高考數(shù)學(xué)恒成立問題常見解法

1、高考數(shù)學(xué)恒成立問題?？捶ǚㄕ涸诟呖紨?shù)學(xué)中，恒成立問題常常涉及到三角函數(shù)，一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，滲透著“函數(shù)與方程”、“換元與化歸”、“分類討論”、“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想方法，本篇文章就恒成立幾種常見的問題結(jié)合實(shí)例談?wù)劷忸}方法。關(guān)鍵詞：恒成立、最值、轉(zhuǎn)化。在高考數(shù)學(xué)中，恒成立問題常常涉及到三角函數(shù)，一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，滲透著“函數(shù)與方程”、“換元與化歸”、“分類討論”、“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想方法，有利于考查學(xué)生解題的綜合水平，在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起著很好的作用，所以，恒成立問題在歷年的高考中既是一個(gè)重點(diǎn)，又是一個(gè)難點(diǎn)。因?yàn)楹愠闪栴}沒有一個(gè)固定的思想方法

2、去處理，所以我就結(jié)合實(shí)例談?wù)剮追N常見的解題方法。一、利用函數(shù)的最值求解將含參不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，這樣方法是我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)中是最常用到的方法，常見的類型有：(1)f(x)a恒成立二a:：f(x)min(2)f(x)：a恒成立二a-f(x)max例1:已知f(x)-2x35x2-20x，g(x)二2x2-32xa，且f(x)二g(x)在x-3,31時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：設(shè)F(x)二f(x)-g(x)=-2x3x12x-a，由題可知，F(xiàn)(x)冬0，即-2x33x212x在x-3,31上恒成立。令G(x)=2x33x212x，則G'(x)=6x2，6x*12=0

3、解得：x=-1或x=2G(-3)=45，G(-1)=11，G(2)=20，G(3)=9G(X)max二45a45二、利用一次函數(shù)求解給定一次函數(shù)f(X)二axb(a=0)，且在x|m,n丨內(nèi)有f(x)-0恒成立,則能夠等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(m)0。lf(n)>0同理，當(dāng)x|m,n內(nèi)有f(x)<0恒成立，則f(m)0。lf(n)£0例2:已知不等式x24x一p.px3，在p；|0,4上恒成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍。分析：我們習(xí)慣把x當(dāng)作自變量，記f(x)=x2(p4)x3一p，則f(x)0在p0,41上恒成立，此時(shí)我們就要利用二次函數(shù)的知識(shí)來求解，比較麻煩。但是當(dāng)我們把不等式轉(zhuǎn)化下

4、，把p當(dāng)作自變量，題目就轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，問題就簡(jiǎn)單很多了。解：設(shè)函數(shù)f(p)=(x-1)p(x2-4x3)，貝Uf(p)0在p0,41上恒成立當(dāng)x"時(shí)，則有*.0，即x:1或x>3X:-1或X1x:：-1或x3(1)當(dāng)x=1時(shí)，f(p)=0，不合，舍去-3-y1=(x-1)2y.綜上可得，x的取值范圍是，-1芥3,三、利用二次函數(shù)求解若二次函數(shù)f(x)=ax2bxc(a0)，且f(x0或f(x)：0在給定的區(qū)間上恒成立，則能夠利用韋達(dá)定理、判別式，以及根和系數(shù)的分布知識(shí)求解例3:已知關(guān)于x的不等式(a24a-5)x2-4(a-1)x3-0對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立。求實(shí)數(shù)a的取值范

5、圍。解：(1)當(dāng)舍去當(dāng)a24a-5=0時(shí)，即a=1或a-5，顯然a=1符合條件，a-5不合(2)當(dāng)a24a-5=0時(shí)，則有3一5'°，解得仁亠：92<0綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍1,9四、利用函數(shù)圖像求解若把不等式實(shí)行變形后，能直接畫出不等號(hào)兩邊的函數(shù)圖像，我們就能夠通過畫圖直接判斷得出結(jié)果，這樣發(fā)放常常適用于選擇題、填空題。例4：已知不等式(x-1)2:logax在x1,2)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：設(shè)=(x-1)2，ylogax，則的圖像如右圖所示，要使*汕2在X，1,2)上恒成立，顯然a1，并且當(dāng)x=2時(shí)，y2_y1即loga2一1，所以a-2。綜上可得，a的取值范圍是1,2五、利用函數(shù)的奇偶性、周期性實(shí)行求解若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù)，則在定義域中的任意x，都有f(_x)-f(x)f(-x)二f(x)恒成立；若函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期為T，則在定義域中的任意x，都有f(xTf(x)恒成立。例5:若f(x)=sin(xa)cos(xa)為偶函數(shù)，求a的值。解:vf(x)是偶函數(shù)，則有f(x)一f(x)對(duì)于一切xR恒成立sin(xa)cos(-x-a)二sin(xa)cos(x-a)即sin(xa)sin(xa)二cos(xa)cos(xa)2sinxposa-2sinx_sinasinx|jsinacosa)=0v對(duì)于一切