10-1級數(shù)37018ppt課件

1、第十章第十章 級數(shù)級數(shù) 主要內(nèi)容無窮級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要主要內(nèi)容無窮級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要的工具，它包括常數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)的工具，它包括常數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)兩部分兩部分.本章先討論常數(shù)項級數(shù)，而后在函本章先討論常數(shù)項級數(shù)，而后在函數(shù)項級數(shù)中將重點介紹冪級數(shù)和數(shù)項級數(shù)中將重點介紹冪級數(shù)和Fourier傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù). 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞 級數(shù)級數(shù)(series)； 收斂收斂(convergence)； 發(fā)散發(fā)散 (divergence)；冪級數(shù)；冪級數(shù)(power series)； Fourier級數(shù)級數(shù) (Fourier series)10.1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的概

2、念和性質(zhì) 10.2 正項級數(shù)的審斂法正項級數(shù)的審斂法10.3 交錯級數(shù)交錯級數(shù) 絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂 10.4 冪級數(shù)冪級數(shù)10.5 函數(shù)展成冪級數(shù)函數(shù)展成冪級數(shù)10.7 Fourier 級數(shù)級數(shù)10.1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 10.1.1 收斂與發(fā)散的概念收斂與發(fā)散的概念 設(shè)有無窮常數(shù)項數(shù)列設(shè)有無窮常數(shù)項數(shù)列 nu，即，即,1u,2u,3u,nu把該數(shù)列的各項依次加起來，即把該數(shù)列的各項依次加起來，即 1u2u3unu(10.1)或簡寫為或簡寫為 ,1nnu稱為常數(shù)項級數(shù)，簡稱為級數(shù)稱為常數(shù)項級數(shù)，簡稱為級數(shù). 其中其中 ,1u,2u,3u,nu都稱為

3、級數(shù)的項都稱為級數(shù)的項. 稱為級數(shù)的第稱為級數(shù)的第n項或一般項項或一般項. nu設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù)(10.1)的前的前n項和項和為為，即，即nuuus21的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列 1nnu 有極限有極限s,s,即即 則稱該級數(shù)收斂，并且稱則稱該級數(shù)收斂，并且稱s s是這個級數(shù)的和，是這個級數(shù)的和，niinnuuuus121.ns稱為級數(shù)的部分和稱為級數(shù)的部分和, ,部分和構(gòu)成的數(shù)列記成部分和構(gòu)成的數(shù)列記成 .nsns)(1nnu定義定義10.1 若級數(shù)若級數(shù) ns,limssnn若部分和數(shù)列若部分和數(shù)列 沒有極限，稱級數(shù)沒有極限，稱級數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散. 1nnu當(dāng)級數(shù)當(dāng)級數(shù) 收斂于收斂于s時，可

4、用時，可用sn作為作為s的近似值的近似值.其其差差 1iinnnussr稱為級數(shù)的余項稱為級數(shù)的余項. 例例1 討論幾何級數(shù)也稱等比級數(shù)）討論幾何級數(shù)也稱等比級數(shù)） .1211nnnaqaqaqaaq的收斂性是收斂或者發(fā)散），這的收斂性是收斂或者發(fā)散），這里里, 0aq為公比為公比. 解解 1q時，時，qqaaqaqaqasnnn1)1 (.121 1 0limqqqnn由于由于1qqasnn1lim，此時級數(shù)收斂于，此時級數(shù)收斂于.1qa時，時，1qnnslim，此時級數(shù)發(fā)散，此時級數(shù)發(fā)散. 時，時，nnnsnaslim ,，此時級數(shù)發(fā)散，此時級數(shù)發(fā)散. 1q時，時， 1q時，級數(shù)為時，級數(shù)

5、為.aaaa為奇數(shù)）為偶數(shù)）nansn.(.(0sn無極限，級數(shù)發(fā)散。無極限，級數(shù)發(fā)散。1q時，時，級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于;1qa1q時，級數(shù)發(fā)散。時，級數(shù)發(fā)散。綜上，綜上，例例2 證明級證明級數(shù)數(shù) 231311181851521nn收斂，并求其和收斂，并求其和. 解解 )23(131nnun)231131(31nn ns 231311181851521nn)231131()11181()8151()5121(31nn)23121(31n.61)23121(31limlimnsnnn。級數(shù)收斂，其和為。級數(shù)收斂，其和為 .61例例3 證明調(diào)和級證明調(diào)和級數(shù)數(shù)是發(fā)散的是發(fā)散的. 證明證明 是數(shù)列是

