第三講 連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的微分與積分

1、隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組1.2 1.2 連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的微分和積分連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的微分和積分 實(shí)際中，經(jīng)常涉及到隨機(jī)過程的微分和積分問題。實(shí)際中，經(jīng)常涉及到隨機(jī)過程的微分和積分問題。對(duì)于通常函數(shù)而言：這些運(yùn)算即是極限運(yùn)算。對(duì)于通常函數(shù)而言：這些運(yùn)算即是極限運(yùn)算。對(duì)于隨機(jī)過程而言：這涉及到隨機(jī)變量序列的極限和收斂對(duì)于隨機(jī)過程而言：這涉及到隨機(jī)變量序列的極限和收斂 問題，這些極限都是在均方意義下定義的。問題，這些極限都是在均方意義下定義的。為了討論隨機(jī)過程的微分和積分，首先討論隨機(jī)過程的連續(xù)性。為了討論隨機(jī)過程的微分和積分，首先討論隨機(jī)過程的連續(xù)性。1隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教

2、學(xué)組組2一一 隨機(jī)過程的連續(xù)性隨機(jī)過程的連續(xù)性 1 確定函數(shù)連續(xù)性定義：確定函數(shù)連續(xù)性定義：對(duì)于確定性函數(shù)對(duì)于確定性函數(shù) ，若若)(xf000lim ()()0 xf xxf x 則則 在在 處連續(xù)。處連續(xù)。)(xf0 x隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組32 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 連續(xù)性定義連續(xù)性定義 如果隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程 滿足滿足 )(tX)(tX0)()(lim20tXttXEt則稱則稱 在均方收斂意義下在在均方收斂意義下在t點(diǎn)連續(xù)。點(diǎn)連續(xù)。簡(jiǎn)稱隨機(jī)過程簡(jiǎn)稱隨機(jī)過程 在在t點(diǎn)均方連續(xù)。點(diǎn)均方連續(xù)。)(tX)(tX隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組43 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 的的相關(guān)函數(shù)相

3、關(guān)函數(shù)連續(xù)，則連續(xù)，則 連續(xù)。連續(xù)。)(tX)(tX2()( ) (,)( ,)(, )( , )XXXXE X ttX tRtt ttRt ttRtt tRt t 因此，如果對(duì)因此，如果對(duì) 時(shí)刻，函數(shù)時(shí)刻，函數(shù) 在在 點(diǎn)上連續(xù)，則隨機(jī)過程點(diǎn)上連續(xù)，則隨機(jī)過程 必在必在 t點(diǎn)上連續(xù)。如果點(diǎn)上連續(xù)。如果 沿著沿著 處處處處 連續(xù)，則隨機(jī)過程連續(xù)，則隨機(jī)過程 對(duì)于每個(gè)對(duì)于每個(gè)t都是連續(xù)。都是連續(xù)。 21,tt),(21ttRXttt21)(tX),(21ttRX12tt)(tX隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組54 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 均方連續(xù)，則其數(shù)學(xué)期望連續(xù)。均方連續(xù)，則其數(shù)學(xué)期望連續(xù)。 )(

4、tX證證2222YEYEYEY)()()()(22tXttXEtXttXE由均方連續(xù)的定義可知，當(dāng)由均方連續(xù)的定義可知，當(dāng) ，則不等，則不等式左端趨于式左端趨于0，那么不等式的右端也必趨于，那么不等式的右端也必趨于0。（均值的平方不可能小于（均值的平方不可能小于0） 0 t)()(tXttXY設(shè)設(shè)隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組6即：即： 0)()()()(tXEttXEtXttXE 注意注意 為確定性函數(shù)，由前面知識(shí)可為確定性函數(shù)，由前面知識(shí)可知連續(xù)。知連續(xù)。 )(tXE)(lim)(lim00ttXEttXEtt可將此結(jié)果寫成可將此結(jié)果寫成表明：表明：求極限和數(shù)學(xué)期望的次序可以交換。求

5、極限和數(shù)學(xué)期望的次序可以交換。隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組7二二 隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù) 預(yù)備知識(shí)：預(yù)備知識(shí)： 對(duì)于一般確定性函數(shù)，高等數(shù)學(xué)給出的對(duì)于一般確定性函數(shù)，高等數(shù)學(xué)給出的可導(dǎo)定義如下：可導(dǎo)定義如下： 一階可導(dǎo)：一階可導(dǎo)： 如果如果 存在，則存在，則 在在 t 處可導(dǎo)，記為處可導(dǎo)，記為 。 0( )()( )( )limtdf tf ttf tftdtt )(tf)(tf 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組8二階可導(dǎo)：二階可導(dǎo)： hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(lim00 存在，則存在，則 二階可導(dǎo)，記為二階可導(dǎo)，記為 。 ),(tsft

