專題22正方形(解析版)

1、專題22正方形專題知識(shí)回顧1 .正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。2 .正方形的性質(zhì)：(1)具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；(2)正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；(3)正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；(4)正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；(5)正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的小等腰直角三角形；(6)正方形的一條對(duì)角線上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離相等。3.正方形的判定判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等

2、。即有一組鄰邊相等的矩形是正方形先證它是菱形，再證有一個(gè)角是直角。即有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。2b24.正方形的面積：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,對(duì)角線長(zhǎng)為b,S正方形=a2專題典型題考法及解析【例題1】(2019湖南郴州)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的三角形，如圖所示，已知/A=90°,BD=4,CF=6,則正方形ADOF的邊長(zhǎng)是()A.v2B.2C.v3D.4【答案】B【解析】設(shè)正方形ADOF的邊長(zhǎng)為x,由題意得：BE=BD=4,CE=CF=6,BC=BE+CE=BD+CF=10,在RtABC中，AC2+AB2=BC2,即(6+x)2

3、+(x+4)2=102,整理得，X2+10x-24=0,解得：x=2,或x=-12(舍去)，.x=2,即正方形ADOF的邊長(zhǎng)是2O,E是OC上一點(diǎn)，連【例題2】（2019?四川省涼山州）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)接EB.過(guò)點(diǎn)A作AM，BE,垂足為M,AM與BD相交于點(diǎn)F.求證：OE=OF.【答案】見(jiàn)解析。即可得出/MEA+ZMAE【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)對(duì)角線垂直且平分，得到OB=OA,根據(jù)AMXBE,=90°=ZAFO+ZMAE,從而證出RtABOERtAAOF,得到OE=OF.證明：:四邊形ABCD是正方形. .ZBOE=ZAOF=90°,OB=OA

4、.又;AM±BE, ./MEA+ZMAE=90°=/AFO+ZMAE, ./MEA=/AFO.BOEAAOF(AAS).OE=OF.專題典型訓(xùn)練題、選擇題1.（2019內(nèi)蒙古包頭）如圖，在正方形ABCD中，AB=1,點(diǎn)E,F分別在邊BC和CD上，AE=AF,/EAF=60°,則CF的長(zhǎng)是（）【解析】四邊形ABCD是正方形, ./B=ZD=ZBAD=90°,AB=BC=CD=AD=1,在RtAABE和RtAADF中,AE=AFAE一如RtAABERtAADF(HL), ./BAE=ZDAF, ./EAF=60°, ./BAE+ZDAF=30

5、76;, ./DAF=15°,在AD上取一點(diǎn)G,使/GFA=/DAF=15°,如圖所示: .AG=FG,/DGF=30°,DF=FG=,dg=|V1df,設(shè)DF=x,貝UDG=V3x,AG=FG=2x, AG+DG=AD,2x+V3x=1,解得：x=2-,DF=2-V3,.CF=CD-DF=1-(2-近)=VS-1；故選：C.2.（2019湖南張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形OA2019B2019c2019,那么點(diǎn)A2019的坐標(biāo)是(

6、【解析】解：.四邊形C.（岑，專）D.(0,T)OABC是正方形，且OA=1,A(0,1),將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1,A1（返2發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2019+8=252余3,二點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為（故選：A.3. （2019?四川省廣安市）把邊長(zhǎng)分別為1和2的兩個(gè)正方形按圖的方式放置.則圖中陰影部分的面積為11-11(A)1(B)1(C)l(D)16354【答案】A211【解析】陰影部分面積=1x2X1=13264. (2019須州省銅仁市)如圖，正方形ABCD中，AB=6,E為AB的中點(diǎn)，將ADE沿DE翻折得到FDE,延長(zhǎng)EF交BC于G,F

7、HXBC,垂足為H,連接BF、DG.以下結(jié)論：BF/ED;DFGDCG;.d_,一一，-FHBsEAD;tan/GEB=;SAbfg=2.6;其中正確的個(gè)數(shù)是()A.2B.3C.4D.【答案】C.【解答】.正方形ABCD中，AB=6,E為AB的中點(diǎn)AD=DC=BC=AB=6,AE=BE=3,/A=/C=/ABC=90°,ADE沿DE翻折得到FDE./AED=/FED,AD=FD=6,AE=EF=3,/A=/DFE=90°.BE=EF=3,/DFG=/C=90°./EBF=ZEFB/AED+/FED=/EBF+ZEFB./DEF=/EFBBF/ED故結(jié)論正確；AD=

