遼寧工業(yè)大學(xué)高數(shù)習(xí)題課-1-2ppt課件

1、第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分習(xí)題課二）習(xí)題課二）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分第二型曲線積分）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分第二型曲線積分）一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念1定義定義 niiiiiiiLyQxPdyyxQdxyxP10 ) ,() ,(lim) ,() ,( 2物理意義物理意義 ABABABQdyPdxjdyidxjQiPrdFW )()(變力變力 沿沿 所作的所作的功功. jyxQiyxPyxF) ,() ,() ,(ABL 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)1線性性質(zhì)：線性性質(zhì)： LrdyxFyxF 21) ,() ,( LLrdyxFrdy

2、xF 2 1) ,() ,( 假設(shè)假設(shè) （方向不變），那（方向不變），那么么21LLL LrdyxF ) ,( 21 ) ,() ,(LLrdyxFrdyxF設(shè)設(shè) 是是 的反向曲線弧，那的反向曲線弧，那么么 LL.) ,() ,( LLrdyxFrdyxF3. 與積分曲線的方向有關(guān)性：與積分曲線的方向有關(guān)性：2可加性：可加性：三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法法（化為定積分計(jì)算）（化為定積分計(jì)算）（1參數(shù)方程：參數(shù)方程： LdyyxQdxyxP ) ,() ,( )()( ),()()( ),(dttttQtttP1直接計(jì)算法：直接計(jì)算法：設(shè)設(shè) 從從 變到變到 ; 那么

3、那么);( ),( :tytxL t 設(shè)設(shè) ; 從從 變到變到 ; 那么那么)( ),( ),( :tztytx t 設(shè)設(shè) 從從 變到變到 ; 那么那么);( :yxL ycd LdyyxQdxyxP ) ,() ,( dcdyyyQyyyP ),()( ),( （2直角坐標(biāo)：直角坐標(biāo)：設(shè)設(shè) 從從 變到變到 ; 那那么么);( :xyL xab LdyyxQdxyxP ) ,() ,( badxxxxQxxP )()( ,)( , .B注注: 下限下限 起點(diǎn)起點(diǎn) 上限上限 終點(diǎn)終點(diǎn),A ) , ,() , ,() , ,(dzzyxRdyzyxQdxzyxP )()( ),( ),(ttttP

4、dtttttRttttQ)()( ),( ),()()( ),( ),( 3利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件計(jì)算法利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件計(jì)算法. LQdyPdx 與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān) 0 cQdyPdx,xQyP Gyx ) ,(單連域單連域.,QdyPdxdu Gyx ) ,(單連域單連域.2格林格林Green公式計(jì)算法公式計(jì)算法. DLdxdyyPxQQdyPdx（注意使用條件！）（注意使用條件?。?（這里（這里 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 的正向邊界曲線的正向邊界曲線) LD，為區(qū)域內(nèi)任意閉曲線，為區(qū)域內(nèi)任意閉曲線. c四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 .)coscos( LLdsQPQ

5、dyPdx 其中其中 為有向曲線弧為有向曲線弧 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切向量的方向角處的切向量的方向角. ,L) ,(yx五、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的解題方法五、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的解題方法4斯托克斯斯托克斯Stokes公式計(jì)算法公式計(jì)算法. coscoscos dSRQPzyxRdzQdyPdx （這里（這里 是有向曲面是有向曲面 的正向邊界曲面的正向邊界曲面) NoLIPdxQdy PQyx 積分與路徑無(wú)關(guān)積分與路徑無(wú)關(guān) 封閉封閉L0I 取特殊曲線取特殊曲線 L 轉(zhuǎn)化為定積分轉(zhuǎn)化為定積分積分與路徑相關(guān)積分與路徑相關(guān) 封閉封閉 L確定確定D 應(yīng)用應(yīng)用Green公式公式 DPQIdxdyxy 對(duì)對(duì)L補(bǔ)上特殊曲

