上海交通大學概率統(tǒng)計課件43協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

1、 4.4 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題問題 對于二維隨機變量(X ,Y ):已知聯(lián)合分布邊緣分布 對二維隨機變量,除每個隨機變量各自的概率特性外, 相互之間可能還有某種聯(lián)系問題是用一個怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系. ()( )EXE XYE Y數(shù)反映了隨機變量反映了隨機變量 X , Y 之間的某種關(guān)系之間的某種關(guān)系 稱( )( )E XE XY E Y為 X ,Y 的協(xié)方差. 記為 cov( , )( )( )X YE XE XYE Y稱)(),cov(),cov()(YDYXYXXD為（X , Y ）的協(xié)方差矩陣可以證明可以證明 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 為為 半正定矩陣半正定矩陣協(xié)方差和相關(guān)

2、系數(shù)的定義協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義定義定義若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,稱)()(),cov()()()()(YDXDYXYDXDYEYXEXE為X ,Y 的 相關(guān)系數(shù)，記為)()(),cov(YDXDYXXY事實上，),cov(YXXY 若, 0XY 稱 X ,Y 不相關(guān).無量綱 的量 若若 ( X ,Y ) 為離散型，為離散型，11cov(, )()( )ijijijX YxE XyE Y p若若 ( X ,Y ) 為連續(xù)型，為連續(xù)型，cov( , )( )( ) ( , )X Yx E Xy EY f x y dxdy 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計算協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計算q )()()

3、(),cov(YEXEXYEYX)()()(21YDXDYXD求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例例1 1 已知 X ,Y 的聯(lián)合分布為XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 0, D(Y ) 0 時，當且僅當0( )()1P YE Yt XE X時, 等式成立 Cauchy-Schwarz不等式證證 令2( )( )()g tEYE Yt XE X)(),cov(2)(2XDtYXtYD0)(tg對任何實數(shù) t ,0)()(4),(cov42YDXDYX即)()(| ),cov(|2YDXDYX等號成立0)(tg有兩個相等的實零點)()()

4、(),cov(0XDYDXDYXt0)()(20XEXtYEYE0)(0tg即顯然0)()(0XEXtYEYE0)()(0XEXtYEYD1 0)()(0XEXtYEYP10)()(0XEXtYEYP即1)()(0XEXtYEYP即 Y 與 X 有線性關(guān)系的概率等于1, 這種線性關(guān)系為1)()()()(XDXEXYDYEYP完全類似地可以證明)()()(222YEXEXYE當E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 時,當且僅當1)(0XtYP時, 等式成立.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)q q 1|XY1|XYCauchy-Schwarz不等式的等號成立即Y 與X 有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為1XY

5、P. )(/ )(, )(/ )(YDEYYYXDEXXX1XY0),cov(YX1XY0),cov(YX1XYP1XYP如例1中 X ,Y 的聯(lián)合分布為XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1./ )(,/ )(pqpYYpqpXX1)(YXP1XY已求得 , 則必有其中q 0XYX , Y 不相關(guān)0),cov(YX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXDX ,Y 相互獨立X , Y 不相關(guān)若 ( X , Y ) 服從二維正態(tài)分布，X , Y 相互獨立X , Y 不相關(guān)例例4 4 設 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X

6、 + Y , 求 XZ解解, 4)()(, 1)()(YDXDYEXE1/2, cov( , )2XYX Y6),cov(),cov(),cov(YXXXZX12),cov(2)()()()(YXYDXDYXDZD3/ 123/2.XZ作業(yè) 30 31 35 36 若 X , Y 是兩個r.v., 用X 的線性函數(shù)去逼近 Y 所產(chǎn)生的平均平方誤差為2)(baXYE當?。?XEXDYDYEXEaYEbXY)()()()()(平均平方誤差最小.,)(),cov(XDYXa 矩在線性回歸中 的應用附錄附錄附例附例 設 X ,Y 相互獨立, 且都服從 N ( 0, 2), U = aX + bY ,

7、 V= aX - bY , a,b 為常數(shù)，且都不為零，求UV 解解)()()(),cov(VEUEUVEVU)()()()()()(2222YbEXaEYbEXaEYEbXEa由2)()(, 0)()(YDXDYEXE2222)()(YEXE222)(),cov(baVU而22222)()()()(baYDbXDaUD22222)()()()(baYDbXDaVD故2222babaUV a,b 取何值時, U與V 不相關(guān)？此時, U與V 是否獨立？繼續(xù)繼續(xù)討論討論但 UN (0, 2a2 2), VN (0, 2a2 2 ), )()(YXaVYXaU)(21)(21VUaYVUaX)(21),(21|21212121|),(vuavuafaaaavufXYUV若 a = b，UV = 0, 則