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文檔簡介
1、絕密啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況,統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例.得到如下餅圖:二二二二二二二二名姓本試卷共4頁,23小題,滿分150分,考試用時120分鐘注意事項:1 .答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上,用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上,將條形碼橫貼在答題卡右上角條形碼張貼處”。2 .作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案。答案不能答在試卷-I、o3 .非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽
2、字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液,不按以上要求作答無效。4 .考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回。、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)無一效1.設(shè)z=1-+2i,則z=()1iA.0B.1C.1D.亞22.已知集合A=x|x2-x-2>0),則qA=()A.x|-1<x<2C.':x|x:二-14U(x|x2?B.x|-1<x<2D.x|x<-1)Ux|x>23.某
3、地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍.實現(xiàn)翻番.為更好地理科數(shù)學(xué)試題A第1頁(共26頁)則下面結(jié)論中不正確的是()A.新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半4.記Sn為等差數(shù)列Q的前n項和.若3S3=S+S4,3=2,則a3=()A.-12B.-105.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a192+ax.若C.10f(x)為奇函數(shù),則曲線D.12y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為(C.y=2xD.6.在ABC中,AD為BC邊上的中線,A.3AB-1AC443
4、111C.AB+AC44E為AD的中點,,則EB=B.1AB-37o44113lDAB-AC447.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖所示,圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為(B.2.5C.3D.2o28.設(shè)拋物線C:y=4x的焦點為F,過點(-2,0)且斜率為一的直線與C父于M,N兩3點,則FMFN二A.5B.6C.7D.8!ex,x<04,“一,一一一9.已知函數(shù)f(x)=(,g(x)=f(x)+x+a,右g(x)存在2個奪點,則a的取Jnx,x>0理科數(shù)學(xué)試題A第2頁
5、(共26頁)值范圍是()A.1-1,0)B.0,+刃C.+g)D,6,+=o)10.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC,ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為H,其余部分記為出,在整個圖形中隨機取一點,此點取自I,n,m的概率分別記為P1,p2,P3,則()17.(12分)在平面四邊形ABCD中,/ADC=90。,/A=45。AB=2,BD=5.求cos/ADB;若DC=2衣,求BC.A.Pi=P2B.Pi=P3C.P2=P3D.Pi=P2+P3x2211.已知雙曲線C:y2=1,O為坐標(biāo)原
6、點,F(xiàn)為C的右焦點,過F的直線與C的3兩條漸近線的交點分別為M,N.若OMN為直角三角形,則|MN=()A.3B.3C.23D.412.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等,則口截此正方體所得截面面積的最大值為3_342.33D.18.(12分)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把DFC折起,使點C到達(dá)點P的位置,且PF,BF.證明:平面PEF±平面ABFD;求DP與平面ABFD所成角的正弦值.二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)x-2y-2<013 .若x,y滿足約束條件x-y+1>0,則z=3x+