6、線補(bǔ)上特殊曲線 L 在封閉曲線在封閉曲線 上應(yīng)用上應(yīng)用Green公式公式 LL LDPQIdxdyPdx Qdyxy 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為定積分定積分 YesNoYesNoYes解題方法流程圖解題方法流程圖 LIPdxQdy 由上圖可以看出，計(jì)算第二型曲線積分時(shí)，首先要找出函數(shù)由上圖可以看出，計(jì)算第二型曲線積分時(shí)，首先要找出函數(shù) ), ,(yxP) ,(yxQ及積分曲線及積分曲線 然后判斷等式然后判斷等式 是否是否,L,xQyP Dyx ) ,(成立？若上述等式成立，則曲線積分在單連域成立？若上述等式成立，則曲線積分在單連域 內(nèi)與積分路徑內(nèi)與積分路徑D無(wú)關(guān)無(wú)關(guān). 此時(shí)的計(jì)算方法是，看積分曲線此時(shí)的計(jì)算

7、方法是，看積分曲線 是否封閉是否封閉. 假設(shè)假設(shè) 為封為封閉閉LL曲線曲線,則利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)命題，便可知所求積分為零則利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)命題，便可知所求積分為零;. LLQdyPdxQdyPdxI若上式不成立，則曲線積分與積分路徑有關(guān)。此時(shí)的計(jì)算方若上式不成立，則曲線積分與積分路徑有關(guān)。此時(shí)的計(jì)算方法是，看積分曲線法是，看積分曲線 是否封閉是否封閉. 假設(shè)假設(shè) 為封閉曲線為封閉曲線, 則直接利則直接利用用LL假設(shè)假設(shè) 不是封閉曲線不是封閉曲線, 通常采用取特殊路徑的方法如取平行通常采用取特殊路徑的方法如取平行于于L坐標(biāo)軸的折線坐標(biāo)軸的折線 )來(lái)計(jì)算所給積分，即來(lái)計(jì)算所給積分，即

8、L Green公式計(jì)算所給積分，即公式計(jì)算所給積分，即 DLdxdyyPxQQdyPdxI)( 假設(shè)假設(shè) 不是封閉曲線不是封閉曲線, 則計(jì)算方法一般有兩種則計(jì)算方法一般有兩種, 一種是將曲一種是將曲線線L.)( DLLdxdyyPxQQdyPdx再計(jì)算再計(jì)算 最后將兩式相減便得原曲線積分的值最后將兩式相減便得原曲線積分的值,即即, LQdyPdx積分化為定積分來(lái)計(jì)算；另一方法是通過(guò)補(bǔ)特殊路徑積分化為定積分來(lái)計(jì)算；另一方法是通過(guò)補(bǔ)特殊路徑 , 使使 L 與與 構(gòu)成封閉曲線，然后在封閉曲線構(gòu)成封閉曲線，然后在封閉曲線 上應(yīng)用上應(yīng)用GreenL LLL 公式公式, 即即QdyPdxILLL )(六、

9、典型例題六、典型例題【例【例1】計(jì)算曲線積分】計(jì)算曲線積分 其中其中 為曲線為曲線,)()( 2222 LdyyxdxyxIL|1|1xy )20( x沿沿 增大的方向增大的方向.x分析分析 由于由于 故曲線積分與路徑有關(guān)故曲線積分與路徑有關(guān). 又因?yàn)榍€又因?yàn)榍€,xQyP L不是封閉的，按解題方法流程圖，計(jì)算本題有兩種方法：不是封閉的，按解題方法流程圖，計(jì)算本題有兩種方法：一是將第二型曲線積分直接轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算；二是采用一是將第二型曲線積分直接轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算；二是采用補(bǔ)特殊路徑，然后應(yīng)用補(bǔ)特殊路徑，然后應(yīng)用Green公式計(jì)算。本題采用第一種方公式計(jì)算。本題采用第一種方法計(jì)算比較簡(jiǎn)便，這

10、里應(yīng)首先將積分曲線法計(jì)算比較簡(jiǎn)便，這里應(yīng)首先將積分曲線 的方程改寫(xiě)為的方程改寫(xiě)為L(zhǎng),21 ,210 , xxxxy再代入被積函數(shù)中計(jì)算。再代入被積函數(shù)中計(jì)算。解：由于解：由于 所以所以,21 ,210 , xxxxy LdyyxdxyxI 2222)()( 2 1 222 1 221 0 2)()2()2(2dxxxdxxxdxx 2 1 2)2(232dxx.34)2(3232213 x分析分析 本題為沿空間曲線的積分，從所給曲線來(lái)看，可采用參本題為沿空間曲線的積分，從所給曲線來(lái)看，可采用參數(shù)法轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算，這里關(guān)鍵是要正確寫(xiě)出積分曲線的數(shù)法轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算，這里關(guān)鍵是要正確寫(xiě)出積分

