二次函數(shù)典型例題

1、二次函數(shù)典型例題例1某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能銷售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種產(chǎn)品的銷售情況，請解答以下問題：(1)當(dāng)銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；(2)設(shè)銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍)；商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價應(yīng)定為多少？點(diǎn)撥:我們知道，銷售商品有一些基本數(shù)量關(guān)系，如：銷售額=單價送肖售件數(shù)，銷售利潤=銷售收入一銷售成本(銷售成本包括產(chǎn)品本身的成本和銷售過程中增

2、加的成本，而在我們的學(xué)習(xí)研究中，一般不計算銷售過程中增加的成本)等.根據(jù)題意，以50元/千克時，月銷售量為500千克(此時銷售收入為50X500=25000元)為標(biāo)準(zhǔn)，單價每增加1元，月銷售量就減少10千克，利用上面的基本數(shù)量關(guān)系，可以解決本題中的問題.解：(1)月銷售量為5005X10=450(千克)，月銷售利潤為(55-40)(5005X10)=6750(元)(2)yx500-10(x50)4050010(x50)即，y10x21400x40000(3)800010x21400x40000解得x60或x80,當(dāng)x80時，月銷售量為50030X10=200.此時成本為40>200=80

3、00元，合題意.當(dāng)x60時，月銷售量為50010X10=400.此時成本為40M00=16000>10000,不合題意.答：當(dāng)銷售價格為55元/千克時，月銷售量為450千克，月銷售利潤為6750元；函數(shù)解析式為y10x21400x40000;當(dāng)銷售成本不超過10000元，月銷售利潤達(dá)8000元時，銷售價應(yīng)定為80元/千克.例2若一拋物線yax2與四條直線，x1,x2,y1,y2圍成的正方形有公共點(diǎn).求a的取值范圍.點(diǎn)撥:對于二次函數(shù)yax2有，若|a超大，拋物線開口越小(反之|a超小,則開口越大)因此我們需要先作出由直線x1,x2,y1,y2所圍成的正方形，由它的位置決定拋物線的開口方向

4、，再用動態(tài)的觀點(diǎn)來看，拋物線與正方形有公共點(diǎn)時，開口最大的情況與開口最小的情況，以求a的取值范圍.解：作出由x1,x2,y1,y2所圍成的正方形ABCD,則A(1,2),B(1,1),C(2,1),D(2,2).易知，拋物線yax2必開口向上，即a>0.當(dāng)yax2經(jīng)過c1點(diǎn)時開口最大，此時1=a.2,a.當(dāng)拋物線yax經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)時開口最小，41此時2=a.12,a2.a的取值范圍是1a2.4例3如圖所示，有一拋物線形涵洞，其函數(shù)解析式為yax2(a0),涵洞跨度AB=12m,內(nèi)部高度h4m,為了安全，汽車經(jīng)過涵洞時，載貨最高處與頂部之間的距離不能小于0.5m.現(xiàn)有一輛運(yùn)貨車卡車欲

5、通過涵洞，經(jīng)測量該車寬度為4m,載貨最高處距地面2.5m.問該車能否通過，為什么？點(diǎn)撥:這是一道實(shí)際應(yīng)用題，解題的時候要把實(shí)際生活中的問題抽象出來，找到或建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再加以解決.解：如圖所示，AB=12m,h4m./.A(-6,-4),B(6,-4).把點(diǎn)A(-6,-4)代、一O11O入函數(shù)yax得a(6)=-4,a-,y-x,依題息：二,車范4m,載貨99最高處距地面2.5m,C(2,1.5),D的橫坐標(biāo)為2,縱坐標(biāo)為y1x21224.；D(2,-),CD-1.519>0.5,能通過涵洞.9999918例4如圖，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，點(diǎn)P從A出發(fā)，沿A

6、B邊向點(diǎn)B以1厘米/秒的速度移動，同時Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2厘米/秒的速度移動.如果P,Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B,C兩點(diǎn)后就停止移動，回答下列問題：(1)運(yùn)動開始后第幾秒鐘時，PBQ的面積等于8平方厘米？(2)設(shè)運(yùn)動開始后第T秒鐘時，五邊形APQCD的面積為S平方厘米，寫出S與T的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量T的取值范圍；(3)T為何值時，S最?。壳蟪鯯的最小值.點(diǎn)撥:觀察圖形有兩點(diǎn)是顯然但絕不能忽視的，一個是PBQ的面積與五邊形PQCDA的面積之和為定值(矩形ABCD的面積)，另一個是PBQ在變化過程中始終為直角三角形，即SPBQ=1PBBQ為不變函數(shù)關(guān)系.2解：設(shè)P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動時間為t秒，