7、2y的最大值為.心014 .記s為數(shù)列QJ的前n項和.若Sn=2an+1,則&=.15 .從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫答案)16 .已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是.三、解答題(共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。)(一)必考題:共60分。19. (12分)2x2設(shè)橢圓C:一+y=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的2坐標(biāo)為(2,0).理科數(shù)學(xué)試題A第3頁(共26頁)理科
8、數(shù)學(xué)試題A第4頁(共26頁)當(dāng)l與x軸垂直時,求直線AM的方程;設(shè)O為坐標(biāo)原點,證明:/OMA=/OMB.討論f(x)的單調(diào)性;若f(x)存在兩個極值點x,x2,證明:f(X1)f(X2)<a_2.20. (12分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品,檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗,設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p卜求f(p)的最大值點p0;現(xiàn)對一箱產(chǎn)品
9、檢驗了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗,這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X求EX;(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗?(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分。22.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)xOy中,曲線G的方程為y=kx+2.以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為P2+2Pcos
10、0-3=0.求C2的直角坐標(biāo)方程;若G與C2有且僅有三個公共點,求Ci的方程.23.選彳4-5:不等式選講(10分)已知f(x)=|x+1-ax-1.當(dāng)a=1時,求不等式f(x)>1的解集;若xC(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.21.(12分)1已知函數(shù)f(x)=x+alnx.x理科數(shù)學(xué)試題A第6頁(共26頁)理科數(shù)學(xué)試題A第5頁(共26頁)絕密啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)答案解析一、選擇題1 .【答案】C.2【解析】z二(1,)+2i+2i=i,則z=1,選C.(i+ir-i)22 .【答案】B【解析】CrA=x|x2-x-2<0
11、=x|-1Ex£2,故選B.3 .【答案】A【解析】經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,所以建設(shè)前與建設(shè)后在比例相同的情況下,建設(shè)后的經(jīng)濟(jì)收入是原來的2倍,所以建設(shè)后種植收入為37%相當(dāng)于建設(shè)前的74%,故選A.4 .【答案】B【解析】令GJ的公差為d,由3S3=$+S4,a1=2得3(3a1+3d)=6a1+7d=d=4,則a5=a1+4d=10,故選B.5 .【答案】D【解析】xWR,f(-x)+f(x)=-x3+(a-1)x2-ax+x3+(a-1)x2+ax=2(a-1)x2=0,則a=1,則f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,所以f'(0
12、)=1,在點(0,0)處的切線方程為y=x,故選D.6 .【答案】A一.-111111111113【解析】BE(BABD)(BABC)BA(AC-AB)=-AC-AB,2222444.3-11,則EB=ABAC,故選A.447 .【答案】B【解析】將三視圖還原成直觀圖,并沿點A所在的母線把圓柱側(cè)面展開成如圖所示的矩形,從點M到點N的運動軌跡在矩形中為直線段時路徑最短,長度為2小,故選B.M(A)16(B)8.【答案】D【解析】由方程組2Jy=3(x+2)y2=4xfx二1fx=4,解得4或4,不妨記M(1,2),N(4,4).y=2y=4又F為(1,0),所以方FN=(0,2)<3,4)
13、=8,故選D.9 .【答案】C【解析】若g(x)存在2個零點,即f(x)+x+a=0有2個不同的實數(shù)根,即y=f(x)與y=-x-a的圖像有兩個交點,由圖可知直線y=-x-a不在直線y=-x+1的上方即可,即-aW1,則a之1.故選C.10 .【答案】A【解析】令RtMBC角A,B,C分別對應(yīng)的邊長為a,b,cI,n,m對應(yīng)的面積分別為§,82,83.則s1=1bc;s3=-tii1j-bc=a-竺c;1_.c2S2-22+1"bLs=2283b2c2-a2-4bc一cco1因為b2+c2=a2,所以S2=bc.所以222228s1=auP1=p2,故選A.11 .【答案】
