2.3--直線-平面垂直的判定及其性質(zhì)-(12月16日

1、【復(fù)習(xí)回顧】【復(fù)習(xí)回顧】1. 線面垂直的定義線面垂直的定義 若直線若直線 l 垂直平面垂直平面 a a 內(nèi)的任意一直線內(nèi)的任意一直線, 則叫則叫 la a.應(yīng)用應(yīng)用:若若 la a, 則則 l 垂直平面垂直平面 a a 內(nèi)的任意一直線內(nèi)的任意一直線.la a,m a a,lm. 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直垂直, 那么這條直線垂直于這個平面那么這條直線垂直于這個平面.符號表示符號表示:laba ala,lb,a a a,b a a,ab, la a.直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的判定定理:由線線垂直得線面垂直由線線垂直得線面垂直

2、.【復(fù)習(xí)回顧】【復(fù)習(xí)回顧】【復(fù)習(xí)回顧】【復(fù)習(xí)回顧】1. 直線和平面所成的角直線和平面所成的角(1) 平面的斜線與平面所成的角平面的斜線與平面所成的角斜線與射影的夾角斜線與射影的夾角(銳角銳角).(2) 平面的垂線與平面所成的角為平面的垂線與平面所成的角為90 .(3) 平面的平行線或在平面內(nèi)的直線與平面的平行線或在平面內(nèi)的直線與 平面所成的角為平面所成的角為0 .【復(fù)習(xí)回顧】【復(fù)習(xí)回顧】2. 求線面角的要點(diǎn)求線面角的要點(diǎn) (1) 找斜線在平面上的射影找斜線在平面上的射影, 確定確定線面角線面角. (2) 構(gòu)造含角的三角形構(gòu)造含角的三角形, 用三角函用三角函數(shù)求解數(shù)求解. 例例2. 如圖如圖,

3、在正方體在正方體 ABCD-A1B1C1D1中中, 求求直線直線 A1B 和平面和平面 A1B1CD 所成的角所成的角.ABCA1B1C1D1D求線面角的要點(diǎn)求線面角的要點(diǎn):(1) 找斜線在平面上的射影找斜線在平面上的射影,確定線面角確定線面角.(2) 構(gòu)造含線面角的三角形構(gòu)造含線面角的三角形,O通常構(gòu)造直角三角形通常構(gòu)造直角三角形.(3) 在三角形中求角的大小在三角形中求角的大小. 2. 過過ABC所在平面所在平面 a a 外一點(diǎn)外一點(diǎn) P, 作作 POa a, 垂足為垂足為 O, 連接連接 PA, PB, PC. (1) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 則則 O 是是

4、AB 邊邊的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 則則 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 PAPB, PBPC, PCPA, 則則 O 是是ABC的的 心心.ABCPOa a解解: (1) 如圖如圖, POa a,則則POA= =POB= =POC= =90 ,又又 PA= =PB= =PC,POA POB POC,得得 OA= =OB= =OC, 又又C= =90 ,直角三角形到三頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)直角三角形到三頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn).中點(diǎn)中點(diǎn) 2. 過過ABC所在平面所在平面 a a 外一點(diǎn)外一點(diǎn) P, 作作 POa a, 垂足為垂足為 O, 連接

5、連接 PA, PB, PC. (1) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 則則 O 是是 AB 邊邊的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 則則 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 PAPB, PBPC, PCPA, 則則 O 是是ABC的的 心心.Oa a解解: (2) 由由(1)得得 OA= =OB= =OC,中點(diǎn)中點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等到三角形三頂點(diǎn)的距離相等外外ABCP的點(diǎn)是三角形的外心的點(diǎn)是三角形的外心. 2. 過過ABC所在平面所在平面 a a 外一點(diǎn)外一點(diǎn) P, 作作 POa a, 垂足為垂足為 O, 連接連接 PA, PB, PC. (1

6、) 若若 PA= =PB= =PC, C= =90 , 則則 O 是是 AB 邊邊的的 . (2) 若若 PA= =PB= =PC, 則則 O 是是ABC 的的 心心. (3) 若若 PAPB, PBPC, PCPA, 則則 O 是是ABC的的 心心.Oa a解解: (3)中點(diǎn)中點(diǎn)外外由由 PAPB, PAPC,得得 PA平面平面PBC,PABC.又由又由 POa a 得得 POBC,于是得于是得 BC平面平面POA, BCAO.同理可得同理可得 ABCO,O 為為ABC的垂心的垂心.垂垂ABCP2.3.22.3.2平面與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定1.兩直線所成角的取值范圍：兩直線所成

