數(shù)學(xué)期望E(x)D(x)

1、.第四章數(shù)字特征 引言 . 一、數(shù)學(xué)期望問題：隨機(jī)變量的均值應(yīng)如何定義？例如，甲、乙兩射手，各射擊十次，X,Y分別表示他們射中的環(huán)數(shù)，如表： X甲 8 9 10擊中次數(shù)擊中次數(shù) 3 1 6 P 0.3 0.1 0.6 Y乙 8 9 10擊中次數(shù)擊中次數(shù) 2 5 3 P 0.2 0.5 0.3評價這兩射手的水平？.解：現(xiàn)求在這十次射擊中，平均擊中的環(huán)數(shù)：;3 . 9106101938 X1 . 9103105928 Y 結(jié)果：甲平均擊中的環(huán)數(shù)9.3, 乙平均擊中的環(huán)數(shù)9.1,甲水平較高。 根據(jù)概率的統(tǒng)計定義作分析：擊中次數(shù)Ni與N的比值，是這N次試驗中射中環(huán)數(shù)的頻率，按概率的統(tǒng)計定義，當(dāng)N很大時

2、, Ni/N接近于射中環(huán)數(shù)的概率。. 1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 (1)定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為 PX=xk=pk ，k=1,2,若級數(shù) 絕對收斂，則稱此級數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即 1kkkpx 1)(kkkpxXE注釋 (1)X的期望E(X)是一個數(shù)，它形式上是X的可能值 的加權(quán)平均，其權(quán)重是其相應(yīng)的概率，實質(zhì)上它 體現(xiàn)了X取值的真正平均，為此我們又稱它為X的 均值。因為它完全由X的分布所決定，所以又稱 為分布的平均值。(2)E(X)作為刻劃X的某種特性的數(shù)值，不應(yīng)與各項的排列次序有關(guān)。所以，定義中要求級數(shù)絕對收斂。.例1: 設(shè)有某種產(chǎn)品投放市場，每件產(chǎn)品

3、投放可能發(fā)生三種情況：按定價銷售出去，打折銷售出去，銷售不出去而回收。根據(jù)市場分析，這三種情況發(fā)生的概率分別為0.6，0.3，0.1。在這三種情況下每件產(chǎn)品的利潤分別為10元，0元，15元（即虧損15元）。問廠家對每件產(chǎn)品可期望獲利多少？ 解: 設(shè)X表示一件產(chǎn)品的利潤（單位元），X是隨機(jī)變量，且X的分布律為 X 10 0 -15 P 0.6 0.3 0.1 依題意，所要求的是X的數(shù)學(xué)期望 E(X)=100.6+00.3+(-15)0.1=4.5(元).(2)幾種典型的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 i. X服從參數(shù)為p的(0,1)分布：E(X)=0(1-p)+1p=p； ii. 若XB(n,p),則

4、E(X)=np；證明：X的分布律為 .,.,2 , 1 , 0nkqpCkXPknkkn 00!()!()!nnkkn kkn knkknE Xk C p qkp qknk nkknkqpknknnp11)!( !1!1.)(11111npqpnpqpCnpnnkknkkn X 0 1P 1-p p.iii.若XP()，則E(X)=。 證明：X的分布律為 ,.2 , 1 , 0! kkekXPk !1!)(10 kekekXEkkkk eekekk11!1.2 2連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 (1)定義 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)， 若積分 絕對收斂，則稱此積分的值為隨 機(jī)變量X的數(shù)學(xué)

5、期望，記為E(X)。即 dxxxf)( dxxxfXE)()(.例1若X N(,2)，求E(X)。解：X的概率密度為： 22221)( xexf dxexdxxxfXEx22221)()( ，令令tx .221)(2222 dtedtetXEtt特別地，若XN(0,1)，則E(X)=0。. (1) 幾個常見連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 i.若XU(a,b),則E(X)=(a+b)/2.證：X的概率密度為 ),(0),(1)(baxbaxabxf21)()(badxabxdxxxfXEba ii. 若XN(,2)，則E(X)=。iii.若X服從指數(shù)分布 ，則E(X)=1/。 000)(xxexfx

6、。證證： 1)()(0 dxedxxxfXEx.3.隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理定理 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))， (1) X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為PX=xk=pk ，k=1，2，若 絕對收斂，則有 1kkkpxg 1)()(kkkpxgXgEYE(2) X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為f(x)，若 絕對收斂，則有 dxxfxgXgEYE)()()()(.注釋注釋 A.在計算隨機(jī)變量的函數(shù)Y=g(X)的期望時，我們可以先確定Y=g(X)的分布進(jìn)而計算函數(shù)Y的期望E(Y)。但由前兩章的討論可以看出，確定Y=g(X)的分布并不容易。因此在計算隨機(jī)變量函數(shù)的期望時

