概率統(tǒng)計常見題型及方法總結(jié)

1、常見大題：1.全概率公式和貝葉斯公式問題B看做“結(jié)果”，有多個“原因或者條件Ai”可以導(dǎo)致B這個“結(jié)果”發(fā)生，考慮結(jié)果B發(fā)生的概率，或者求在B發(fā)生的條件下，源于某個原因Ai的概率問題全概率公式：P(B)=P(A)P(Bla)iii=1貝葉斯公式：P(AlB)=P(A)P(BlA)P(A)P(BlA)iiijjj=1一（12分）今有四個口袋，它們是甲、乙、丙、丁，每個口袋中都裝有a只紅球和b只白球。先從甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再從乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再從丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后從丁口袋中任取一球，問取到紅球的概率為多少？解B表示從第i個口袋放入第i+1個口袋紅球，i

2、=1,2,3,4iA表示從第i個口袋中任取一個球?yàn)榧t球,i2分2分2分2分P(B1)=aa+1baa+=a+ba+b+1a+ba+b+1a+b依次類推二（10分）袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽），在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都出現(xiàn)國徽，問這只硬幣是次品的概率為多少？、解記B=取到次品,B=取到正品,A=將硬幣投擲r次每次都出現(xiàn)國徽5分則p(B)=_,p，p(A|B)=1，Pm+nm+n三、（10分）一批產(chǎn)品共100件，其中有4件次品，其余皆為正品。現(xiàn)在每次從中任取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)后放回，連續(xù)檢驗(yàn)3次，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格。在檢驗(yàn)時，

3、一件正品被誤判為次品的概率為，而一件次品被誤判為正品的概率為。（1）求任取一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為正品的概率；（2）求這批產(chǎn)品被檢驗(yàn)為合格品的概率。解設(shè)A表示“任取一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為正品”,B表示“任取一件產(chǎn)品是正品”,則P（B）=竺,P（B）=,P（AIB）=0.95,P（AIB）=0.01100100（1）由全概率公式得（2）這批產(chǎn)品被檢驗(yàn)為合格品的概率為四、在電報通訊中不斷發(fā)出信號0和1，統(tǒng)計資料表明，發(fā)出0和1的概率分別為和，由于存在干擾，發(fā)出0時，分別以概率和接收到0和1，以的概率收為模糊信號x；發(fā)出1時，分別以概率和收到1和0，以概率收到模糊信號x。（1）求收到模糊信號x的概率；（2）當(dāng)收到

4、模糊信號x時，以譯成哪個信號為好？為什么？解設(shè)A=“發(fā)出信號i”i(i=0,1)，B=“收到信號i”(i=0,1,x)。由題意知iP(州)=0.4,P(BIA)二0.2,x0P(BIA)二0.1。x11）由全概率公式得)P(A)+P(B0xP(B)二P(BIAxx0=0.2x0.6+0.1x0.4=0.16。2)由貝葉斯公式得IA)P(A)114分2分D(DP(BIA)P(A)0.2X0.60753分P(AIB)=x00=0.75，0xP(B)0.16P(AIB)二1-P(AIB)二1-0.75二0.251x0xx3分二、隨機(jī)變量函數(shù)的分布及其邊緣密度及其獨(dú)立性的判斷記住如下知識點(diǎn)：常見分布律

5、和概率密度:一般正態(tài)分布的計算轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布去做：連續(xù)隨機(jī)變量X:二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)：聯(lián)合密度：掌握如下解決隨機(jī)變量函數(shù)分布的解題方法：對于二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度，注意：除了求隨機(jī)變量Z=X+Y的密度函數(shù)用公式：注意：先寫出聯(lián)合密度:f(x,y)，根據(jù)聯(lián)合密度寫出f(x,z-x)f(z-y,y)或者，f(x,z-x)在平面xOz或者yOz上畫出被積函數(shù)不為零的區(qū)域，然后穿線通過區(qū)域確定x的上下限。他的函數(shù)Z=g(X,Y)的概率密度，只能使用分布函數(shù)法其步驟如下：第一步求聯(lián)合密度:，根據(jù)聯(lián)合密度寫出f(x,z-x)f(z-y,y)或者第二步求z的分布函數(shù)：難點(diǎn)是畫出二重積分的積分區(qū)域