8、DF=DC=6,/DFG=/C=90°,DG=DGRtADFGRtADCG，結(jié)論正確; FHXBC,/ABC=90° .AB/FH,/FHB=ZA=90° ./EBF=ZBFH=ZAEDFHBAEAD，結(jié)論正確； RtADFGRtADCGFG=CG設(shè)FG=CG=x,貝UBG=6x,EG=3+x在RtABEG中，由勾股定理得：32+(6-x)2=(3+x)2解得：x=2BG=4.tan/GEB=BGBE故結(jié)論正確；FHBAEADBH=2FHa2+(42a)2=22設(shè)FH=a,貝UHG=42a在RtAFHG中，由勾股定理得:解得：a=2（舍去）或a=§5.S

9、aBFG=±X4更=2.425故結(jié)論錯(cuò)誤。5.（2019黑龍江省綏化）如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是正方形四邊上的任意一點(diǎn)，且AB=4,EF=2,設(shè)AE=x.當(dāng)PEF是等腰三角形時(shí)，下列關(guān)于P點(diǎn)個(gè)數(shù)的說(shuō)法中，一定正確的是（）當(dāng)x=0（即E、A兩點(diǎn)重合）時(shí)，P點(diǎn)有6個(gè)當(dāng)0vxv4我-2時(shí)，P點(diǎn)最多有9個(gè)當(dāng)P點(diǎn)有8個(gè)時(shí)，x=242-2當(dāng)PEF是等邊三角形時(shí)，P點(diǎn)有4個(gè)A.B.C.D.【解析】當(dāng)x=0（即E、A兩點(diǎn)重合）時(shí)，如下圖,分別以A、F為圓心，2為半徑畫(huà)圓，各2個(gè)P點(diǎn)，以AF為直徑作圓，有2個(gè)P點(diǎn)，共6個(gè)，所以，正確。當(dāng)0VXV4J2-2時(shí)，P點(diǎn)最多

10、有8個(gè),故錯(cuò)誤。當(dāng)戶點(diǎn)有8小時(shí).如圖2所示：當(dāng)0W率<a<4V或2<jcv4，一代二1<f2“31vky4N時(shí)P點(diǎn)肓H個(gè)：散錯(cuò)層；G）如圉3.當(dāng)戶是等邊三角形時(shí)，產(chǎn)點(diǎn)有44;改正確i當(dāng)FEf是等腰二角形時(shí)，關(guān)于凡宗個(gè)數(shù)的說(shuō)法中，不正確的是.一定正確的星：故皆：tf.二、填空題趙爽弦圖6. （2019湖南邵陽(yáng)）公元3世紀(jì)初，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽注周髀算經(jīng)時(shí)，創(chuàng)造了設(shè)勾a=6,弦c=10,則小正方形ABCD的面積是.【答案】4.【解析】勾a=6,弦c=10,股=4=8,，小正方形的邊長(zhǎng)=8-6=2,，小正方形的面積=22=4.故答案是：4.7. （2019湖南張家界）如圖：正

11、方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,F分別為BC,CD邊的中點(diǎn),連接AE,BF交于點(diǎn)P,連接PD,貝Utan/APD=【解析】解：連接AF,.E,F分別是正方形ABCD邊BC,CD的中點(diǎn),.CF=BE,迪fDF在ABE和BCF中，網(wǎng):BCbe=cfRtAABERtABCF(SAS, ./BAE=ZCBF,又/BAE+ZBEA=90,CBF+ZBEA=90,ZBPE=ZAPF=90, /ADF=90, ./ADF+ZAPF=180,.A、P、F、D四點(diǎn)共圓，AFD=ZAPD, tanZAPD=tanZAFD=-=2,故答案為：2.DF如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,E為CD邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）