7、角的取值范圍：ABa a 1O3.平面的平面的斜線斜線和平面所成的和平面所成的 角的取值范圍：角的取值范圍：2.直線直線和平面所成角的取值范圍：和平面所成角的取值范圍：復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 0o, 90o 0o, 90o （0o, 90o ）1.1.在平面幾何中在平面幾何中 角角 是怎樣定義的？是怎樣定義的？從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角。從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角?；蚧? : 一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做角。一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做角。2.2.在立體幾何中在立體幾何中, ,異面直線所成的角異面直線所成的角 是怎樣定義的？是怎樣定義的？ 直線直線a a、b b是

8、異面直線是異面直線, ,在空間任選一點(diǎn)在空間任選一點(diǎn)O,O,分別引分別引直線直線a /a, b/ b,a /a, b/ b,我們把相交直線我們把相交直線a a 和和 bb所成的銳角所成的銳角 （或直角）叫做異面直線所成的角。（或直角）叫做異面直線所成的角。 3.3.在立體幾何中在立體幾何中, ,直線和平面所成的角直線和平面所成的角 是怎樣定義的？是怎樣定義的？ 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角, , 叫叫做這條直線和這個平面所成的角。做這條直線和這個平面所成的角。 問題問題: :異面直線所成的角、直線和平面所成異面直線所成的角、直線和平面所成

9、的角有什么共同的特征的角有什么共同的特征？結(jié)論結(jié)論: :它們的共同特征都是將三維空間的角它們的共同特征都是將三維空間的角轉(zhuǎn)化為二維空間的角轉(zhuǎn)化為二維空間的角, ,即平面角。即平面角。 攔洪壩攔洪壩水平水平面面二面角二面角1 1半平面定義半平面定義平面的一條直線把平面分平面的一條直線把平面分為為兩兩部分，其中的每一部部分，其中的每一部分都叫做一個分都叫做一個半平面半平面。半平面半平面: :ll2二面角的定義二面角的定義 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做成的圖形叫做二面角二面角，這條直線叫做，這條直線叫做二二面角的棱面角的棱，每個半平，每個半平面叫做面叫做二

10、面角的面二面角的面 棱為棱為l，兩個面分，兩個面分別為別為a a、 的二面角記的二面角記為為 a a-l- l a a l a aAB a a二面角二面角a aAB a al二面角二面角a a l 二面角二面角CAB DABCD5OBAAOB二面角的認(rèn)識二面角的認(rèn)識你從圖中看出了二你從圖中看出了二面角的幾種寫法面角的幾種寫法? 平臥式：平臥式： 直立式：直立式：ABa a ABla a lABa a l3畫二面角畫二面角 怎樣度量二面角的大?。磕芊褶D(zhuǎn)化怎樣度量二面角的大??？能否轉(zhuǎn)化為為兩相交兩相交直線所成的角？直線所成的角？4二面角的大小二面角的大小 l a a 在二面角在二面角a a-l-

11、的的棱棱l上上任取任取一點(diǎn)一點(diǎn)O，如如圖，圖，在半平面在半平面 a a 和和 內(nèi)，從點(diǎn)內(nèi)，從點(diǎn) O 分別作垂分別作垂直于棱直于棱 l 的射線的射線OA、OB，射線，射線OA、OB組成組成AOB則則 AOB 叫叫做做二面角二面角 a a-l- 的平面角的平面角 怎樣度量二面角的大??？能否轉(zhuǎn)化為怎樣度量二面角的大小？能否轉(zhuǎn)化為兩相交兩相交直線所成的角？直線所成的角？ OBAl a a 4二面角的大小二面角的大小 在二面角在二面角a a-l- 的的棱棱l上上任取任取一點(diǎn)一點(diǎn)O，如如圖，圖，在半平面在半平面 a a 和和 內(nèi)，從點(diǎn)內(nèi)，從點(diǎn) O 分別作垂分別作垂直于棱直于棱 l 的射線的射線OA、OB，