6、，然后把二重積分化為二次積分定上下限，畫圖：先畫出被積函數(shù)也就是聯(lián)合密度非零的區(qū)域，再確定區(qū)域g(Xy)-Z與密度非零區(qū)域的重合區(qū)域就是二重積分的積分區(qū)域,穿線定積分限：然后左右穿或者上下穿個積分區(qū)域定內(nèi)限，求出分布函數(shù)第三步求密度函數(shù)：f(z)=F(z)ZZ分析：、設(shè)總體X服從(0,1)上的均勻分布，X1,X2，Xn是來自總體X的一個樣本最大順序統(tǒng)計量X(n)二皿乂X1，X2,),1求隨機(jī)變量X(n)的概率密度;解：Xf(x)=|1,1解八|0,其它0,x0其分布函數(shù)為F(x)=x,0x1而X=max；X,X，,X)的分布函數(shù)為(n)12nf(z)=FQ=nfQin-1fQ)=nzn-1,(

7、0z1)。(1)f(x)=卜f(x,y)dy，X-s當(dāng)xWO時，f(x,y)-0,于疋f(x)=0X當(dāng)x0時，f(x)X=J+se-ydy=e-xx所以X的邊緣概率密度為f(x)二卩-x,x0X0,x00,y0(2)F(y)=11e-y,y其他F(x)=j1e-x,衛(wèi)01)=Df(x,y)dxdy二ex+y14分三、(4分)設(shè)二維隨機(jī)變ft(X.Y)的概率密度為f*金刃%其它.求邊緣密度fx(x)及條件概率P(F0X1/2)四(10分)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求隨機(jī)變量Z=X+2Y的分布函數(shù)。2e-(x+2y)dy=1-e-zze-z當(dāng)z0時，所以Z=X+2Y的分布函數(shù)為3中心極限定理

8、的問題：用正態(tài)分布近似計算共兩類：一類是二項分布的近似計算問題Xb(n，p)近似似N(np,np(1-p)，即n(0,1)np(1-p)這個公式給出了n較大時二項分布的概率計算方法。另一類是除二項分布之外的其他分布的獨(dú)立變量連加和的計算問題，設(shè)X,X，,X，獨(dú)立同分布，Ex)=卩D(X)=60k=1,2,n1X表示任意老鼠個數(shù)，由中心極限定理3分nkk近似有連加和服從正態(tài)分布：、(14分)設(shè)糧倉內(nèi)老鼠的數(shù)目是一個服從泊松分布的隨機(jī)變量，且倉內(nèi)無鼠的概率為e-2。1) 寫出隨機(jī)變量的分布律；2) 試用中心極限定理計算，在200個同類糧倉內(nèi)老鼠總數(shù)超過350只的概率。1)X兀(2)P(X350)=

9、PX-200x2.200x2350-200x2)0,i=1,n,即minx0.i1i0.求0和y的最大似然估計量。設(shè)x,x，,x是X,X，,X的樣本值,12n12n則似然函數(shù)xy,i=1,2,，n,ii=1L=Hf(x;0,y)=0_ne_0乙x_y)ii=1y(i=1,2,n)時，lnL=_nln0工(x_y),令0ii=1dlnLn門顯然，第二個等式是矛盾等式，所以由上述似然方程求不出0和y.由于運(yùn)=0,這表明L是y的嚴(yán)格遞增函數(shù)，注意到y(tǒng)0是未知參數(shù)。設(shè)X,X，,X為總體X的樣本。12n（1）求參數(shù)a的最大似然估計量a；（2）判斷a是否為a的無偏估計量。解設(shè)X1，&是X1，b,Xn的觀測