7、依題意PB=AB-AP=6-t,BQ=2t.Sapbq=1(6-t)2t=t(6-t).t(6-t)=8,解得t=2,t=4;2(2)S=AB-BC-SPBQ=72-t(6-t)=t2-6t+72(0t6);一、，-2，一，(3)配萬，得S=t3+63.當(dāng)t=3時，S最小=63答(1)運(yùn)動開始2秒和4秒時，Sapbq=8.(2)S與t的函數(shù)關(guān)系為S=t2-6t+72,0t6.(3)當(dāng)t=3時，S最小，最小為63.例5某瓜果基地市場部為指導(dǎo)該基地某種蔬菜的生產(chǎn)和銷售，在對歷年市場行情和生產(chǎn)情況調(diào)查的基礎(chǔ)上，對今年這種蔬菜上市后的市場售價和生產(chǎn)成本進(jìn)行了預(yù)測，提供了兩個方面的的信息，如圖甲、乙.注

8、：甲，乙兩圖中的每個實(shí)心黑點(diǎn)所對應(yīng)的縱坐標(biāo)分別指相應(yīng)月份的售價和成本，生產(chǎn)成本6月份最低，乙圖的圖象是拋物線.甲圖乙圖請你根據(jù)圖象提供的信息說明：(1)在3月份出售這種蔬菜，每千克的收益是多少元？(收益=售價-成本)(2)哪個月出售這種蔬菜，每千克的收益最大？說明理由.點(diǎn)撥(1)由圖甲可知，3月份出售這種蔬菜，每千克價格為5元，由圖乙可知，3月份這種蔬菜的成本價為每千克4元.故可輕松解決；在中可借助圖甲、圖乙確定出售價、成本價與月份x的關(guān)系式，將兩表達(dá)式相減，即為每千克這種蔬菜的收益是多少，再借助二次函數(shù)最值求法，則可解決問題.解：(1)由圖甲知，3月份這種蔬菜的售價為5元，由圖乙知，3月份這

9、種蔬菜的成本價為4元，故3月份這種蔬菜的收益為每千克1元；(3) 設(shè)圖甲中線段的表達(dá)式為Y甲二卜乂+0由圖象可知，點(diǎn)(3,5)和(6,3)在y甲=kx+b上，故有53kb36kb故y甲2X7.又圖乙中圖象是一條拋物線段，故，可設(shè)3其表達(dá)式為y乙ax2bxc.由圖乙知，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,1),且點(diǎn)(3,4)在拋物線段上49a3bc故有62a4acb234a1解彳3a-,b4,c13.3一1c故y乙-x24x13.從而每千克這種蔬菜的收益為27/12yy甲y乙-x7(-x334x3)10一x312-(x210x)61(x5)2373.當(dāng)x=5時,y值最大，且最大值為7元.3即5月份出售這種蔬菜，每

10、千克的收益最大，最大值為7元.3例6如圖甲所示，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA,。恰好在水面中心，OA=1.25m.由柱子頂端A處的噴頭向處噴水，水流在各個方向形狀相同的拋物線路線落下，為了使水流形狀較為漂亮，要求設(shè)計成水流在離OA距離為1m處達(dá)到距水面最大高度2.25m.一.甲r1J(1)如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流落不到池外？(2)若水流噴出的拋物線的形狀與相同，水池的半徑為3.5m,要使水流不落到池外，此時水流最大高度應(yīng)達(dá)多少米(精確到0.1m)(提示:可建立如下坐標(biāo)系：以O(shè)A所在的直線為y軸，過O點(diǎn)垂直于OA的直線為x軸，點(diǎn)O為原點(diǎn).)點(diǎn)撥:此題的解題關(guān)鍵在于如何建立合適的坐標(biāo)系，使得我們要求的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)成為一些特殊點(diǎn)，而不是拋物線上的任意三點(diǎn).解:(1)如圖乙以O(shè)A所在的直線為y軸，過O點(diǎn)垂直于OA的直線為x,點(diǎn)O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)最高點(diǎn)為B,拋物線狀水流在水面上的點(diǎn)為點(diǎn)C,則依題意，O(0,0),A(0,1.25),頂點(diǎn)B(1,2.25),C(x,0).設(shè)拋物線為Ya(x1)22.25(a0,2把A點(diǎn)坐標(biāo)代入得:1.25=A01225,A1水流所經(jīng)歷的路線解22析式為YX1225(X>0)則C點(diǎn)坐標(biāo)為:0=X1225,Xi25X205舍去C(2.5,0)為水池邊