復(fù)變函數(shù)第四版(第三章)

1、第第3 3章章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分BzzzzzAnkk,1101 1 復(fù)變函數(shù)的積分定義復(fù)變函數(shù)的積分定義 定義：設(shè)函數(shù) w=f(z) 定義在區(qū)域D內(nèi)，C為區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線，把曲線C任意分成n個(gè)弧段，設(shè)分點(diǎn)為:.1kkkzzz這里.)()( )(,111knkkkknkknkzfzzfS并作和式點(diǎn)在每個(gè)弧段上任意取一.)(,.)(lim)(:.)(,1cnkkkcnnkdzzfCzfdzzfCzfSCn則積分記作為閉曲線如果記作的積分沿曲線為函數(shù)那么稱該極限值有唯一極限的取法如何及的分法如果不論對趨于零時(shí)且無限增加當(dāng).max,11knkkkkszzs的長度

2、記ABkz1yx0ck連續(xù)，的曲線上在逐段光滑設(shè)函數(shù)Cyxivyxuzf),(),()( .f z dzc則必存在連續(xù)，連續(xù)),(),()(yxvyxuzf存在與CCudyvdxvdyudx( )Cf z dz存在.2 2 復(fù)積分存在的一個(gè)充分條件：復(fù)積分存在的一個(gè)充分條件：復(fù)積分的計(jì)算方法：復(fù)積分的計(jì)算方法： ,ccf zu x yiv x yzxiy dzdxidyf z dzuivdxidyccudxvdyivdxudy ,f x ty tz t dt一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)二型線積分一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)二型線積分 12123,CCCf z dzf z dzf z dzCCC4( )

3、( )( )CCCf z dzf zdzf z dsML( )( ),f zCf zM LC(若在 上有界：為 的長度.)1 線性性： CCCdzzgbdzzfadzzbgzaf)()()()()(為常數(shù)、baCC2 設(shè)為 的逆向曲線，則CCdzzfdzzf)()(3 3 復(fù)積分的性質(zhì)復(fù)積分的性質(zhì) ：例題1 .Cz dz計(jì)算(1):Cii 的直線段；（2）C：左半平面以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針方向的單位半圓周。解（1） :11zit t 線段的參數(shù)方程為 ,dzidtzitt10111011()22Cz dzt idtitdttdtii （2）參數(shù)方程為3,22ize,1iidzie dze33222

4、22iiCz dzie dei ii可見積分與路徑有關(guān)。. 0) 1(213zzdz例題2 ),Z()(I0nzzdzCn計(jì)算積分0:0rzzC解： 0:(02 ),iCzzreidzire d20)(Iniiredire21101i nniedr0,1,2,1.ni n例如 1zzdz,2 i例題3 2,Cz dz計(jì)算iC 如圖所示：解：1:,0, :11Czx yx 112212;3Cz dzx dx 2:,:0iCze1C2C112220iiCz dzeie d330012.33iii ede 可見，積分僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),而與路徑無關(guān)。例題4 ,811Cdzzz證明:12.Cz證明：

5、CCdzzzdzzz1111Cdzz21122CzdzCdz28 .2222222CCCz dzxydxxydyixydxxydyMNMN()yxyxMNuv yxyxMNvu定理1（Cauchy-Goursat） 如果函數(shù) f (z)在單連通域D內(nèi)處處解析, 則它在D內(nèi)任何一條封閉曲線 C 的積分為零: 注1：定理中的曲線C可以不是簡單曲線. 此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域D。cdzzf. 0)( 注2：如果曲線C是D的邊界, 函數(shù) f (z)在D內(nèi)與C上解析, 即在閉區(qū)域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D內(nèi)解析, 在閉區(qū)域D+C 上連續(xù), 則 f (z)在邊界上的積分仍然有推論

6、： f z dzc則與路徑無關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。cdzzf. 0)(如果函數(shù) f (z)在單連通域D內(nèi)處處解析, C屬于D，柯西-古薩基本定理還可推廣到多連通域: 假設(shè)C及C1為任意兩條簡單閉曲線, C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù) f (z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析, 在邊界上連續(xù)，則C1CDAB定理定理2 (復(fù)合閉路定理)ccdzzfdzzf1.)()(證明：取1CAB CBA 1CABCBA10CC11CCC 這說明解析函數(shù)沿簡單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。-閉路變形原理閉路變形原理推論（復(fù)合閉路定理）：為簡單閉曲線設(shè)nCCC,21(互不包含且互不相交)， 的簡單閉曲

7、線，為包含nCCCC,21nCCCCD21為由邊界曲線所圍成的多連通區(qū)域， 內(nèi)解析，在Dzf)(則上連續(xù)在,DD0)(dzzfCiCD.)()(1niccidzzfdzzf例題121,Cdzz求C 如圖所示：i3ii解： 存在 f (z)的解析單連通域D包含曲線 C ，故積分與路徑無關(guān)，僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)?；?,0,20, 30, 3111iiCiidzdzzz 11433iii .3411131322itiidttdzc現(xiàn)設(shè)z=it，t從-3變化到1，例題2 求C為包含0與1的任何正向簡單閉曲線。解： 21111zzzz現(xiàn)分別以z=0,1為圓心,在C內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1與

8、C2.C1C2C01cdzzz210220ii021222111cccdzzzdzzzdzzz2211111111ccccdzzdzzdzzdzz練習(xí)：計(jì)算積分3.)2)(1(1zdzzz解：現(xiàn)分別以z=1,2為圓心,在C內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2.由復(fù)合閉路定理知：21321)2)(1(1)2)(1(1)2)(1(1IIdzzzdzzzdzzzcczidzzdzzdzzzIccc21121)2)(1(11111idzzdzzdzzzIccc21121)2)(1(12222. 022)2)(1(1213iiIIdzzzzDC0z0,zD設(shè)若 f (z) 在D內(nèi)解析，則000