12、，將4ADE沿AE對(duì)折至AFE,延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG,CF.給出下列判斷:/EAG=45°；若DE=-a,則AG/CF；3若E為CD的中點(diǎn)，則4GFC的面積為a2；10若CF=FG,貝UDE=(72-1)a；BG?DE+AF?GE=a2.其中正確的是.（寫(xiě)出所有正確判斷的序號(hào)）【答案】【解析】二四邊形ABCD是正方形， .AB=BC=AD=a, 將ADE沿AE對(duì)折至AFEZAFE=ZADE=ZABG=90°,AF=AD=AB,EF=DE,/DAE=/FAE,fin=Jr在RtAABG和RtAAFG中|:於二；,：.RtAABGRtAAFG(HL), ./BAG=

13、ZFAG,1 ./GAE=/GAF+/EAF=.,X90=45,故正確；BG=GF,/BGA=/FGA,11設(shè)BG=GF=x,/DE=-a,/.EF=-a,/.CG=a-x,4J,I9I在RtEGC中，EG=x+-a,CE=-a,由勾股定理可得(x+-a)2=x2+(.a)2,I解得x=-a,此時(shí)BG=CG=-a,I.GC=GF=,ja,.GFC=/GCF,且/BGF=/GFC+/GCF=2/GCF,.2/AGB=2/GCF,/.ZAGB=ZGCF,.AG/CF,.正確;_、，I若E為CD的中點(diǎn)，貝UDE=CE=EF口，設(shè)BG=GF=y,貝UCG=a-y,CG2+CE2=EG2,即（&

14、一+、口尸=I0-，解得，y%a,.BG=GF=口,CG=a-a二-3'3322112I,“FC=r=lX”Xq門(mén)Mq上=77口一，故錯(cuò)誤；V1J.上<1J當(dāng)CF=FG,則/FGC=/FCG,./FGC+/FEC=/FCG+/FCE=90°,/FEC=/FCE,，EF=CF=GF,.BG=GF=EF=DE,EG=2DE,CG=CE=a-DE,/.=EC,即1項(xiàng)以-DE）三2DF,.DE=（*生-1）a,故正確；設(shè)BG=GF=b,DE=EF=c,貝UCG=a-b,CE=a-c,由勾股定理得，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2,整理得bc=a2-ab-ac,Srcmi

15、=:w一口=；一口匕一同仁+品=院+加=1h：即$ceg=BG?DE,SaABG=SAFG,S»aAEF=S»aADE,5.»山曲.=26A，店F=1>,jlF-Ef?=jiF"-EG,S五邊形abged+Saceg=S正方形abcd,BG?DE+AF?EG=a2,故正確.故答案為：.由折疊得AD=AF=AB,再由HL定理證明RtAABGRtAAFG便可判定正誤；1 9|設(shè)BG=GF=x,由勾股定理可得（x+-a）2=x2+（；a）2,求得BG=a,進(jìn)而得GC=GF,得/GFC=ZIJ-S,J-GCF,再證明/AGB=ZGCF,便可判斷正誤；設(shè)BG

16、=GF=y,則CG=a-y,由勾股定理得y的方程求得BG,GF,EF,再由同高的兩個(gè)三角形的面積比等于底邊之比，求得CGF的面積，便可判斷正誤；證明/FEC=/FCE,得EF=CF=GF,進(jìn)而得EG=2DE,CG=CE=a-DE,由等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關(guān)系式便可得結(jié)論，進(jìn)而判斷正誤；設(shè)BG=GF=b,DE=EF=c,則CG=a-b,CE=a-c,由勾股定理得bc=a2-ab-ac,再得CEG的面積為BG?DE,再由五邊形ABGED的面積加上CEG的面積等于正方形的面積得結(jié)論，進(jìn)而判斷正誤.9. （2019福建）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中心與半徑為2的。的圓心重合，E、F分別是A