10、值，則似然函數(shù)為12o丿n丄另lx.Iea,=1UL=11ea2ai=1InL=一nIn2-nInai=1dlnL一n1n令=0，得一+乙aa2i=1daix.i=0，解得a=n工ixnii=1a的最大似然估計量為&=-X|X|nii=1(2)由于e（a）=n刀eqx）=a，“是.的無偏估計量。i=1五（10分）設(shè)電池的壽命服從指數(shù)分布，其概率密度為其中00為未知參數(shù)，今隨機(jī)抽取5只，測得壽命如下:1150，1190，1310，1380，1420求電池的平均壽命0的最大似然估計值。1丄乙解似然函數(shù)L（0）二e00nlnL(0)=一nln00ii=13分令dXlnL(0)=一0+右為xi=0得i

11、=12分0八二X二5（1150+1190+1310+1380+1420）二1290六、設(shè)總體X的概率密度為2分其中a-1是未知參數(shù)設(shè)X,X，,X為總體X的樣本求參數(shù)的矩估計量12n和最大似然估計量.解矩估計且A=-X=X，令lnii=lA=卩11從而a的矩估計量最大似然估計設(shè)x,x，,x是X,X，,X的樣本觀測值，則似然函數(shù)為12n12nL=M(a+1)xa=(a+1)n(打i=1axi=1J取對數(shù)得InL=nIn(a+1)+aEInx,i=1dlnLn令=0，得+daa+1i=1解得i=1所以，a的最大似然估計量為工InXii=1-1七、.設(shè)總體X的分布律為PX=1=02,Px=2=20(1

12、-0),PX=3=(1-0匕X3=1求參數(shù)0的矩估計值和其中0為未知參數(shù)?，F(xiàn)抽得一個樣本：x1=1x2=2,極大似然估計值。解E(X)=02+40(1-0)+3(1-0)2=3-20由E(X)=x,即3-20=4，得參數(shù)0的矩估計值為0=6主要利用性質(zhì)：nn+1的分布。解XN(p,02),XN4,n+1，且X與X相互獨(dú)立，所以n+1Xn+1XN0,X(+lXN(0,1)o(n+1)/n由于-x2(n1),2且XX與S2相互獨(dú)立，因此由t分布的定義得n+1獨(dú)立正態(tài)分布的線性組合還是正態(tài)分布三大分布的定義：例題分析：一、設(shè)X,X，X是正態(tài)總體XN（卩Q2）的樣本,12n1n1.試問一為（X卩）2服

13、從什么分布（指明自由度）？O2ii=1Xj_HN(0,1)且獨(dú)立，丄工(X卩)2=E(Xi-H)2X2(n)2ii=1i=1c(X+X)22假定卩=0，求p2的分布。(XX)212X+XN(0,22)XXN(0,22)1212X+XXXX+XXXhN，證明S12,S；都是o2的無偏估計量；（2）判斷S12,S；中哪一個估計量更有效.)FN(0)(h)2x，(h)2x(二)2/1又(警I?和(警乙)2相互獨(dú)立，故(X1+X2)2=-XtXF(1)64(X1-X2)2(X1+52)2/12o二.設(shè)X,X，,X,X是來自正態(tài)總體N（P,02）的樣本，分別記X,S2為12nn+1XxX1,b,Xn的樣

14、本均值和樣本方差求Y=十S2=1工(X4)2,1nii=1S2=丄工(XX)2.2n1ii=1利用卡方分布：四設(shè)X,X，X是來自正態(tài)總體N(PQ2)的樣本，記Y=1(X+X),1291616Y=1(X+X+X)，S2二1(X-Y)2,求統(tǒng)計量Z二回二2的分布?237892i2Si=7五、設(shè)XN2),X,X，X為X的樣本，求統(tǒng)計量工X2i毛1的分布.工X2ii=4六、設(shè)總體XN(0,b2),X,X,X,X,X是X的樣本，統(tǒng)計量12345Y=a(X+X)2+b(X-X-X)2，(ab豐0)12345服從咒2分布，求參數(shù)a,b的值和Y的分布的自由度。由XN(0,b2)，得且相互獨(dú)立，即等N(0,1)

