傳染病模型微分方程

1、1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b)%y(t)微分方程建模(傳染病模型)的求解1、模型1:SI模型。假設：(1)t時刻人群分為易感者(占總?cè)藬?shù)比例的s(t)和已感染者(占總?cè)藬?shù)比例的y(t)(2)每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率，當健康者與病人接觸時，健康者受感染成為病人。分析：根據(jù)假設，每個患者每天可以使s(t)個健康者變?yōu)椴∪耍驗椴∪藬?shù)為Ny(t),所以每天共有Ns(t)y(t)個健康者變?yōu)椴∪?。即：NdyNsy,且s(t)y(t)1,設初始時刻病人比例為b,則：dt皿y(1y)m涕“口dt八y),用MATLAB軍此微分方程：y(0)b>>sym

2、sab>>f=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t')f=111(-1)eb當b0.09,0.1時，分別在坐標系oty中作出y(t)的圖像，坐標系oyy中作出yy(1y)的圖像，> >a=0.1;> >b=0.09;>>h=dsolve('Dy=a*y*(1-y)','y(0)=b','t')h=1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b)> >f=subs(h)f=1/(1+91/9*exp(-1/10*

3、t)> >ezplot(f,0,60)> >gridon>>figure(2)y(t)的圖像>>fplot('0.1*y*(1-y)',0,1)>>gridonyy(1y)的圖像模型分析：(1)當y3時，電達到最大值，則此時病人增速最快。2dt(2)當t時，y(t)1,即所有的人被傳染，全部變?yōu)椴∪耍@顯然是不符合實際的，其原因是沒有考慮到病人可以治愈,會變?yōu)榻】嫡摺?、模型2:SIS模型。假設：(1)t時刻人群分為易感者(占總?cè)藬?shù)比例的(2)每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)時，健康者受感染成為病人。(3)病人每天

4、被治愈的占病人總數(shù)的比例為人群中的健康者只能變?yōu)椴∪耍∪瞬籹(t)和已感染者(占總?cè)藬?shù)比例的y(t),稱為日接觸率，當健康者與病人接觸1,稱為日治愈率，顯然-為這種傳染病的平均傳染期。則NdyNsyNy。則建立微分方程模型為：當y(1y)ydty(0)b用MATLAB由此微分方程：>>h2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-c*y','y(0)=b','t')h2=(a-c)/(a-exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*a+exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*c)&

5、gt;>pretty(h2)/exp(-(a-c)t)(-a+c+ba)a(a-c)/|ab(a-c)exp(-(a-c)t)(-a+c+ba)c+1b(a-c)/化簡:ace(ac)t.(acba)ae(ac)t.(acba)cb(ac)b(ac)b(ac)2ab(ac)e(ac)t.(acba)e(ac)t.(acba)cb(ac)2ab(ac)(ca)e(ac)t.(acba)ab(ac)(ca)e(ac)t.(acba)b(ac)21a1a(ac)t()e-acbaci即：y(t)(1)e()tb)e(1當(1)時，y(t)(-b時,>>clear>>h2

6、=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-a*y','y(0)=b','t')h2=1/(a*t+1/b)門口，、11即：y(t)t°b定義一：一個傳染期內(nèi)每個病人有效接觸的平均人數(shù)。,1,(1)舊,.貝U:y()八)，用MATLAB乍圖像：0(1)令0.01,0.05,b0.7(0.21)>>clear>>a=0.01;b=0.7;c=0.05;>>h2=dsolve('Dy=a*y*(1-y)-c*y','y(0)=b','t');>>

7、h22=subs(h2)h22=-1/25/(1/100-47/700*exp(1/25*t)>>ezplot(h22,0,120)>>gridon0.21的圖像令030.15,b0.減b0.3分別作圖(21)>>a=0.3;b=0.7;c=0.15;>>h2=dsoke('Dy=a*y*(1-y)-c*y','y(0)=b','t');>>h23=subs(h2)h23=3/20/(3/10-3/35*exp(-3/20*t)>>subplot(2,1,1)>>

8、ezplot(h23,0,25)> >gridon> >b=0.3;> >h24=subs(h2);> >subplot(2,1,2)> >ezplot(h24,0,25)gridon21的圖像(上面b0.7,下面b0.3)模型分析：(1)1時，病人比例越來越少，最終趨于零，這是因為傳染期內(nèi)經(jīng)有效接觸從而使健康者變?yōu)椴∪藬?shù)不超過原來病人數(shù)的緣故。一1(2)1時，病人比例y(t)增減性是由b來決定，其極限值y()1隨著的增加而增加。3、模型3:SIR模型。s(t)、病人i(t)、病愈免疫的移出者r(t)。假設：(1)人群分為健康者，其比

9、例(2)病人的日接觸率為，日治愈率為，傳染期接觸數(shù)為一。則s(t)i(t)r(t)1,dr對于病愈者而后，y,dt%和y0,則建立微分方程模型為:dydtsyy設初始時刻的健康者和病人的比例為sydsdty(0)y0,s(0)so由于此微分方程組的解析解無法求出，則轉(zhuǎn)為相平面sy上討論解的性質(zhì)。相軌線的定義域(s,y)D應為：D(s,y)s0,y0,sy1,由方程組消去dt并將一得：dy工1dss'ssVo用matlb求解：>>dsolve('Dy=1/cma/s-1','y(s0)=y0','s')ans=1/cma*10g

10、(s)-s-1/cma*10g(s0)+s0+y0>>pretty(ans)log(s)log(s0)s+s0+y0cmacma1.s即y(s)(s0y°)s-ln(相軌線)(0.7,0.25)%定義域內(nèi)，1時,(丫0,與)分別取(0.3,0.65),(0.4,0.35),(0.5,0.45),在同一直角坐標系中作出其圖像：>>cma=1;y0=0.3;s0=0.65;>>clear>>f=dsolve('Dy=1/cma/s-1','y(s0)=y0','s');1-sSIR模型的相軌線

11、> >cma=1;y0=0.3;s0=0.65;> >f1=subs(f);> >ezplot(f1,0,1)> >holdon> >y0=0.4;s0=0.35;> >f2=subs(f);> >ezplot(f2,0,1)> >holdon> >y0=0.5;s0=0.45;> >f3=subs(f);> >ezplot(f3,0,1)> >holdon> >y0=0.7;s0=0.25;> >f4=subs(f);> >ezplot(f4,0,1)> >holdon> >ezplot('1-s',0,1)> >gridon模型分析：(1)不論初始條件s0,y0如何，病人比例越來越少，最終消失。1s(2)取終未被感染的健康者的比例是s,在y(s)(3y0)s一ln一中。s1s令y(s)0時，(s0y0)sln0的單根即為s:最終未被感染的健康者的比So例。在圖像上：