6、數(shù)列nnn131211111該級數(shù)的每項為正數(shù)，部分和數(shù)列該級數(shù)的每項為正數(shù)，部分和數(shù)列 增加的，前增加的，前 m2項的和項的和ns嚴(yán)格單調(diào)嚴(yán)格單調(diào))81716151()4131(2112ms)221221121(1111mmmm21m.2limmsm2msns的子列，的子列， 調(diào)和級數(shù)發(fā)散調(diào)和級數(shù)發(fā)散. ns發(fā)散發(fā)散.從而從而例例4 證明證明證明證明 19 . 0. 10900. 0009. 009. 09 . 09 . 0nnn)101(91這是幾何級數(shù)，公比這是幾何級數(shù)，公比 101q109a，首項 利用例利用例1的結(jié)論知該級數(shù)收斂于的結(jié)論知該級數(shù)收斂于 11011109，即 . 19

7、. 0.10.1.2 收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 若級數(shù)若級數(shù) 1nnu收斂于和收斂于和s, 則級數(shù)則級數(shù) 1nnku且和為且和為ksk為常數(shù)）為常數(shù)）. 也收斂，也收斂，證明證明 記記 1nnu 1nnku 和和的部分和分別為的部分和分別為 ns,n nnks 與與那那么么lim,nnss limlimnnnnksks 于是級數(shù)于是級數(shù) 1nnku因因那那么么也收斂，也收斂，且和為且和為ks.級數(shù)的每一項同乘以或除以一個非零常數(shù)后得到級數(shù)的每一項同乘以或除以一個非零常數(shù)后得到的新的級數(shù)，與原來級數(shù)有相同的收斂性的新的級數(shù)，與原來級數(shù)有相同的收斂性. . 性質(zhì)性質(zhì)2 2 若

8、級數(shù)若級數(shù) 1nnu 1nnv 與與都收斂，其和分別記為都收斂，其和分別記為 A與與B，則級數(shù)，則級數(shù) 1()nnnuv 也收斂，且和為也收斂，且和為A AB. B. 證明證明 記級數(shù)記級數(shù) 1,nnu 1,nnv 1()nnnuv 的部分和分別的部分和分別 記為記為,nns ,nc和和,nnncs 那那么么lim,nnsA lim,nnB 由于由于于是于是lim.nncAB 級數(shù)級數(shù)1()nnnuv 收斂，和為收斂，和為A AB.B.即即 111().nnnnnnnuvuv 性質(zhì)性質(zhì)2 2說明：說明：收斂級數(shù)可以逐項相加或減）；收斂級數(shù)可以逐項相加或減）；一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)相加或減得

9、到的一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)相加或減得到的新的級數(shù)一定發(fā)散新的級數(shù)一定發(fā)散. . 性質(zhì)性質(zhì)3 3 在級數(shù)中，去掉有限項，加上有限項或者在級數(shù)中，去掉有限項，加上有限項或者改變有限項，都不會改變級數(shù)的收斂性改變有限項，都不會改變級數(shù)的收斂性. . 性質(zhì)性質(zhì)4 4 若級數(shù)若級數(shù) 1nnu 收斂，則對該級數(shù)的項堅持收斂，則對該級數(shù)的項堅持原來的順序任意添加括號后得到的新級數(shù)仍收斂，原來的順序任意添加括號后得到的新級數(shù)仍收斂，并且和不變并且和不變. .證明證明 記級數(shù)記級數(shù) 1nnu 的部分和為的部分和為,ns不失一般性，假設(shè)不失一般性，假設(shè)按以下方式添加括號得到新的級數(shù)為：按以下方式添加括號得到新

10、的級數(shù)為：11121212()()nnnnuuuuuu 1112()kkknnnuuu 設(shè)加括號后的級數(shù)的部分和為設(shè)加括號后的級數(shù)的部分和為 ,kA,kknAs 那那么么kAns即即是是的一個子數(shù)列的一個子數(shù)列. . 由于由于 kA收斂，收斂， 則其子列則其子列 ns收斂，收斂，limlim.knknAs 且且即加括號后的新級數(shù)收斂，且和不變即加括號后的新級數(shù)收斂，且和不變. . 性質(zhì)性質(zhì)4 4說明：收斂級數(shù)可以隨意加括號，且加括號說明：收斂級數(shù)可以隨意加括號，且加括號的級數(shù)仍收斂于原來級數(shù)的和；但是帶括號的級數(shù)的級數(shù)仍收斂于原來級數(shù)的和；但是帶括號的級數(shù)收斂，卻不能斷定去括號后的級數(shù)也收斂收