15、,XXXN(0,1),且相互獨(dú)立。于是1且相互獨(dú)立。所以當(dāng)a=茹,13b2時,該分布的自由度為2。假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計的題目類型：記住正態(tài)總體的抽樣分布定理，弄懂上分位數(shù)的含義，在密度曲線圖上用分位數(shù)給出各個分布的大概率1-區(qū)域和小a概率區(qū)域能夠從圖上用分位數(shù)標(biāo)出各種分布的雙側(cè)小概率區(qū)域和單側(cè)小概率區(qū)域已知方差只1分X+僉ISs方差/未知，（2）a;=a；=（72|光口乜(77十一債2(幵_)V?Vn1（10分）某工廠生產(chǎn)銅線，根據(jù)長期積累的數(shù)據(jù)知，銅線的折斷力服從正態(tài)分布，方差為b2=16。今從某天生產(chǎn)的銅線中隨機(jī)抽取10根，測得折斷力如下:28928628528428628528528629

16、8292，問該天生產(chǎn)的銅線折斷力與以往比較，其波動性有無顯著變化？G二0.05）檢驗(yàn)假設(shè)H0:b2二16H1:a2豐16,(n-1)S2/1、統(tǒng)計量X2=，則當(dāng)H0為真時，X2X2(n-1)，a200拒絕域?yàn)閄2/2(n-1)。i_aa122(n-1)S2170.4現(xiàn)在X2=10.65，0.05,a2160X2(n-1)二X2(9)二19.023,X2(n-1)二X2(9)二2.7,a0.025a0.97522由于2.710.65u（n-1）a曲a算得Iu|z=2.5750.005接受H3(10分)某化工廠一天中生產(chǎn)的化學(xué)制品產(chǎn)量(單位：噸)服從正態(tài)分布，今測得5天的產(chǎn)量分別為785，805，

17、790，790，802。問是否可以認(rèn)為日產(chǎn)量的均值顯著小于800？(取a=0.05)解假設(shè)H:800,H:卩80001檢驗(yàn)統(tǒng)計量t=X-8005分shjn拒絕域t2.1318，接受H04.X,X，X是來自正態(tài)總體N12n(卩2)的樣本，其中參數(shù)卩和b2均未知，對于參數(shù)卩的置信度為1-a的置信區(qū)間，試問當(dāng)a減少時該置信區(qū)間的長度如何變化？答：則的置信度為1a的置信區(qū)間X2t(n-1)na2置信區(qū)間的長度L=2StJna2(n-1)，當(dāng)樣本容量給定時，減小a的值會增大相應(yīng)地L=蘭rt(n-1)變長。：na25、(10分)某燈泡生產(chǎn)車間為考察燈泡的壽命，從生產(chǎn)的一批燈泡中隨機(jī)抽取25只，測得平均壽命

18、x=1980小時，標(biāo)準(zhǔn)方差S2=3600小時。假設(shè)燈泡的壽命X服從正態(tài)分布N(卩Q2)，(1)求總體方差b2的置信水平為95%的置信區(qū)間；(2)在顯著性水平a=0.05條件下能否認(rèn)為這批燈泡的平均壽命為2000小時？解(1)a=0.05，n=25，咒2(n-1)=12.401，咒2(n-1)=39.364。1-a/2a/2b2的置信水平為95%的置信區(qū)間為(2)在檢驗(yàn)水平為5%的條件下檢驗(yàn)假設(shè)H:r=2000，H:卩H200001選取檢驗(yàn)統(tǒng)計量X-2000S/4n當(dāng)原假設(shè)H0時,X-2000S/4nt(n-1)；該假設(shè)檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)橛蓷l件得t(n-1)=t(24)=2.0639a/20.025由于t=1.6667F(n1,n1)或F=F(n1,n1)S2a/212S21a/21222由條件知查表得F(n1,n1)=F(7,8)=3.50，a/2120.05顯然F(n1,n1)F=0.75F(n1,n1)1a/212a/212接受原假設(shè)H0：12=；，故可認(rèn)為12=；，即認(rèn)為兩總體方差相等也就是兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的指標(biāo)X的方差無顯著性差異.求卩1-巴的置信區(qū)間。由知12=2，但其值未知，故m的i置信區(qū)間為計算查表1n+n212S2=(廠】