11、曲線的參數(shù)方程?？紤]到本題為沿空間平面閉曲線的積分，故又可利參數(shù)方程?？紤]到本題為沿空間平面閉曲線的積分，故又可利用斯托克斯用斯托克斯Stokes公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分計(jì)算。公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分計(jì)算。 【例【例2】 計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分 , 其中其中 為有向閉折線為有向閉折線 ydzdydxI , 這里的這里的 依次為點(diǎn)依次為點(diǎn) 、 、ABCA)0 , 0 , 1(A)0 , 1 , 0(B).1 , 0 , 0(CCBA,解法解法1：化為定積分計(jì)算：化為定積分計(jì)算. 由于由于 CABCABL (如圖如圖)，這里，這里; 0 ,1 , : zxyxxAB; ,1 , 0 :z

12、zzyxBC ;1 , 0 , :xzyxxCA 所以所以 ABydzdydx ; 2)1(1 0 1 dxx從從 變到變到 。10z從從 變到變到 。10 x從從 變到變到 。01x BCydzdydx 1 0 )1()1(dzzzz23)2(1 0 dzz CAydzdydx 111 0 dxxyzo)0 , 0 , 1(A)0 , 1 , 0(B)1 , 0 , 0(C從而從而 ydzdydxI ABBCCAydzdydx )(211232 解法解法2：利用斯托克斯公式計(jì)算：利用斯托克斯公式計(jì)算. 設(shè)設(shè) 為平面為平面 上上 所圍成部分的上側(cè)，所圍成部分的上側(cè)， 1 zyxCABCABL

13、由由Stokes公式，得公式，得為為 在坐標(biāo)面在坐標(biāo)面 上的投影區(qū)域，那么上的投影區(qū)域，那么D; 0, 0, 1 : yxyxDxoy dSyzyxI 11313131 dS31 Ddxdy33121 Ddxdy分析分析 由于由于 , 故曲線積分與路徑有關(guān)。故曲線積分與路徑有關(guān)。xQyP 【例【例3】計(jì)算曲線積分】計(jì)算曲線積分 , 其中其中 LxdyyydxyeI )sin()cos1(為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 的邊界，取逆時(shí)針?lè)较?。的邊界，取逆時(shí)針?lè)较?。xyxsin0 ,0 L又因又因 為封閉曲線如圖）。為封閉曲線如圖）。L且且 、 在在 所圍區(qū)域上滿足所圍區(qū)域上滿足格林公式的條件，故本題可格林公式的條

14、件，故本題可采用格林公式方法來(lái)計(jì)算，采用格林公式方法來(lái)計(jì)算，即采用框圖中線路即采用框圖中線路221的方法。的方法。PQLyx0 xysin L.解解: 令令 ， . 那么那么)cos1(yePx )sin(yyeQx ,sin yeyPx ).sin(yyexQx 即即 由由于于.xQyP .0 ,sin0 : xxyD故利用格林公式，得故利用格林公式，得 DdxdyyPxQI)( Dxdxdyye xxydyedxsin 0 0 ).1(51 e 【例【例4】 計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分 . 其中其中 為為 LyxdyyxdxyxI 22)()(L圓周圓周 （按逆時(shí)針?lè)较蚶@行）（按逆時(shí)針?lè)较蚶@

