第7章_線性離散系統(tǒng)

1、第8章第1頁EXIT2022年5月4日7.1 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概念 7.2 信號的采樣與保持信號的采樣與保持7.3 Z變換變換第8章第2頁EXIT2022年5月4日 控制系統(tǒng)中有一個或若干個部件的輸出信號是一串脈沖控制系統(tǒng)中有一個或若干個部件的輸出信號是一串脈沖形式或是數(shù)碼，由于信號在時間上是離散的，這類系統(tǒng)稱為形式或是數(shù)碼，由于信號在時間上是離散的，這類系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。隨著計算機普通運用于自動控制領(lǐng)域以來，離散離散系統(tǒng)。隨著計算機普通運用于自動控制領(lǐng)域以來，離散控制系統(tǒng)在生產(chǎn)、科研等各個領(lǐng)域中得到了廣泛的應用。控制系統(tǒng)在生產(chǎn)、科研等各個領(lǐng)域中得到了廣泛的應用。 對于連續(xù)時間

2、系統(tǒng)，采用微分方程和拉普拉斯變換進行分對于連續(xù)時間系統(tǒng)，采用微分方程和拉普拉斯變換進行分析和設(shè)計；析和設(shè)計；對于離散時間系統(tǒng)，則采用差分方程和對于離散時間系統(tǒng)，則采用差分方程和z變換進行變換進行分析和設(shè)計。分析和設(shè)計。通過通過Z變換這個數(shù)學工具，可以把傳遞函數(shù)，頻變換這個數(shù)學工具，可以把傳遞函數(shù)，頻率特性，根軌跡法等概念應用于離散控制系統(tǒng)。率特性，根軌跡法等概念應用于離散控制系統(tǒng)。 本章將重點介紹本章將重點介紹Z變換理論變換理論.第8章第3頁EXIT2022年5月4日兩類離散系統(tǒng)：兩類離散系統(tǒng)：（1）采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)）采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng)離散信號是脈沖序列（時間上離散）離散信號

3、是脈沖序列（時間上離散）（2）數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機控制系統(tǒng)）數(shù)字控制系統(tǒng)或計算機控制系統(tǒng)離散信號是數(shù)字序列（時間上離散、幅值上量化）離散信號是數(shù)字序列（時間上離散、幅值上量化）第8章第4頁EXIT2022年5月4日7.1.1 離散控制系統(tǒng)的組成離散控制系統(tǒng)的組成 第8章第5頁EXIT2022年5月4日 數(shù)字計算機在進行信息處理時必須接受數(shù)字信號，數(shù)字計算機在進行信息處理時必須接受數(shù)字信號，所以必須進行信號的轉(zhuǎn)換。將連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)換為離所以必須進行信號的轉(zhuǎn)換。將連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)換為離散數(shù)字信號的過程稱為模散數(shù)字信號的過程稱為模-數(shù)轉(zhuǎn)換（數(shù)轉(zhuǎn)換（A/D），反之，），反之，則稱為數(shù)則稱為數(shù)-模轉(zhuǎn)換（模

4、轉(zhuǎn)換（D/A）。它們是數(shù)字控制的必要過）。它們是數(shù)字控制的必要過程。程。)(*te第8章第6頁EXIT2022年5月4日數(shù)字控制系統(tǒng)的特點：數(shù)字控制系統(tǒng)的特點：控制器的控制規(guī)律由計算機實現(xiàn)，使得控控制器的控制規(guī)律由計算機實現(xiàn)，使得控制規(guī)律比較靈活、控制精度高，而且可以借助計算機實現(xiàn)許多附制規(guī)律比較靈活、控制精度高，而且可以借助計算機實現(xiàn)許多附加功能，例如系統(tǒng)運行狀態(tài)檢測、報警、保護等。性價比超過模加功能，例如系統(tǒng)運行狀態(tài)檢測、報警、保護等。性價比超過模擬控制器。擬控制器。 在航空航天、軍事、工業(yè)、公用事業(yè)系統(tǒng)中的各類控制系統(tǒng)已在航空航天、軍事、工業(yè)、公用事業(yè)系統(tǒng)中的各類控制系統(tǒng)已經(jīng)廣泛地運用計

5、算機控制。經(jīng)廣泛地運用計算機控制。A/D轉(zhuǎn)換過程轉(zhuǎn)換過程（t）第8章第7頁EXIT2022年5月4日A/D轉(zhuǎn)換器：轉(zhuǎn)換器：采樣、量化、編碼采樣、量化、編碼 把連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)換為時間上離散的、幅值上整量化的數(shù)把連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)換為時間上離散的、幅值上整量化的數(shù)字信號（二進制的整數(shù)），實際上具有對信號在時間點上字信號（二進制的整數(shù)），實際上具有對信號在時間點上采樣采樣，對信號幅值進行對信號幅值進行編碼編碼。（采樣編碼器）。（采樣編碼器） 一般要求一般要求A/D轉(zhuǎn)換器具有足夠的字長（轉(zhuǎn)換器具有足夠的字長（8 bit、10 bit、12 bit、14bit），要求量化單位），要求量化單位 q 足夠小