17、D、BA的延長(zhǎng)與。的交點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是.（結(jié)果保留兀）【答案】兀-1.【解析】延長(zhǎng)DC,CB交。于M,N,根據(jù)圓和正方形的面積公式即可得到結(jié)論.延長(zhǎng)DC,CB交。于M,N,則圖中陰影部分的面積=X（S圓OS正方形ABCD）=X（4兀4）=兀1,4410. （2019?四川省涼山州）如圖，正方形ABCD中，AB=12,AE=-AB,點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B、C4重合），過(guò)點(diǎn)P作PQXEP,交CD于點(diǎn)Q,則CQ的最大值為.【解析】先證明BPEsCQP,得到與CQ有關(guān)的比例式，設(shè)CQ=y,BP=x,則CP=12-x,代入解析式，得到y(tǒng)與x的二次函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值./BEP+

18、/BPE=90°,ZQPC+ZBPE=90°,./BEP=/CPQ.又/B=ZC=90°,.BPEACQP.BEBP.=.PCCQ設(shè)CQ=y,BP=x,貝UCP=12-x.(x2-12x),整理得y=(x-6)2+4,g所以當(dāng)x=6時(shí)，y有最大值為4.11. （2019?廣東廣州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A,B重合），/DAM=45°,點(diǎn)F在射線AM上，且AF=V2BE,CF與AD相交于點(diǎn)G,連接EC,EF,EG,則下列結(jié)論:/ECF=45°4AEG的周長(zhǎng)為（1+叵）a；2BE2+DG2=EG2;EAF的面積的

19、最大值工a2.其中正確的結(jié)論是.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】.【解析】正確.如圖1中，在BC上截取BH=BE,連接EH.證明FAEAEHC(SAS),即可解決問(wèn)題.錯(cuò)誤.如圖2中，延長(zhǎng)AD至ijH,使得DH=BE,則CBEACDH(SAS),再證明GCEAGCH(SAS),即可解決問(wèn)題.正確.設(shè)BE=x,則AE=a-x,AF=&x,構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題.如圖1中，在BC上截取BH=BE,連接EH.,.BE=BH,/EBH=90°,1EH=2BE,AF=2BE,AF=EH,/DAM=/EHB=45°,/BAD=90°,./FAE

20、=ZEHC=135°,.BA=BC,BE=BH,AE=HC,FAEAEHC(SAS),EF=EC,/AEF=ZECH,./ECH+ZCEB=90°,.ZAEF+ZCEB=90°, ./FEC=90°,，/ECF=/EFC=45°,故正確,如圖2中，延長(zhǎng)AD到H,使得DH=BE,則CBEACDH(SAS), ./ECB=ZDCH, ./ECH=ZBCD=90°, ./ECG=/GCH=45°, .CG=CG,CE=CH,GCEAGCH(SAS),EG=GH, .GH=DG+DH,DH=BE,.EG=BE+DG,故錯(cuò)誤,.AEG

21、的周長(zhǎng)=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故錯(cuò)誤,設(shè)BE=x,貝UAE=a_x,AF=1yx,SaAEF=?(ax)-<0,22a時(shí)，AEF的面積的最大值為a2.故正確,故答案為.圖2圖112.（2019廣西賀州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF平分/BAE交BC于點(diǎn)F,將ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得ABG,則CF的長(zhǎng)為【答案】6-2叵【解析】作FMXAD于M,FNLAG于N,如圖，易得四邊形CFMD為矩形，則FM=4,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，DE=2,11AE=d42+22=2!&g

22、t;,ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得ABG,.AG=AE=2區(qū),BG=DE=2,/3=/4,ZGAE=90°,/ABG=/D=90°,而/ABC=90°,點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上，.AF平分/BAE交BC于點(diǎn)F,1=72,2+/4=/1+/3,即FA平分/GAD,FN=FM=4,i-AB?GF=-irFN?AG,.-.GF=CF=CG-GF=4+2-25=6-2/5.B落在線段13. （2019?山東青島）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，將正方形紙片折疊，點(diǎn)AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF,若AD=4cm,則CF的長(zhǎng)為cm.AD【答案】6-【解析】設(shè)