15、行）.222ayx 分析分析 由于本題積分曲線由于本題積分曲線 為圓周為圓周 , 故可首先寫(xiě)故可首先寫(xiě)L222ayx 出出 的參數(shù)方程，然后將曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算，的參數(shù)方程，然后將曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算，即可采用框圖中線路即可采用框圖中線路223的方法計(jì)算；另外，考慮到積的方法計(jì)算；另外，考慮到積分曲線為封閉曲線，故本題又可利用格林公式計(jì)算，即可分曲線為封閉曲線，故本題又可利用格林公式計(jì)算，即可采用框圖中線路采用框圖中線路221的方法計(jì)算；此時(shí)應(yīng)注意首先要利的方法計(jì)算；此時(shí)應(yīng)注意首先要利用積分曲線方程將被積函數(shù)中的分母化簡(jiǎn)，去掉奇點(diǎn)，使用積分曲線方程將被積函數(shù)中的分母化簡(jiǎn)，去掉奇點(diǎn)

16、，使其滿足格林公式的條件。其滿足格林公式的條件。L解法解法1：化為定積分計(jì)算。：化為定積分計(jì)算。的參數(shù)方程為：的參數(shù)方程為： , 從從 變到變到 . 那么那么L taytaxsincost0 2 LyxdyyxdxyxI 22)()( 2 0 2)sin)(sincos()cos)(sincos(1dttatatatatataa 2)(12 0 22dtaa解法解法2：利用格林公式計(jì)算。：利用格林公式計(jì)算。 設(shè)設(shè) 由所圍區(qū)域?yàn)橛伤鶉鷧^(qū)域?yàn)?,那么那么 ; 于于是是LD222 :ayxD LyxdyyxdxyxI 22)()( Ldyyxdxyxa 2)()(1 Dda)11(12 Dda222

17、22aa .2 分析分析 由例由例3的分析可知，曲線積分與路徑有關(guān)，又因積分曲的分析可知，曲線積分與路徑有關(guān)，又因積分曲接計(jì)算法，即轉(zhuǎn)化為定積分的方法計(jì)算，不難看出沿著路徑接計(jì)算法，即轉(zhuǎn)化為定積分的方法計(jì)算，不難看出沿著路徑 xysin 的積分，被積函數(shù)中含有的積分，被積函數(shù)中含有 和和 的項(xiàng)的項(xiàng),)sin(cos xex)cos(sin xex【例【例5】 計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分 , 其中其中 LxdyyydxyeI )sin()cos1(為曲線為曲線 上從點(diǎn)上從點(diǎn) 到點(diǎn)到點(diǎn) 的一段弧的一段弧.xysin )0 ,( A)0 , 0(OL積分的計(jì)算將是非常困難的。因而，本題采用補(bǔ)特殊路徑，

18、然積分的計(jì)算將是非常困難的。因而，本題采用補(bǔ)特殊路徑，然后應(yīng)用后應(yīng)用Green公式的方法計(jì)算本題，即采用框圖中線路公式的方法計(jì)算本題，即采用框圖中線路222計(jì)算。計(jì)算。線線 不是封閉的，按框圖，計(jì)算本題有兩種方法；但若利用直不是封閉的，按框圖，計(jì)算本題有兩種方法；但若利用直L解解: 補(bǔ)直線段補(bǔ)直線段 : , 從從 變到變到 ; 并設(shè)曲線并設(shè)曲線OAL 0 yx0 LL 所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)?（如圖），則由（如圖），則由Green公式，得：公式，得：D LLxdyyydxye )sin()cos1( DdxdyyPxQ)( Dxdxdyye xxydyedxsin 0 0 )1(51 e又又 0

19、)sin()cos1( Lxdyyydxye故故 dyyydxyeIxLLL)sin()cos1()( 0)1(51 e).1(51 e xy0 xysin LL A.【例【例6】設(shè)】設(shè) 是一條封閉的光滑曲線，方向?yàn)槟鏁r(shí)針，計(jì)算是一條封閉的光滑曲線，方向?yàn)槟鏁r(shí)針，計(jì)算L曲線積分曲線積分 . Lyxxdyydx 224分析分析 因因 , , 那那么么224) ,(yxyyxP 224) ,(yxxyxQ xQyP 由于由于 與與 在原點(diǎn)在原點(diǎn) 處不連續(xù)處不連續(xù), 因而：因而：) ,(yxP) ,(yxQ)0 , 0(（1若給定的曲線若給定的曲線 所圍成的閉區(qū)域不包括原點(diǎn)所圍成的閉區(qū)域不包括原點(diǎn)