6、stsf ),(2如果如果隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組91 隨機(jī)過程可導(dǎo)的定義隨機(jī)過程可導(dǎo)的定義 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 的導(dǎo)數(shù)定義為一個(gè)極限：的導(dǎo)數(shù)定義為一個(gè)極限：)(tX0( )()( )( )tdX tX ttX tX tlimdtt 如果這個(gè)極限對(duì)于過程如果這個(gè)極限對(duì)于過程 的所有樣本函數(shù)的所有樣本函數(shù)都存在，那么都存在，那么 具有導(dǎo)數(shù)通常的意義。具有導(dǎo)數(shù)通常的意義。 如果這個(gè)極限在均方意義下存在，稱如果這個(gè)極限在均方意義下存在，稱 具具有均方意義下的導(dǎo)數(shù)。有均方意義下的導(dǎo)數(shù)。)(tX( )X t)(tX隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組10如果隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程 滿足滿足 (

7、)X t0)( )()(lim20tXttXttXEt則稱則稱 在在t時(shí)刻具有均方倒數(shù)。時(shí)刻具有均方倒數(shù)。)(tX隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組112 判別方法判別方法 0)()()()(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt)()()()(222221111ttXttXttXttXE),(),(),(),(1),(),(),(),(1),(),(),(),(1221211212211212222222222222211111111111121tttRtttRttRttttRtttttRtttRttRttttRttttRtttRttRttttRtXXXXXXXXX

8、XXX 判斷一個(gè)隨機(jī)過程是否均方可微的方判斷一個(gè)隨機(jī)過程是否均方可微的方法是采用柯西準(zhǔn)則，即法是采用柯西準(zhǔn)則，即 而而隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組12若若 時(shí)，存在二階混合偏導(dǎo)時(shí)，存在二階混合偏導(dǎo)12ttt21212( ,)XRt ttt 則則122111222,012222121212121212()( )()( )lim() ( ,)( ,)( ,)20ttXXXX ttX tX ttX tEttRttRttRtttttttt 隨機(jī)過程在均方意義下可微隨機(jī)過程在均方意義下可微(可導(dǎo)可導(dǎo))的的充分條件充分條件：相關(guān)函數(shù)在它的自變量相等時(shí)，存在二階混合偏相關(guān)函數(shù)在它的自變量相等時(shí)，存在

9、二階混合偏導(dǎo)數(shù)且連續(xù)，即存在導(dǎo)數(shù)且連續(xù)，即存在 2121212),(ttXttttR 隨機(jī)過程存在導(dǎo)數(shù)，首先該過程必須是連續(xù)的，但隨機(jī)過程的隨機(jī)過程存在導(dǎo)數(shù)，首先該過程必須是連續(xù)的，但隨機(jī)過程的連續(xù)性不能保證過程有導(dǎo)數(shù)。連續(xù)性不能保證過程有導(dǎo)數(shù)。隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組133 數(shù)字特征數(shù)字特征 (數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望和和相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)) 隨機(jī)過程導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于其數(shù)學(xué)隨機(jī)過程導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于其數(shù)學(xué)期望的導(dǎo)數(shù)，即期望的導(dǎo)數(shù)，即 )()(tXEdtddttdXE證明：證明： 000( )()( )lim()( )lim()( )lim( )( )ttXXtXXdX tX ttX tE

10、EdttX ttX tEtmttmttdmtmtdt 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 連續(xù)性連續(xù)性隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算次序可以交換。隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算次序可以交換。隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組14 隨機(jī)過程導(dǎo)數(shù)的相關(guān)函數(shù)，等于可微（可導(dǎo)）隨機(jī)過程導(dǎo)數(shù)的相關(guān)函數(shù)，等于可微（可導(dǎo)）隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù) 212121212( , )( , )( )( )XXRt tRt tE X t X tt t 證明：證明： 12121211122212012011122201201122122112120120()( )()( )( )( )lim

11、.()( )()( )lim.(,)( ,)(, )( , )limttttXXXXttX ttX tX ttX tE X t X tEttX ttX tX ttX tEttR tt ttR t ttR tt tR t tt t 21212( , )XR t tt t 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組15例例 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 、相關(guān)函數(shù)、相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào) 。 求隨機(jī)信號(hào)求隨機(jī)信號(hào) 的均值和相關(guān)函數(shù)。的均值和相關(guān)函數(shù)。 ( )5sinXmtt2210.5()12( , )3ttXRt te( )X t( )( )Y tX t( ) ( )( )5cosdX tdE Y tEE X

12、 ttdtdt221222121220.5()121212120.5()0.5()221212( , )( , )3() 331 ()ttXYttttRt tR t tet tt ttteettt 解解隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組16三三 隨機(jī)過程的積分隨機(jī)過程的積分 1 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí) 對(duì)于確定性函數(shù)對(duì)于確定性函數(shù) ，)(xf01( )lim()nbiiaif x dxfx其中其中 1,max,1,2,.,iiiixxxxin隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組17 給定實(shí)隨機(jī)過程給定實(shí)隨機(jī)過程 ，若在確定區(qū)間，若在確定區(qū)間 上每個(gè)樣本函數(shù)下列積分存在上每個(gè)樣本函數(shù)下列積分存在則稱