23、BF=x,則FG=x,CF=4-x,在RtAGEF中，利用勾股定理可得EF2=（24號(hào)-4）2+x2,在RtAFCE中，利用勾股定理可得EF2=（4-x）2+22,從而得到關(guān)于x方程，求解x,最后用4-x即可.設(shè)BF=x,貝UFG=x,CF=4x.在RtAADE中，利用勾股定理可得AE=2姓.根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG=AB=4,所以GE=2VS-4.在RtAGEF中，利用勾股定理可得EF2=（2M-4）2+x2,在RtAFCE中，利用勾股定理可得EF2=（4-x）2+22,所以（4）2+x2=（4-x）2+22,解得x=|2V5-2.貝UFC=4-x=6-14. （2019江蘇鎮(zhèn)江）將邊長(zhǎng)為1的

24、正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到FECG的位置（如圖），使得點(diǎn)D落在對(duì)角線CF上，EF與AD相交于點(diǎn)H,則HD=.（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】72-1.【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理.由正方形的對(duì)角線與相鄰的邊夾角為45°,得/CFE=/ECF=45°,而在RtCEF中，由勾股定理，得CF=J2,從而DF=J21,易知DHF是等腰直角三角形，于是DH=DF=應(yīng)1.因此本題答案為J21.15. （2019遼寧撫順）如圖，在2X6的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，點(diǎn)A,B,C在格點(diǎn)上，連接AB,B

25、C,則tanZABC=.故答案為：_2【解析】連接AD,根據(jù)網(wǎng)格利用勾股定理求出AB,AD,BD的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理判斷出三角形ABD為直角三角形，利用銳角三角函數(shù)定義求出所求即可.連接AD,由勾股定理得：AD=+=AB=、標(biāo)=2、歷,BD=在不m了,（|V2）2+（2吏）2=（V10）2,即ad2+ab2=bd2,.ABD為/BAD是直角的直角三角形，B三、解答題16. （2019湖南湘西州）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊CD,AD上，且AF=CE.(1)求證：ABFACBE;(2)若AB=4,AF=1,求四邊形BEDF的面積.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）12.【解答】(1

26、)在ABF和CBE中"杷二BCZA=ZC=90°,AF=CEABFACBE(SAS);（2）由已知可得正方形ABCD面積為16,ABF面積=CBE面積=X42.2所以四邊形BEDF的面積為16-2X2=12.17. （2019海南）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（與點(diǎn)A,D不重合）,射線PE與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.求證:PDEAQCE;(2)過(guò)點(diǎn)E作EF/BC交PB于點(diǎn)F連接AF,當(dāng)PB=PQ時(shí),求證：四邊形AFEP是平行四邊形；請(qǐng)判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說(shuō)明理由.【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥坑烧叫涡再|(zhì)得到邊角關(guān)系，從而證明全

27、等；通過(guò)證明全等得到AP=EF,由平行線的傳遞性得到平行，故四邊形AFEP是平行四邊形：列出方程得到AP的長(zhǎng)，與PE比較，不能判定四邊形AFEP是菱形.(1)證明：二.四邊形ABCD是正方形，/D=ZBCD=90°.1,.ZECQ=90°=ZD/E是CD的中點(diǎn)，DE=CE,又./DEP=ZCEQ,PDEAQCE;(2) (2)證明：如圖，由(1)得PDEAQCE,.PE=QE=1PQ,又EF/BC,.PF=FB=1PB,PB=PQ,，22PF=PE,，/1=/2J,四邊形ABCD是正方形，/8人口=90°在RtAABP中,F是PB的中點(diǎn)，AF=BP2=FP/./3

28、=/4,AD/BC,EF/BC,.AD/EF,/1=/4,，/2=/3,又PF=FP/.APFAEFP/.AP=EF,又AP/EF,/.四邊形AFEP是平行四邊形四邊形AFEP不是菱形，理由如下：設(shè)PD=x,則AP=1x,由(1)可知PDEZQCE,，CQ=PD=x,，BQ=BC+CQ=1+x,=點(diǎn)E,F分別是PQ,PB的中點(diǎn)，EF是APEQ的中位線，EF=1BQ=1+x.由可知AP=22rr1+x_1_1_2_122、13EF,即1x=，解得x=-，.PD=-,AP=，在RtAPDE中,DE=,.PE=4PD+DE=，.二233326APwPEa四邊形AFEP不是菱形.18. (2019湖南