7、，我們一般利用定理的結(jié)論去計算。定理的重要意義在于當(dāng)我們求E(Y)時，不必知道Y的分布而只需知道X的分布就可以了。B.在計算一些分布較復(fù)雜甚至難以確定的隨機(jī)變量的期望時，如能將X表示成有限個簡單隨機(jī)變量之和，那么利用期望的性質(zhì)計算就可大大簡化我們的問題。這也是計算期望的一個技巧。.C.上述定理還可以推廣到二個或二個以上隨機(jī)變量的函數(shù)情況。例如，設(shè)Z是隨機(jī)變量X，Y的函數(shù)Z=g(X，Y)(g是連續(xù)函數(shù))，那么，Z也是一個隨機(jī)變量，若二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)則有 dydxyxfyxgYXgEZE),(),(),()( 這里設(shè)上式右邊的積分絕對收斂，又若(X，Y)為離散型隨機(jī)變

8、量。其分布律為 PX=xi,Y=yj=pij , i,j=1,2,. 則有 11),(),()(jijjiipyxgYXgEZE這里設(shè)上式右邊的級數(shù)絕對收斂。.例例設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在在, 0 上服從均勻分布上服從均勻分布, ,)(),(sin),(2XEXEXE及及.)(2XEXE 解解 根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計算公式根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計算公式, , 有有,21)()(0 dxxdxxxfXE01(sin)sin( )sinEXxf x dxxdx ,2| )cos(10 x,31)()(20222 dxxdxxfxXE求求.例例設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在在, 0 上服從均勻分

9、布上服從均勻分布, ,)(),(sin),(2XEXEXE及及.)(2XEXE 解解 根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計算公式根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計算公式, , 有有)(XE)(sin XE,2 ,31)()(20222 dxxdxxfxXE求求,2 .例例設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在在, 0 上服從均勻分布上服從均勻分布, ,)(),(sin),(2XEXEXE及及.)(2XEXE 解解 根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計算公式根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計算公式, , 有有)(XE)(sin XE,2 ,31)()(20222 dxxdxxfxXE求求,2 .122 完完222)( XEXEXE 02

10、12dxx.例1: 有5個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命Xk(k=1，2，3，4，5)服從同一指數(shù)分布，其概率密度為(0) 0001)(/xxexfx 若將這5個電子裝置串聯(lián)工作組成整機(jī)，求整機(jī) 壽命N的數(shù)學(xué)期望； 解: Xk(k=1，2，3，4，5)的分布函數(shù)為 0001)(/xxexFx . (1) 由第三章知N=min(X1,X2,X3,X4,X5)的分布函數(shù)為 5 /5min10( )11( )00 xexFxF xx 因而N的概率密度為 0005)(/5minxxexfx 于是N的數(shù)學(xué)期望為 55)()(0/5min dxexdxxxfNEx.注 對任意的隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望不一

11、定存在。 例如 (1)隨機(jī)變量X的取值為, 2 , 12)1( kkxkkk, 2 , 121 kpkk易驗證 滿足分布律的兩個條件，但, 2 , 121 kpkk 發(fā)散。所以E(X)不存在。 111|)1(|21|2)1( |kkkkkkkkkkkpx (2)隨機(jī)變量X的概率密度為 (柯西分布)。2111)(xxf 發(fā)發(fā)散散。因因為為 0202| )1ln(1112)(|xdvxxdxxfx 所以E(X)不存在。.三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 數(shù)學(xué)期望具有以下幾條重要性質(zhì)(設(shè)以下所遇到的隨機(jī)變量的期望是存在的)：(1) C為常數(shù),則有E(C)=C；(2) 設(shè)X是一個隨機(jī)變量，C常數(shù)，則有E(CX)=C

12、E(X)；(3) 設(shè)X，Y是兩個隨機(jī)變量，則有 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機(jī)變量之和的情況:)()()()(2121nnXEXEXEXXXE -()E XE X ？.(4) 設(shè)X，Y是相互獨立的隨機(jī)變量，則有:E(XY)=E(X)E(Y) 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個相互獨立的隨機(jī)變量之積的情況相互獨立。相互獨立。nnnXXXXEXEXEXXXE,)()()()(212121 (5) 若X0,則E(X)0. 由此性質(zhì)可推得下面性質(zhì): 若XY,則E(X)E(Y)；|E(X)|E(|X|).證：只對連續(xù)型隨機(jī)變量證明(3)和(4)。 設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的

13、概率密度為f(x，y)，其邊緣概率密度為fX(x)，fY(y)。因為 dydxyxfyxYXE),()()( dydxyxyfdydxyxxf),(),()()(YEXE (3)得證。又若X和Y相互獨立，此時f(x,y)=fX(x)fY(y),故有 dydxyfxfxyXYEYX)()()()( dyyyfdxxxfYX)()()()(YEXE .例例一民航送客車載有一民航送客車載有 20 位旅客自機(jī)場開出位旅客自機(jī)場開出, ,旅客有旅客有 10 個車站可以下車個車站可以下車. .如到達(dá)一個車站沒如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車有旅客下車就不停車, , 以以X表示停車的次數(shù)表示停車的次數(shù),