14、B【解析】如圖所示,不妨記/OMF=90,F為(2,0),漸近線為y=±W3x,所以3/MOF=/NOF=30,則OM|=|OFcos/MOF=73,MN|=OMtan/MON=3,故選b.12 .【答案】A【解析】正方體中,連接頂點M,N,P,Q,三棱錐Q-MNP為正三棱錐,側(cè)棱與底面所成的角都相等,所以正方體的每條棱與平面MNP所成的角土相等,不妨令平面a/平面MNP.易知,當(dāng)平面a截得正方體的截面為如圖所示的平行六邊形ABCDEF時截面的面積可以取到最大值.不妨取AM=(x0<a1,)則AF=ED=BC="x,AB=EF=CD=&(1-x),CF/MN且
15、CF|=MN|=等腰梯形ABCF、DEFC的高分另U為±6(1x)和吏x223,c2c(.2(1-x)2)所以SabCDEF=SabCFSdeFC=2(-2x,2x,1)-I2當(dāng)x=時,截面面積的最大值為M故選A.2224二、填空題【解析】【解析】可行域為MBC及其內(nèi)部,當(dāng)直線y=3x+3經(jīng)過點B(2,0)時,zmax=6.22-63由a1=S1=2a1+1得21=1,當(dāng)n之2時,an=SnSn=2an+12an+1,即an=2,所以an是等比數(shù)列,S6=1+(-2)十(口)+(8)十(16)十(32)=-63.an115.【答案】16【解析】恰有1位女生的選法有C;C;=12種,恰
16、有2位女生的選法有C;C;=4種,所以不同的選法共有16種.16 .僑案73【解析】因為f(x)是奇函數(shù),且f(x)=f(x+2n),即周期為2n,所以只需要研究f(x)在(T,n上的圖像.又f(x)=2cosx+2cos2x=2(2cos2x+cosx1)=2(2cosx1)(cosx+1),貝Uf(x)在(一江,nI上的極值點為x=,,冗,因為f(工)=f()=,f(兀)=0,所以333323/3f(x)m"-2"三、解答題(一)必考題:共60分。17 .【答案】(1)一5BDABsinAsinZADB(2)5【解析】(1)如圖所示,在AABD中,由正弦定理得sin.A
17、DB=看,7/ADC=90%二/ADB為銳角,223-cos/ADB=Jisin2/ADB-;52(2)ZADC=90,.cos.CDBcos(90'ADB)=sin.ADB=,5若DC=2.2,則在ABCD中,由余弦定理BC2=BD2+DC2-2BDDCcos/CDB,/日ccccc_2得BC=,258-252.25.18.【答案】(1)見解析(2)4【解析】(1)證明::四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點,-EF/AB/CD且BF_LEF,丫PF_LBF,EFClPF=F,二BF_L平面PEF,BF匚平面ABFD,.平面PEF_L平面ABFD.(2)方法1:由(1
18、)知BF_L平面PEF,二BF_LPE,BF/AD,.PE_AD.令正方形ABCD的邊長為2,PD=DC=2,ED=1,.PE=JpD2-DE2=3.作PO_LEF交EF于點O,連接OD,由(1)知平面PEF_L平面ABFD,POu平面PEF,平面PEFD平面ABFD=EF,.PO_L平面ABFD,斜線DP在平面ABFD內(nèi)的射影為OD,:/PDO等于DP與平面ABFD所成的角.:PF=CF=1,EF=2,二PE2+PF2=EF2,即PE_LPF且2PFE=60,.3、3在RtiPOF中,OPPF=7.22在RtAPOD中,sin/PDOuPOuW3,即DP與平面ABFD所成角的正弦值為PD44
19、方法2:作PO_LEF交EF于點O,連接OD,由(1)知平面PEF,平面ABFD,POu平面PEF,平面PEF口平面ABFD=EF,PO,平面ABFD,斜線DP在平面ABFD內(nèi)的射影為OD,:/PDO等于DP與平面ABFD所成的角,令正方形ABCD的邊長為2,OF=a(a>0),則EO=2-a,PO=PF2-OF2=1-a2,DO=PD2-PO2=3a2,由DO2=ED2+EO2得3+a2=1+(2a)2,解得a=-23f八皿二PO=,PD=2,則sin/PDO=2PO3PD,即DP與平面ABFD所成角的正弦值為由.4方法3:作PO_LEF交EF于點O,由(1)知平面PEF_L平面ABF
20、D,PO仁平面PEF,平面PEFp平面ABFD=EF,二PO,平面ABFD,以E為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系令正方形ABCD的邊長為2,OF=a(aA0),則F(0,2,0),P(0,2-a,1-a2),D(-1,0,0):DPF=90:PFDP=0,即(0,a,-二1-a2)(12-a,1-a2)=0,21即a(2-a)-(1-a)=0,解得a=一.2-133所以DP=(1,),22易知平面ABFD的一個法向量為n=(0,0,1),故cos<n,DPnDP3_2=_312一43即DP與平面ABFD所成角的正弦值為3419.【答案】(1)直線AM的方程為:y=W2(x2)或y