12、射線，射線OA、OB組成組成AOB則則 AOB 叫叫做做二面角二面角 a a-l- 的平面角的平面角 怎樣度量二面角的大??？能否轉(zhuǎn)化為怎樣度量二面角的大?。磕芊褶D(zhuǎn)化為兩相交兩相交直線所成的角？直線所成的角？ OO1BAB1l a a A14二面角的大小二面角的大小AOB的大小一定的大小一定 二面角的大小可以用它的二面角的大小可以用它的平面角平面角來來度量即二面角的平面角是多少度，就度量即二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度說這個二面角是多少度二面角的范圍：二面角的范圍： 0o, 180o 二面角的兩個面重合：二面角的兩個面重合： 0o； 二面角的兩個面合成一個平面：二面角的兩個面合成

13、一個平面：180o；4二面角的大小二面角的大小 平面角是直角的二面角叫平面角是直角的二面角叫直二面角直二面角OAB二面角的平面角必須滿足：二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點(diǎn)在棱上角的頂點(diǎn)在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)角的兩邊分別在兩個面內(nèi)10a a lOABa a AOB二面角的平面角二面角的平面角哪個對哪個對?怎么畫才對怎么畫才對?1.定義法定義法 根據(jù)定義作出來根據(jù)定義作出來2.垂面法垂面法 作與棱垂直的平面與作與棱垂直的平面與 兩半平面的交線得到兩半平面的交線得到a a lABO12a a lOAB3.垂線法垂線法AOa a l

14、D歸納：求二面角大小的步驟為：歸納：求二面角大小的步驟為：（1 1）找出或作出二面角的平面角；）找出或作出二面角的平面角；（2 2）證明其符合定義）證明其符合定義(垂直于棱垂直于棱)；（3 3）計算）計算. .問題：問題：如何檢測所砌的墻面和地面是否垂直？如何檢測所砌的墻面和地面是否垂直？5. 平面與平面垂直平面與平面垂直 兩個平面相交，如果它們所成的二兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這面角是直二面角，就說這兩個平面互相兩個平面互相垂直垂直. 平面平面a a與與 垂直，記作垂直，記作a a . a a a a 如果一個平面經(jīng)過了另一如果一個平面經(jīng)過了另一個平面的一條垂線，那么

15、這兩個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直個平面互相垂直.猜想：猜想： 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直條垂線，那么這兩個平面互相垂直l ll l面面垂直的判定定理符號表示：符號表示：a a lABCD線面線面垂直垂直面面面面垂直垂直線線線線垂直垂直例例1、如圖、如圖,AB是是 O的直徑的直徑,PA垂直于垂直于 O所在所在的平面的平面,C是是 圓周上不同于圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn)的任意一點(diǎn),求證求證:平面平面PAC平面平面PBC. 證明證明: :設(shè)已知設(shè)已知OO平面為平面為,PABCaa面面BCPA為圓的直徑又ABBCAC PAA

16、CA=PACBC面PACPBC面面BCPBC面PABCACBC,PAPAC ACPAC面面作業(yè)：作業(yè)：1A是是BCD所在平面外一點(diǎn)，所在平面外一點(diǎn)，AB=AD，ABC=ADC=90，E是是BD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求證：平面求證：平面AEC平面平面ABDDACBE證明證明:(1)在ABC和ADC中，ABC=ADC=90，AB=AD，AC=AC， ABC ADC，于是CB=CD.E是等腰ABD和CBD的底邊BD的中點(diǎn)， BDAE，BDEC. BD平面AEC， BD 平面ABD 平面AEC平面ABD， 練習(xí)練習(xí)(補(bǔ)充補(bǔ)充). 已知已知 PQ 是平面是平面 a a 的垂線段的垂線段, PA 是是平面平面 a a 的斜線段的斜線段, 直線直線 l a. (1) 若若 lPA, 求證：求證：lQA; (2) 若若 lQA, 求證：求證： lPA.a alPQA證明證明: (1)PQa, l a.PQl.若若 lPA, l平面平面PQA.QA 平面平面PQA,lQA. 練習(xí)練習(xí)(補(bǔ)充補(bǔ)充). 已知已知 PQ 是平面是平面 a a 的垂線段的垂線段, PA 是是平面平面 a a 的斜線段的斜線段, 直線直線 l a. (1) 若若 lPA, 求證求證: lQA; (2) 若若 lQA, 求證求證:lPA.a alPQA證明證明: (2)PQa, l a.PQl.若若 lQA, l平面平