9、( )( )ddCz zf zf zzzzzzz閉路變形原理 00fzfz 00001()d2().z zf zzif zzz 分析：分析：cdzzzzf0)(在上節(jié)的基礎(chǔ)上,我們來進(jìn)一步探討如下積分: 定理定理 (柯西積分公式柯西積分公式) 如果如果 f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, C為為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線, 它的內(nèi)部完它的內(nèi)部完全含于全含于D, z0為為C內(nèi)的任一點(diǎn)內(nèi)的任一點(diǎn), 則則001( )()d .2Cf zf zzizz 12Cfor f zdiz -解析函數(shù)可用復(fù)積分表示。).(2)(00zifdzzzzfc 證證 由于由于f

10、(z)在在 z0連續(xù)連續(xù), 任給任給e e 0, 存在存在 (e e) 0, 當(dāng)當(dāng) |z z0| 時(shí)時(shí), | f (z) f (z0)| e e. 設(shè)以設(shè)以 z0為中心為中心, R 為半徑為半徑的圓周的圓周K : |z z0|=R全部在全部在C的內(nèi)部的內(nèi)部, 且且R .DCKzz0R00( )( )ddCKf zf zzzzzzz0000()( )()ddKKf zf zf zzzzzzz000( )()2()dKf zf zif zzzz 00( )()dKf zf zzzz d2.KsRee 00|( )()|d|Kf zf zszz 002Cf zdzif zzz ).(2)(00zif

11、dzzzzfc從而有:例題1 計(jì)算.cos1izdzizz解： 因?yàn)閒(z)=cosz在復(fù)平面上解析,又-i在 內(nèi),所以 1 iz1)cos(2cos2cosiziziizidzizz).(1eei例題2 計(jì)算.1sin22zdzzz解：方法1 因?yàn)閒(z)=sinz在復(fù)平面上解析,又-1,1均在 內(nèi),所以 2z222)1sin1sin(211sinzzdzzzzzdzzz221sin211sin21zzdzzzdzzz11sin221sin221zzzizi.1sin2 i解：方法2 利用復(fù)合閉路定理,分別以-1,1為圓心,作兩個(gè)互不相交互不包含的圓周C1，C2211sin1sin1sin2

12、222cczdzzzdzzzdzzz.1sin1sin11sin1sin1211izzizdzzzzdzzzzcc.1sin1sin211sin1sin1222izzidzzzzdzzzzcc.1sin21sin22idzzzz練習(xí) 計(jì)算.111122zdzzz解： 因?yàn)楸环e函數(shù)在 內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn),所以 11 z112112211111zzdzzzzdzzz.211212izziz例題3 CzrrzCdzzzze)2 , 1(:)2)(1(計(jì)算積分解： , 10 rCzdzzzze)2)(1(izzeizz0)2)(1(21C2C3C01232) 1(32Czdzzzzeiei2) 1(232

13、zzzzeiieiieiei3322, 21 r21CC21)2(Czdzzzzei1)2(2zzzzeiiiei32, 2r321CCC 一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù), 而且有各高階導(dǎo)數(shù), 它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示. 這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同. 一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo), 它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說它有高階導(dǎo)數(shù)存在了.定理定理 解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù), 它的n階導(dǎo)數(shù)為:( )010!( )()d(1,2,)2()nnCnf zfzznizz 其中C為在函數(shù) f (z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞 z0的任何一條正向簡單曲線, 而且它的內(nèi)部全含于D. )

14、(!2)()(0)(10cnnzfnidzzzzf證 設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn), 先證n=1的情形, 即 因此就是要證0000( )()()lim,zf zzf zfzz按定義0.z 在時(shí)也趨向于零0201( )()d2()Cf zfzzizz 0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz 按柯西積分公式有001( )()d .2Cf zf zzizz 001( )( )d2Cf zf zzzizzz 0000( )()1( )d2()( )Cf zzf zf zzzizzzzz 因此0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz 20001( )1( )

15、dd2()2()( )CCf zf zzzizzizzzzz2001( )d2() ( )Czf zzIizzzzz 現(xiàn)要證當(dāng)z0時(shí)I0, 而2001( )d|2() ( )Czf zzIzzzzz 2001| |( )|d2| | |Czf zszzzzz f (z)在C上連續(xù), 則有界, 設(shè)界為M, 則在C上有| f (z) | M. d為 z0 到C上各點(diǎn)的最短距離, 則取 |z| 適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M足 |z| 1.CzCzzzzzd)1(e)2;d)1(cos)1225解 1) 函數(shù) 在C內(nèi)的z=1處不解析, 但cosz在C內(nèi)卻是處處解析的. 5) 1(coszz.12)(cos)!15(

16、2d)1(cos51)4(5|izizzzzC222)(1)zCedzz 12CC212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeizei22)()(2)41sin(2 i12CCC2C1C.)1(23532cdzzzz練習(xí): 求下列積分的值, 其中C為正向圓周: | z | = 2.解： )!13()235(2)1(2351232 zczzidzzzz.10i因?yàn)閦=1在 | z | = 2包圍的區(qū)域D內(nèi)，又f（z）=5z2-3z+2在復(fù)平面上解析.)2)(1(13cdzzzz練習(xí): 求下列積分的值, 其中C為正向圓周: | z | = 3/2.解：由于在 | z | = 3/2內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)z=0,z=-1，分別分別以0,-1為圓心,作兩個(gè)互不相交互不包含的圓周C1，C2)2)(1