29、株洲)如圖所示，已知正方形OEFG的頂點(diǎn)O為正方形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，連接CE、DG.(1)求證：DOGCOE;OEFG1(2)若DGBD,正萬(wàn)形ABCD的邊長(zhǎng)為2,線段AD與線段OG相交于點(diǎn)M,AM=,求正萬(wàn)形2的邊長(zhǎng).EG【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)2歷.【解析】解：(1)二.正方形ABCD與正方形OEFG,對(duì)角線AC、BDDO=OC DBXAC,DOA=ZDOC=90° ./GOE=90°,GOD+ZDOE=ZDOE+/COE=90° ./GOD=ZCOE .GO=OE 在4DOG和ACOE中ZG0D=ZC0EIgd=oe .DOGACOE(SA

30、S)(2)如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH±DO交DO于點(diǎn)H AM=1,DA=2,DM=2./MDB=45°MH=DH=sin45°DM=T,DO=cos450DA=V2HO=DO-DH=V2-在RtAMHO中，由勾股定理得MO=v'hh?+ho2=號(hào)*哼產(chǎn)哼.DGXBD,MHXDO,.MH/DG.易證OHMs*ODG返史:駁=zODGOV2則正方形OEFG的邊長(zhǎng)為24.EG19.（2019?胡北省仙桃市）如圖，E,F分別是正方形ABCD的邊CB,DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE=CF,過(guò)點(diǎn)E作EG/BF,交正方形外角的平分線CG于點(diǎn)G,連接GF.求證：（1） AEXBF;【解

31、析】由SAS證明ABEBCF得出AE=BF,/BAE=/CBF,由平行線的性質(zhì)得出/CBF=/CEG,證出AEXEG,即可得出結(jié)論；延長(zhǎng)AB至點(diǎn)P,使BP=BE,連接EP,則AP=CE,ZEBP=90°,證明APEECG得出AE=EG,證出EG=BF,即可得出結(jié)論.證明：（1）二.四邊形ABCD是正方形，.AB=BC,ZABC=ZBCD=90°,ABE=ZBCF=90°,FAB=BC在ABE和BCF中，/ABE=/BCF,BE二CFABEABCF(SAS),，AE=BF,/BAE=ZCBF, EG/BF,.CBF=ZCEG, ./BAE+ZBEA=90°

32、,./CEG+ZBEA=90°, AEXEG,AEXBF;(2)延長(zhǎng)AB至點(diǎn)P,使BP=BE,連接EP,如圖所示：則AP=CE,/EBP=90°,.P=45°,.CG為正方形ABCD外角的平分線，/ECG=45°,P=/ECG,由(1)得/BAE=ZCEG,2p=Necg在APE和ECG中，APCE,lZbae=ZcegAPEAECG(ASA),，AE=EG,AE=BF,.1.EG=BF,.EG/BF,四邊形BEGF是平行四邊形.20.(2019?山東泰安)如圖，四邊形ABCD是正方形，EFC是等腰直角三角形，點(diǎn)E在AB上，且/CEF=90°,

33、FGXAD,垂足為點(diǎn)C.(1)試判斷AG與FG是否相等？并給出證明；(2)若點(diǎn)H為CF的中點(diǎn)，GH與DH垂直嗎？若垂直，給出證明；若不垂直，說(shuō)明理由.F【答案】見(jiàn)解析。【解析】過(guò)點(diǎn)F作FMLAB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,可證四邊形AGFM是矩形，可得AG=MF,AM=FG,由AAS”可證EFMACEB,可得BE=MF,ME=BC=AB,可得BE=MA=MF=AG=FG;延長(zhǎng)GH交CD于點(diǎn)N,由平行線分線段成比例可得gG_FHCNCH,且CH=FH,可得GH=HN,NC=FG,即可求DG=DN,由等腰三角形的性質(zhì)可得DHHG.(1)AG=FG,理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM，AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M四邊形ABCD是正方形 .AB=BC,ZB=90°=ZBADFM±AB,/MAD=90°,FGXAD，四邊形AGFM是矩形AG=MF,AM=FG, ./CEF=90°, ./FEM+/BEC=90°,ZBEC+ZB