11、斂，卻不能斷定去括號后的級數(shù)也收斂. . 性質(zhì)性質(zhì)4 4的逆否命題是正確的：若加括號所成的級數(shù)的逆否命題是正確的：若加括號所成的級數(shù)發(fā)散，則原來的級數(shù)必發(fā)散發(fā)散，則原來的級數(shù)必發(fā)散. . （1-11-1）+ +（1-11-1）+ +（1-11-1）+ + 收斂于零收斂于零1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+ 是發(fā)散的是發(fā)散的. .收斂，收斂，那那么么lim0.nnu 證明證明性質(zhì)性質(zhì)5 5級數(shù)收斂的必要條件）級數(shù)收斂的必要條件）若級數(shù)若級數(shù)1nnu 1nnu 的部分和為的部分和為,ns記記且且lim.nnss 當(dāng)當(dāng)2n 時，時，1,nnnuss 1limlim()nnnnnuss

12、1limlimnnnnss 0.ss 注意：該性質(zhì)的逆命題是不成立的，即級數(shù)一般注意：該性質(zhì)的逆命題是不成立的，即級數(shù)一般項項的極限為零，并不意味著級數(shù)收斂項項的極限為零，并不意味著級數(shù)收斂. . 例如調(diào)和級數(shù)例如調(diào)和級數(shù) 11,nn 1limlim0.nnnun 11nn 發(fā)散。發(fā)散。但但性質(zhì)性質(zhì)5 5的逆否命題成立，即的逆否命題成立，即 lim0nnu 時，時，級數(shù)級數(shù) 1nnu 發(fā)散。發(fā)散。例例5 5 知知 1,nnus 111()2.nnnuusu 證明證明證明證明 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 1nnu 的部分和為的部分和為,ns11()nnnuu 的部分和為的部分和為 ,n 112nnnsuu 那

13、那么么1nnus 由由知，知，lim,nnss 1lim0.nnu 于是于是111limlim(2)2nnnnnsuusu 111()2.nnnuusu 即即例例6 6 求級數(shù)求級數(shù) 解解 設(shè)設(shè)的部分和為的部分和為于是于是11(1)(2)nn nn 的和。的和。1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn 11(1)nn n ,ns那那么么111111 22 3(1)1nsn nn 1limlim(1)11nnnsn 設(shè)設(shè)11(1)(2)nnn 的部分和為的部分和為,nt那那么么111.(1)(2)4nn nn 那那么么所以原級數(shù)的部分和所以原級數(shù)的部分和于是于是11111,2

14、33 4(1)(2)22ntnnn111limlim()222nnntn 由于原級數(shù)可寫成由于原級數(shù)可寫成 11(1)(2)nn nn 1111112(1)2(1)(2)nnn nnn 11,22nnnst 1111 11limlimlim12222 24nnnnnnst 因而因而注注 關(guān)于收斂級數(shù)和發(fā)散級數(shù)之間的運算：關(guān)于收斂級數(shù)和發(fā)散級數(shù)之間的運算： 兩個發(fā)散級數(shù)之間的加或減法運算所得到兩個發(fā)散級數(shù)之間的加或減法運算所得到的新級數(shù)的收斂性不確定的新級數(shù)的收斂性不確定. . 收斂級數(shù)收斂級數(shù)+ +收斂級數(shù)收斂級數(shù)得到的新級數(shù)仍舊收斂；得到的新級數(shù)仍舊收斂； 收斂級數(shù)收斂級數(shù)- -收斂級數(shù)收斂級數(shù)得到的新級數(shù)仍舊收斂；得到的新級數(shù)仍舊收斂； 收斂級數(shù)收斂級數(shù)+ +發(fā)散級數(shù)發(fā)散級數(shù)得到的新級數(shù)必發(fā)散；得到的新級數(shù)必發(fā)散； 收斂級數(shù)收斂級數(shù)- -發(fā)散級數(shù)發(fā)散級數(shù)得到的新級數(shù)必發(fā)散；得到的新級數(shù)必發(fā)散；練習(xí)一練習(xí)一 判斷下列級數(shù)的斂散性：判斷下列級數(shù)的斂散性：解解 考慮加括號后的級數(shù)考慮加括號后的級數(shù))()()(1411411311