6、。這樣可以近似認為幅值的斷足夠小。這樣可以近似認為幅值的斷續(xù)性可以忽略不記。續(xù)性可以忽略不記。 同時，若采樣編碼的時間可以忽略，這時數(shù)字信號可以看成同時，若采樣編碼的時間可以忽略，這時數(shù)字信號可以看成脈沖信號，脈沖信號， A/D轉(zhuǎn)換器可以認為采樣周期為轉(zhuǎn)換器可以認為采樣周期為 TS 的理想采樣開關(guān)。的理想采樣開關(guān)。數(shù)字控制系統(tǒng)中的兩個關(guān)鍵部件：數(shù)字控制系統(tǒng)中的兩個關(guān)鍵部件：第8章第8頁EXIT2022年5月4日D/A轉(zhuǎn)換器：轉(zhuǎn)換器：把離散的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)模擬信號。把離散的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)模擬信號。 D/A轉(zhuǎn)換器有兩個工作過程：轉(zhuǎn)換器有兩個工作過程：（1）解碼，解碼，把離散的二進制數(shù)字信號

7、轉(zhuǎn)換為離散的模擬把離散的二進制數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為離散的模擬信號；信號；（2）模擬信號復現(xiàn)模擬信號復現(xiàn)，通過，通過“保持器保持器”將離散模擬信號復將離散模擬信號復現(xiàn)為連續(xù)的模擬信號，該信號才能真正驅(qū)動模擬放大器等?，F(xiàn)為連續(xù)的模擬信號，該信號才能真正驅(qū)動模擬放大器等。第8章第9頁EXIT2022年5月4日離散控制系統(tǒng)的優(yōu)點離散控制系統(tǒng)的優(yōu)點:1.采樣信號特別是數(shù)字信號的傳遞可以有效抑制噪聲，提采樣信號特別是數(shù)字信號的傳遞可以有效抑制噪聲，提高抗干擾能力；高抗干擾能力；2.允許采用高靈敏度的控制元件，提高控制精度；允許采用高靈敏度的控制元件，提高控制精度；3.軟件實現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變，控制靈活，效果好

8、；軟件實現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變，控制靈活，效果好；4.可以分時控制若干系統(tǒng)，提高設(shè)備利用率，經(jīng)濟性好；可以分時控制若干系統(tǒng)，提高設(shè)備利用率，經(jīng)濟性好；5.引入采樣方式，使大延遲系統(tǒng)穩(wěn)定。引入采樣方式，使大延遲系統(tǒng)穩(wěn)定。第8章第10頁EXIT2022年5月4日7.1.2 離散系統(tǒng)的研究方法離散系統(tǒng)的研究方法 研究離散控制系統(tǒng)的數(shù)學基礎(chǔ)是研究離散控制系統(tǒng)的數(shù)學基礎(chǔ)是Z變換，通過變換，通過Z變換這個變換這個數(shù)學工具，可以把以前學習過的傳遞函數(shù)，頻率特性，根軌數(shù)學工具，可以把以前學習過的傳遞函數(shù)，頻率特性，根軌跡法等概念應用于離散控制系統(tǒng)。跡法等概念應用于離散控制系統(tǒng)。Z變換是分析單輸入變換是分析單輸入

9、單單輸出線性定常離散控制系統(tǒng)的有力數(shù)學工具。輸出線性定常離散控制系統(tǒng)的有力數(shù)學工具。Z變換法和線變換法和線性離散控制系統(tǒng)的關(guān)系如同拉普拉斯變換和線性連續(xù)系統(tǒng)的性離散控制系統(tǒng)的關(guān)系如同拉普拉斯變換和線性連續(xù)系統(tǒng)的關(guān)系一樣。關(guān)系一樣。1. 用用Z變換法建立離散系統(tǒng)的數(shù)學模型后進行分析、綜合。變換法建立離散系統(tǒng)的數(shù)學模型后進行分析、綜合。2. 用離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法（一階差分方程組）對系統(tǒng)用離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法（一階差分方程組）對系統(tǒng)進行分析、設(shè)計。進行分析、設(shè)計。第8章第11頁EXIT2022年5月4日A/D轉(zhuǎn)換過程轉(zhuǎn)換過程（t）第8章第12頁EXIT2022年5月4日采樣過程：連續(xù)信號采