20、, 則在則在L)0 , 0(此區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)；（此區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)；（2若給定的曲線若給定的曲線 所圍成所圍成L的閉區(qū)域包括原點(diǎn)的閉區(qū)域包括原點(diǎn) , 那么那么 、 在在 所圍成的閉區(qū)域上不所圍成的閉區(qū)域上不)0 , 0(PQL滿足格林公式積分與路徑無(wú)關(guān)的條件）。此時(shí)，我們可取滿足格林公式積分與路徑無(wú)關(guān)的條件）。此時(shí)，我們可取一條特殊的封閉光滑曲線一條特殊的封閉光滑曲線 ,在在 上應(yīng)用上應(yīng)用Green公式公式,由此由此1L1LL 將將 上的曲線積分轉(zhuǎn)化為上的曲線積分轉(zhuǎn)化為 上的曲線積分上的曲線積分.1LL解：解： 因因 , , 那那么么224) ,(yxyyxP 224) ,(

21、yxxyxQ ,)4(422222yxyxyP .)4(422222yxyxxQ 故故 . xQyP （1若給定的曲線若給定的曲線 圍成的閉區(qū)域不包括原點(diǎn)圍成的閉區(qū)域不包括原點(diǎn) . 由由L)0 , 0(xQyP 知曲線積分知曲線積分 與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān), 故故 . Lyxxdyydx 22404 22 Lyxxdyydx（2若給定的曲線若給定的曲線 所圍成的閉區(qū)域包括原點(diǎn)所圍成的閉區(qū)域包括原點(diǎn) , 則取一條則取一條L)0 , 0(特殊的有向曲線特殊的有向曲線 ( 充分小充分小), 規(guī)定規(guī)定 的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)?2214 : yxL0 1L逆時(shí)針如下圖）。逆時(shí)針如下圖）。設(shè)設(shè) 所圍成的區(qū)域?yàn)樗鶉?/p>

22、成的區(qū)域?yàn)?, )(1LL D則在則在 上應(yīng)用上應(yīng)用Green 公式，得公式，得)(1LL xyL1L0, 0)(41 22 dxdyyPxQyxxdyydxDLL所以所以 . 而而 1 22 2244LLyxxdyydxyxxdyydx 11 2 2214LLxdyydxyxxdyydx Ddxdy212故故 Lyxxdyydx 224或利用參數(shù)方程計(jì)算：令或利用參數(shù)方程計(jì)算：令 : , , 從從 到到 .1L cos x sin2 y 0 2所以所以 1 22 2244LLyxxdyydxyxxdyydx 2 0 2222)cos(sin21d【例【例7】計(jì)算曲線積分】計(jì)算曲線積分 , 其

23、中其中 LyydyexdxxeI 222)1()1(為為 在第一象限沿逆時(shí)針?lè)较虻陌雸A弧在第一象限沿逆時(shí)針?lè)较虻陌雸A弧.L4)2(22 yx解：記解：記 , . 則由于則由于 ,yxeP21 122 yexQxQxeyPy 22 1 222)1()1(Lyydyexdxxe.12)1(0 4 dxx分析分析 本題若直接轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算是比較繁的。我們可以本題若直接轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算是比較繁的。我們可以先看先看 以決定是否用格林公式或其他的方法計(jì)算。以決定是否用格林公式或其他的方法計(jì)算。,yPxQ 則所給積分與路徑無(wú)關(guān)?，F(xiàn)取則所給積分與路徑無(wú)關(guān)?，F(xiàn)取 , 從從 變到變到 ;0 :1 yL40 x LyydyexdxxeI 222)1()1(則有則有七、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的物理應(yīng)用七、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的物理應(yīng)用 求變力沿曲線所作的功：求變力沿曲線所作的功： . ABABQdyPdxrdFW 【例【例8】設(shè)位于點(diǎn)】設(shè)位于點(diǎn) 的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn) 對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn) 的引力大小為的引力大小為)1 , 0(2rkAM（ 為常數(shù)為常數(shù), 為質(zhì)點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn) 對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn) 之間的距離之間的距離), 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)0 kAMrM22xxy 沿曲線自沿曲線自 運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到 .求在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程求在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程)0 ,