21、=W2(x2)22=1,則A為(1(2)見解析(1)右焦點為F(1,0),當(dāng)l與x軸垂直時有l(wèi).2.2直線AM的萬程為:y=一(x2)或y=-(x-2);(2)方法1:令直線AM,BM的斜率分別為k1,k2,當(dāng)l與x軸重合時有k1=k2=0,所以ZOMA=/OMB=0;當(dāng)l與x軸不重合時,令l:my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),-1m22my=x-1由Wx22得(m2+2)y2+2my-1=0,則必+y2二呈3y2=1m22因為k1k-上»二-=2一(3y2),X-2x2-2my1-1my2-1(my1-1)(my2-1)-2m-2m2 2所以k1+k2=m2m2=0
22、,即直線AMBMJ傾斜角互補,得(my1-1)(my2-1)ZOMAZOMB.綜合所述,得.OMA=.OMB.方法2:令直線AM,BM的斜率分別為k1,k2,由(1)知,當(dāng)l與x軸垂直時有=-k2,即直線AM,BM的傾斜角互補,得/OMA=/OMB;當(dāng)l不與x軸垂直時,令l:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),4k22k2-2=2,x1x2=22k212k21y=k(x-1)由4x22得(2k2+1)x24k2x+2k2-2=0,則x1+x-3 y=1因為k1k2=y1X-2y2k(x1-1)k(x2-1)k2x1x2一3(x1x2)4i=i=x2-2x1-2x-2(x1-2
23、)(x2-2)所以k1k2=4k22k214(x1-2)(x2-2)即直線AM,BM的傾斜角互補,得/OMA=/OMB.綜合所述,得/OMA=/OMB.120.【答案】(1)p0=10(2)(i)EX=490(ii)應(yīng)該對這箱余下的所有產(chǎn)品都作檢驗.【解析】(1)由n次獨立重復(fù)事件的概率計算得f(p)=C;0P2(1p)18=190p2(1p)18,1821717.f(p)=380p(1p)-190x18p(1-p)=380p(1p)(110p)且0<p<1,._1,f(p)=0時,得p=.10一,.11.又當(dāng)pW(0,)時,f'(p)>0,f(p)單調(diào)遞增;當(dāng)pW(
24、,1)時,f'(p)<0,f(p)單調(diào)遞1010減,11所以p=是f(p)在(0,1)上唯一的極大值點,也是最大值點,即p0=.1010(2)(i)已檢驗的20件產(chǎn)品的檢驗費用為20m2=40元.1該箱余下的廣品的不合格品件數(shù)服從二項分布B(180),估計不合格品件數(shù)為10118018,10若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗,余下的產(chǎn)品的賠償費用估計為18M25=450元.所以,若不對該箱余下白產(chǎn)品作檢驗,則EX=40+450=490.(ii)若對該箱余下的產(chǎn)品都作檢驗,則只需支付檢驗費用,EX=40十180M2=400.因為490>400,所以應(yīng)該對這箱余下的所有產(chǎn)品都作檢驗.2
25、1.【答案】(1)aM2時,f(x)在定義域(0,y)上始終單調(diào)遞減;aa2-4a一、:;a2-4一2>2時,刈在(0,一¥),(,也)上遞減,22在(a-G4,14)上遞增.22(2)見解析【解析(1)f(x)=-2-1旦=2-(x0)xxx令g(x)=-x2ax-1,:=a2-4. aW2,2時,A<0,f'(x)W0恒成立,所以f(x)在定義域(0,收)上始終單調(diào)遞減. a<-2或a>2時,A>0.由g(x)=0即f'(x)=0解得Xi=a7a口,X2=aa-4,且x1+x2=a,x1x2=1.22a<時,5<0區(qū)<
26、;0,f(x)<0恒成立,所以f(x)在定義域(0,依)上始終單調(diào)遞減.a.2時,x2.為0,在(0,xi),(x2,-Ho)±f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;在(xi,x2)上f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.綜上所述,a£2時,f(x)在定義域(0,收)上始終單調(diào)遞減;,a.':'.-a2-4aa2-4r%上2>2時,刈在(0,),(,收)上遞減,22在4a+B2-4)上遞增.22(2)證明:方法1:由(1)知a>2時f(x)存在兩個極值點,且x2ax0.欲證明f(xi)f(x2)<a2等價于證明f(
27、xi)f(x2)>(a2)(xix2).xl-'x2即證明f(不)(a2)x1Af(x2)(a2)x2,其中ox2是方程x2+axi=0的兩個根.2i令h(t)=f(t)-(a-2)t,則滿足-t2+ati=0,即t+=a.tiiiiiiih(t)=f(a2)=-i+at(a-2)=-t2-i+(t+t)t-(t+t-2)=2-(t+t)«1.1.1.一."十一=a>2,.h(t)=2-(t+-)<0,h(t)=f(t)-(a-2)t在tw(0,y)上為減函數(shù).tt因為x2>x>0,所以h(x)>h(x2),即f(x)(a2)x>f(x2)-(a-2)x2,得證.方法2:由(i)知x2>x>0,x+x2=a>2,xx2=i,從而有x2>i>x>0.-f(x)
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