dS RRIldrr 21221ln()2RIlR 0LLldrlrLI II2R1R2IBr 2Ildrr 21ln()2lRR 21ln()2RR 已知：已知： R1 、R2 、h、N。求一矩形截面求一矩形截面的螺繞環(huán)的自感。的螺繞環(huán)的自感。解：普通物理學教案例題3 ：2lH

9、 dlHr NIrNIH 22NIBr dB dS h2R1Rrdr2NIhdrr 2NIdB dShdrr 212RRNIhdrr ln()212RNIhR N LI 221ln()2N IhRR 221ln()2N hRR adbc1L2LI（a）順接）順接adbc1L2LI（b）逆接）逆接自感線圈的串聯(lián)自感線圈的串聯(lián)122L L LM122L L LM 有兩個直長螺線管，它們繞在同一個圓柱面有兩個直長螺線管，它們繞在同一個圓柱面上。已知：上。已知： 0、N1 、N2 、l 、S ， 求互感系數(shù)。求互感系數(shù)。解：普通物理學教案例題4 ：2N1NS0 l2212HB 220202IlNHB

10、202NI Sl 12112N 122MI B dS 2B S22 12 0122N N I Sl 0122N NlSl 22222NHn IIl稱稱K 為耦合系數(shù)為耦合系數(shù) 耦合系數(shù)的大小反映了兩個回路磁場耦合松緊的耦合系數(shù)的大小反映了兩個回路磁場耦合松緊的程度。由于在一般情況下都有漏磁通，所以耦合系數(shù)程度。由于在一般情況下都有漏磁通，所以耦合系數(shù)小于一。小于一。 在此例中，線圈在此例中，線圈1的磁通全部通過線圈的磁通全部通過線圈2，稱為無，稱為無漏磁漏磁。在一般情況下在一般情況下012Mn n V 2101Ln V 21LLM 12MKL L10 K2202Ln V 在磁導率為在磁導率為

11、的均勻無限大磁介質(zhì)中，一無的均勻無限大磁介質(zhì)中，一無限長直載流導線附近放置一限長直載流導線附近放置一N 匝矩形線圈（匝矩形線圈（如圖如圖所示），所示），求它們的互感系數(shù)。求它們的互感系數(shù)。解：普通物理學教案例題5 ：ablIdr設直導線中電流設直導線中電流 I ，矩形線圈平面上的磁鏈數(shù)為矩形線圈平面上的磁鏈數(shù)為sNB dS 2a baINldrr MI ln2NIlaba ln2Nlaba 互感系數(shù)取決于回路的形狀、相對位置及環(huán)境磁導率?；ジ邢禂?shù)取決于回路的形狀、相對位置及環(huán)境磁導率。三、自然定律的類比研究三、自然定律的類比研究我們從另一個角度談談自感問題我們從另一個角度談談自感問題 自感現(xiàn)象

12、表明：當電路中的電流自感現(xiàn)象表明：當電路中的電流發(fā)生變化時，線圈中的自感電動勢反發(fā)生變化時，線圈中的自感電動勢反抗電流的改變?？闺娏鞯母淖?。 既然任一線圈都有反抗電流改變的自感，說明線既然任一線圈都有反抗電流改變的自感，說明線圈中的電流表現(xiàn)出一種圈中的電流表現(xiàn)出一種“慣性慣性”。事實上，要改變線。事實上，要改變線圈中的電流，就必須把線圈接在電源上，用電源電動圈中的電流，就必須把線圈接在電源上，用電源電動勢做功來克服這種勢做功來克服這種“慣性慣性”。在這樣的電路中，電流與線圈兩端電壓的關系在這樣的電路中，電流與線圈兩端電壓的關系dIULdt22d qLdt 22dId qULLdtdt22dvd

13、 xFmmdtdt212mv212LI?牛頓粒子牛頓粒子線圈線圈FUvIxqmvLI（自磁鏈）（自磁鏈）比較比較mL 相同的方程應該有相同的解。這種形式上的對相同的方程應該有相同的解。這種形式上的對比，提供給我們一個比，提供給我們一個可能是可能是正確的信息：正確的信息：212LI應該具有能量的意義應該具有能量的意義 ??？??？ 這種從數(shù)學形式相同出發(fā)進行類比的研究方法這種從數(shù)學形式相同出發(fā)進行類比的研究方法是非常有效的。是非常有效的。 非常有趣的是，物理學中既存在相似定律，也非常有趣的是，物理學中既存在相似定律，也存在相似現(xiàn)象，如存在相似現(xiàn)象，如萬有引力定律萬有引力定律 庫侖定律庫侖定律相似定律