14、, 求求)(XE(設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的, ,并設(shè)各旅客是否下車相互獨立并設(shè)各旅客是否下車相互獨立). .解解 引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量 , 1, 0iX在第在第在第在第ii站沒有人下車站沒有人下車站有人下車站有人下車, ,.10, 2 , 1 i易知易知.1021XXXX .例例14解解 引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量 , 1, 0iX在第在第在第在第ii站沒有人下車站沒有人下車站有人下車站有人下車, ,.10, 2 , 1 i易知易知.1021XXXX 現(xiàn)在來求現(xiàn)在來求).(XE按題意按題意, , 任一旅客不在第任一旅客不在第i站站下車的概率為下車的

15、概率為,10/9因此因此 20 位旅客都不在第位旅客都不在第i站下車的概率為站下車的概率為,)10/9(20在第在第i站有人下車的站有人下車的概率為概率為,)10/9(120 即即,)10/9(020 iXP,)10/9(1120 iXP.10, 2 , 1 i.例例14解解即即,)10/9(020 iXP,)10/9(1120 iXP.10, 2 , 1 i.例例14解解即即,)10/9(020 iXP,)10/9(1120 iXP.10, 2 , 1 i由此由此,)10/9(1)(20 iXE.10, 2 , 1 i進(jìn)而進(jìn)而)()(1021XXXEXE )()()(1021XEXEXE 7

16、84. 8)10/9(11020 (次次). .注注: : 本題是將本題是將X分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和, , 然后利然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來求數(shù)學(xué)期望的和來求數(shù)學(xué)期望的, , 這種處理方法具有一定的普遍這種處理方法具有一定的普遍意義意義.完完.第二節(jié) 方差 例:甲、乙兩射手，各射擊十次，X,Y分別表示他們射中的環(huán)數(shù)，如表： X甲 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 Y乙 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4問哪一個選手技術(shù)較好？ .解：E(X)=9.0；E(Y)=9.0. 但直觀上，他們射擊

17、的水平有差異，甲較穩(wěn)定，相對與E(X)的偏離較小，所以甲的技術(shù)較好。 需要刻劃隨機(jī)變量在其中心位置附近分散程度的大小這一特征，其中最重要的是方差。.二、方差的定義 1定義 設(shè)X是一個隨機(jī)變量，若EX-E(X)2存在，則稱EX-E(X)2為X的方差，記為D(X)或Var(X)，即:D(X)=EX-E(X)2。 注釋：(1)方差是隨機(jī)變量X與其 “中心”E(X)的偏差平方的平均。它表達(dá)了X的取值與其期望值E(X)的偏離程度。若X取值較集中，則D(X)較小，反之，若取值較分散，則D(X)較大。 (2) 應(yīng)用上，常用量 ，稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為(X)= 。 )(XD)(XD.(3) 對任意的隨機(jī)變量

18、D(X)不一定存在，例如 (Cauchy分布)，因為E(X)不存在,所以D(X)不存在。 2111)(xxf 2.方差的計算公式 為離散型為離散型為連續(xù)型為連續(xù)型XpXExXdxxfXExXEXEXDkkk1222)()()()()()1(2) D(X)=E(X2)-E(X)2 證明：D(X)=EX-E(X)2 =E(X2-2XE(X)+E(X)2)=E(X2)-2E(X)E(X)+E(X)2=E(X2)-E(X)2。. X甲 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 Y乙 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4例1甲、乙兩射手的例中， ;4 . 09)()(31212 kkkkkkpxpX

19、ExXD.8 . 09)()(31212 kkkkkkpypYEyYD.例2隨機(jī)變量X的概率密度為 求E(X)，D(X)。 ；：解解021)()(| dxexdxxxfXEx.221)()()(|222 dxexXEXEXDx|21)(xexf .3方差的性質(zhì)假定以下所遇到的隨機(jī)變量的方差存在: (1) 設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0；(2) 設(shè)X是隨機(jī)變量，a是常數(shù)，則D(aX)=a2D(X),從而D(aX+b)=a2D(X)；(3) 設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，則有D(XY)=D(X)+D(Y)； 證:D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2 =E(X-E(X)+(Y-E(Y)2 =E

20、X-E(X)2+EY-E(Y)2 +2EX-E(X)Y-E(Y) . 由于X，Y相互獨立，XE(X)與YE(Y)也相互獨立，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)， 2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X)EY-E(Y)=0 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨機(jī)變量之和的情況。 相互獨立。相互獨立。nniiniiXXXXDXD,)()(2111 (4)D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C，即: PX=C=1.顯然，這里C=E(X)。 .(二)二項分布 設(shè)Xb(n,p),，其分布律為 .,.,2 , 1 , 0nkqpCkXPknkkn 證：令Xi服從參數(shù)為P的(0-1)分布，i=1，2，n， 且X1，X2，Xn相互獨立,則X1+X2+Xn b(n,p)， 于是 E