13、則稱Y為隨機(jī)過程為隨機(jī)過程 的積分。的積分。 由于對(duì)每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果由于對(duì)每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果 ，積分都可以，積分都可以得到一個(gè)數(shù)得到一個(gè)數(shù) ；但對(duì)不同的；但對(duì)不同的 ，積分值，積分值是不同的，于是對(duì)于所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，是不同的，于是對(duì)于所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，Y是是一個(gè)隨機(jī)變量。而對(duì)于每個(gè)樣本函數(shù)，此積一個(gè)隨機(jī)變量。而對(duì)于每個(gè)樣本函數(shù)，此積分是通常意義下的積分。分是通常意義下的積分。 在更一般的情況下，在更一般的情況下， 的積分并不的積分并不對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè) 都存在，此時(shí)需要換一種方式都存在，此時(shí)需要換一種方式來定義。來定義。( )X t, a b( )X tbadttXY)( )Y( , )Xt隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)

14、信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組182 隨機(jī)過程積分的定義隨機(jī)過程積分的定義 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 在確定區(qū)間在確定區(qū)間 上的積分上的積分Y是一個(gè)隨機(jī)變量，即是一個(gè)隨機(jī)變量，即 ( )X t, a bbadttXY)( 若有若有 0)(lim120niiitttXYEi則稱則稱 為隨機(jī)過程為隨機(jī)過程 在在 上的均方積分。上的均方積分。01( )lim( )inbiiatiYX t dtX tt , a b( )X t隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組193 數(shù)字特征數(shù)字特征(數(shù)學(xué)期望、均方值、方差、相關(guān)函數(shù)數(shù)學(xué)期望、均方值、方差、相關(guān)函數(shù)) 隨機(jī)過程積分的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)過程隨機(jī)過程積分的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)過

15、程數(shù)學(xué)期望的積分。數(shù)學(xué)期望的積分。 0101 ( )( )( )( )( )nbiiainbiiaibXaE YEX t dtE limX ttlimE X ttE X t dtmt dt 證明證明：隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組20 隨機(jī)過程積分的均方值等于隨機(jī)過程自隨機(jī)過程積分的均方值等于隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的二重積分。相關(guān)函數(shù)的二重積分。211221212121212121212( )( )( )( )( )( )( )( )( , )bbaabbaabbaabbaabbXaaE YEX t dtX t dtEX t X t dt dtE X t X tdt dtE X t X td

16、t dtRt t dt dt 證明：證明：隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組21222121211221212121212 ( , )( )( )( , )( )( )( , )YbbbbXaaaabbXXXaabbXaaE YE YRt t dt dtE X tdtE X tdtRt tmt mtdt dtKt t dt dt 隨機(jī)過程積分的方差等于隨機(jī)過程協(xié)方差隨機(jī)過程積分的方差等于隨機(jī)過程協(xié)方差的二重積分。的二重積分。 證明：證明：隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組22 給定實(shí)隨機(jī)過程給定實(shí)隨機(jī)過程 ( )X t( )( )taY tXd為隨機(jī)過程為隨機(jī)過程 在區(qū)間在區(qū)間 的變上限積

17、分。的變上限積分。, a t( )X t隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組2311( )( )taY tXd22( )( )taY tXd1212121212( , ) ( ) ( )( )()( )()( ,)ttYaattaattXaaR t tE Y t Y tEXdXdE XXd dRd d 隨機(jī)過程積分的相關(guān)函數(shù)等于對(duì)隨機(jī)過程的隨機(jī)過程積分的相關(guān)函數(shù)等于對(duì)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)作兩次變上限積分（先對(duì)相關(guān)函數(shù)作兩次變上限積分（先對(duì)t1, 后對(duì)后對(duì)t2積分）積分） 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組24例例 隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào) ，其中，其中V是均值為是均值為5，方，方 差為差為1的隨機(jī)變量

18、。新的的隨機(jī)信號(hào)的隨機(jī)變量。新的的隨機(jī)信號(hào) 均值、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和方差。均值、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和方差。3( )cos2tX tVet0( )( )tY tXd解解 5, 1E VD V222 1 526E VD VE V ( )X t均值和方差為：均值和方差為：333( )( )cos2 cos2 cos2tttXmtE X tE Vetet E Vet121212331212123()3()21212( , )( )( )cos2cos2 cos2 cos226cos2 cos2ttXttttRt tE X t X tE Vet Vetett E Vett隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組25( )Y t的均值：的均值：300( )( )5cos2ttYXm tmded （分部積分兩次）（分部積分兩次） 35( )(2sin23cos2 )313tYmtett的相關(guān)函數(shù)：的相關(guān)函數(shù)：(