14、相似定律機械振動機械振動 電磁振蕩電磁振蕩相似現(xiàn)象相似現(xiàn)象 當然，這只是相似，并非全同！當然，這只是相似，并非全同！ 類比研究有利于思維聯(lián)想，能夠開拓思路。我類比研究有利于思維聯(lián)想，能夠開拓思路。我們要學會抓住各學科的交叉滲透現(xiàn)象，要從看上去們要學會抓住各學科的交叉滲透現(xiàn)象，要從看上去互不相關的現(xiàn)象中尋找內(nèi)在的聯(lián)系。互不相關的現(xiàn)象中尋找內(nèi)在的聯(lián)系。建議閱讀文獻：建議閱讀文獻：費曼物理學講義費曼物理學講義 第一卷第一卷 25 章章廣義組合倔強系數(shù)廣義組合倔強系數(shù) 物理通報物理通報1986.10因而研究中還要抓住特異點。因而研究中還要抓住特異點。12-4、磁場能量、磁場能量剛才的類比使我們注意到，

15、對于質(zhì)點的動能剛才的類比使我們注意到，對于質(zhì)點的動能212mv212LI有一個類似的量有一個類似的量與之對應與之對應這個量是否就是線圈在通電情況下的某種能量呢？這個量是否就是線圈在通電情況下的某種能量呢？繼續(xù)考查：繼續(xù)考查：電功率電功率eedWPUIdt機械功率機械功率ggdWPF vdt仍有可比性仍有可比性1.自感磁能自感磁能電阻器上消耗的焦耳熱電阻器上消耗的焦耳熱自感線圈獲得的能量！自感線圈獲得的能量！L 仔細考查前面提到的電路，并將電路中的電仔細考查前面提到的電路，并將電路中的電阻集中在電阻器阻集中在電阻器R 上。上。由歐姆定律由歐姆定律LRI電源功率電源功率2LIRII 即即2dWdI

16、RILIdtdt電源做功電源做功200tIWI RdtLIdI2201( )2tIt RdtLI RI 我們知道，當電路中電流從我們知道，當電路中電流從 0 增加到穩(wěn)定值增加到穩(wěn)定值 I0 時，電路附近的空間逐漸建立起一定強度的磁時，電路附近的空間逐漸建立起一定強度的磁場，磁場和電場都是一種特殊形式的物質(zhì)，具有場，磁場和電場都是一種特殊形式的物質(zhì)，具有能量。所以電源反抗自感電動勢所做的功，就在能量。所以電源反抗自感電動勢所做的功，就在建立磁場的過程中轉(zhuǎn)化為磁場的能量。這個能量建立磁場的過程中轉(zhuǎn)化為磁場的能量。這個能量并未消耗，一旦條件許可就能釋放出來轉(zhuǎn)變?yōu)槠洳⑽聪模坏l件許可就能釋放出來轉(zhuǎn)

17、變?yōu)槠渌问降哪芰俊Ｋ问降哪芰俊Ｓ浻?12mWLI自感磁能自感磁能將兩相鄰線圈分別與電源將兩相鄰線圈分別與電源相連，在通電過程中相連，在通電過程中電源所做功電源所做功線圈中產(chǎn)線圈中產(chǎn)生焦耳熱生焦耳熱反抗自感反抗自感電動勢做功電動勢做功反抗互感反抗互感電動勢做功電動勢做功212222112121IMIILILW 自感磁能自感磁能互感磁能互感磁能2.互感磁能互感磁能忽略忽略12M21M1L2L1I2I 為簡單起見，計算兩個分別載流為簡單起見，計算兩個分別載流 I1、I2 的電流的電流回路系統(tǒng)所儲存的磁場能量?；芈废到y(tǒng)所儲存的磁場能量。 設兩個回路的形狀、相對位置、介質(zhì)環(huán)境都不設兩個回路的形狀、相

18、對位置、介質(zhì)環(huán)境都不變，同時忽略線圈中的焦耳熱損耗。在建立磁場的變，同時忽略線圈中的焦耳熱損耗。在建立磁場的過程中，兩回路的電流分別為過程中，兩回路的電流分別為 I1(t )、I2(t )，初始電，初始電流都為零，最終穩(wěn)定為流都為零，最終穩(wěn)定為 I10 、 I20，在這一過程中，在這一過程中，電源做的功轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌瞿芰?。電源做的功轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌瞿芰俊?我們知道，系統(tǒng)的總能量只與系統(tǒng)的最終狀態(tài)我們知道，系統(tǒng)的總能量只與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關，與建立這個狀態(tài)的歷史或方式無關。因而可有關，與建立這個狀態(tài)的歷史或方式無關。因而可以假定開始時兩個回路都是斷路。然后先接通線圈以假定開始時兩個回路都是斷路。然后先接通

19、線圈 1 ，再接通線圈，再接通線圈 2 。 證明證明 先接通線圈先接通線圈 1，使其電流從使其電流從 0 增加增加到到 I10 ， 線圈線圈 1 的的自感磁能自感磁能 211 1012mWL I 然后接通線圈然后接通線圈 2 ，使其電流從零增加到，使其電流從零增加到 I20 。儲存為線圈儲存為線圈 2 的自感磁能的自感磁能2222012mWL I 當線圈當線圈 2 中的電流增大時，在線圈中的電流增大時，在線圈 1 中產(chǎn)中產(chǎn)生互感電動勢生互感電動勢 為了保持線圈為了保持線圈 1 的電源的電源I10不變，線圈不變，線圈 1 電電路中的電源必須反抗互感電動勢作功，轉(zhuǎn)化為路中的電源必須反抗互感電動勢作

20、功，轉(zhuǎn)化為磁場的能量磁場的能量 這是因互感而出現(xiàn)的附加磁能，稱為這是因互感而出現(xiàn)的附加磁能，稱為互感磁能互感磁能。212dIMdt 121210mWI dt 201020IMI dI1020MI I 經(jīng)過上述步驟，兩線圈中的電流分別為經(jīng)過上述步驟，兩線圈中的電流分別為I10 和和 I20時，儲存在磁場中的總磁能時，儲存在磁場中的總磁能 1212mmmmWWWW221 1022010201122L IL IMI I 如果電流如果電流I10 和和 I20在兩個線圈中產(chǎn)生的磁通相在兩個線圈中產(chǎn)生的磁通相互削弱，則總磁能互削弱，則總磁能 221 1022010201122mWL IL IMI I 在建

21、立電流的過程中，電源除了供給線圈中產(chǎn)在建立電流的過程中，電源除了供給線圈中產(chǎn)生焦耳熱的能量和抵抗自感電動勢做功外，還要抵生焦耳熱的能量和抵抗自感電動勢做功外，還要抵抗互感電動勢做功?？够ジ须妱觿葑龉Α５挚够ジ须妱觿葑龅墓榈挚够ジ须妱觿葑龅墓?2AAA10 20120()I IMd I I20102112122100IIMI dIMI dI21 1122I dtI dt 212dIMdt 1020MI I另證另證3.磁場能量磁場能量繼續(xù)類比繼續(xù)類比電容器儲能電容器儲能212CU電感器儲能電感器儲能212LI電場能量密度電場能量密度212ewE 磁場能量密度磁場能量密度212mBw 12D E

22、12H B212eWE d 212mBWd 磁場能量密度：磁場能量密度：單位體積中儲存的磁場能量單位體積中儲存的磁場能量 wm螺線管特例：螺線管特例：2LnHnIBnI 221LIW 222111()222BBnBHn 22111222WBwHBH 12WwdBHd 任意磁場任意磁場12dWwdBHd I 如圖求高頻同軸傳輸線的磁能及自感系數(shù)如圖求高頻同軸傳輸線的磁能及自感系數(shù)解：普通物理學教案例題1 ：2R1Rlrdr高頻電流有趨膚效應，高頻電流有趨膚效應，電流分布在柱表面，電流分布在柱表面，11220 20 rRIBRrRrrR 2drldr 取體積元為薄柱殼取體積元為薄柱殼mmWw d

23、212Bd 212mWLI可得傳輸高頻信號的同軸電纜的自感系數(shù)為可得傳輸高頻信號的同軸電纜的自感系數(shù)為21ln()2RlLR 221ln()4RI lR 再根據(jù)再根據(jù)212mmBWw dd 2121() 222RRIrldrr 計算自感系數(shù)可歸納為三種方法計算自感系數(shù)可歸納為三種方法靜態(tài)法靜態(tài)法:LI LdILdt 221LIW 動態(tài)法動態(tài)法:能量法能量法:前例求輸送穩(wěn)恒電流時同軸電纜的磁能及自感系數(shù)前例求輸送穩(wěn)恒電流時同軸電纜的磁能及自感系數(shù)解：普通物理學教案例題2 ：2R1Rlrdr輸送穩(wěn)恒電流或低頻信號時，輸送穩(wěn)恒電流或低頻信號時，同軸電纜的內(nèi)柱上電流均勻分布。同軸電纜的內(nèi)柱上電流均勻分布。則則11212122 2 2 0 IrrRRIBRrRrrR mmWw d 12120111() 222RIrrldrR 212221() 222RRIrldrr 221221ln()444mRI lI lWR 212mWLI再根據(jù)再根據(jù)22118ln()2