10、樣過程：連續(xù)信號 采樣器采樣器 離散信號離散信號 )(*tesT7.2.1 采樣過程采樣過程1. )(tx )(*tx 連連續(xù)續(xù)信信號號 采采樣樣信信號號 采樣器的作用時間趨于采樣器的作用時間趨于0 0而得而得到的理想采樣信號到的理想采樣信號 實際采樣信號實際采樣信號模擬信號模擬信號第8章第13頁EXIT2022年5月4日2 理想脈沖序列理想脈沖序列0( )()sTsnttnT 單位理想脈沖序列單位理想脈沖序列理想采樣過程的數(shù)學描述理想采樣過程的數(shù)學描述（重要）：（重要）：0*()()(ne neTttnTsT)(*tenTs時刻脈沖強度時刻脈沖強度脈沖產(chǎn)生的時刻脈沖產(chǎn)生的時刻第8章第14頁E

11、XIT2022年5月4日 *0( )nEsLe nTtnT0( )nTsstnTstnTet edte*0( )nTsnEse nT e第8章第15頁EXIT2022年5月4日7.2.2 采樣定理：采樣定理： 連續(xù)信號連續(xù)信號x(t)經(jīng)過采樣而變成離散信號經(jīng)過采樣而變成離散信號x*(t)，這種離散化處理會不會丟失原來連續(xù)信號這種離散化處理會不會丟失原來連續(xù)信號x(t)所含所含有的信息？或者說，我們能否有離散信號有的信息？或者說，我們能否有離散信號x*(t)無無失真地恢復原來連續(xù)信號失真地恢復原來連續(xù)信號x(t)？如果能，離散化處？如果能，離散化處理需要滿足什么條件？香農(nóng)（理需要滿足什么條件？香

12、農(nóng)（shannon）采樣定理）采樣定理解決了這一問題。解決了這一問題。第8章第16頁EXIT2022年5月4日 按間隔進行采樣后，信號的傅立葉變換是周期函數(shù)，按間隔進行采樣后，信號的傅立葉變換是周期函數(shù)，是是原函數(shù)傅立葉變換的原函數(shù)傅立葉變換的T TS S分之一按周期所進行的周期延拓。分之一按周期所進行的周期延拓。“等間隔離散化等間隔離散化”的函數(shù)的傅立葉變換是的函數(shù)的傅立葉變換是“周期周期” 頻譜。頻譜。1 1 采樣信號的頻譜采樣信號的頻譜 1()()snsjjjnss2采樣信號的傅氏變換為：采樣信號的傅氏變換為：P292P292第8章第17頁EXIT2022年5月4日第8章第18頁EXIT

13、2022年5月4日2、香農(nóng)采樣定理：、香農(nóng)采樣定理：第8章第19頁EXIT2022年5月4日如果采樣器的如果采樣器的 輸入信號輸入信號 具有有限帶寬，具有最高頻率具有有限帶寬，具有最高頻率為為 的分量，只要采樣周期滿足以下條件：的分量，只要采樣周期滿足以下條件：)(teh(2)sh2( )2shTs信號信號 可以從采樣信號可以從采樣信號 中恢復過來。中恢復過來。)(te)(*te2sh在工程中一般?。旱?章第20頁EXIT2022年5月4日 工程上采用的將采樣信號恢復為連續(xù)時間信號的裝置稱工程上采用的將采樣信號恢復為連續(xù)時間信號的裝置稱為保持器，而最常用、最簡單的保持器是零階保持器。為保持器，

14、而最常用、最簡單的保持器是零階保持器。 理想低通濾器幅頻特性理想低通濾器幅頻特性 從采樣信號中恢復出連續(xù)時間信號稱為信號的復現(xiàn)。在滿足從采樣信號中恢復出連續(xù)時間信號稱為信號的復現(xiàn)。在滿足采樣定理的前提下，采樣信號沒有混疊現(xiàn)象。這樣，如用一個采樣定理的前提下，采樣信號沒有混疊現(xiàn)象。這樣，如用一個具有下圖所示幅頻特性的理想低通濾波器就可以無畸變的把原具有下圖所示幅頻特性的理想低通濾波器就可以無畸變的把原信號復現(xiàn)出來。信號復現(xiàn)出來。7.2.3 信號的復現(xiàn)及零階保持器信號的復現(xiàn)及零階保持器第8章第21頁EXIT2022年5月4日)(tgh)( 1)( 1)(shTtttg脈沖過渡函數(shù)：脈沖過渡函數(shù)：幅

15、值為幅值為1，持續(xù)時間為，持續(xù)時間為 Ts對應的對應的L變換變換1( )( )1( ) 11()ssTT shshseG sL g tLttTsses)(t)(tgh當給零階保持器輸入一個理想單位脈沖當給零階保持器輸入一個理想單位脈沖 ，則脈沖響應，則脈沖響應（輸出）（輸出） 零階保持器零階保持器可以將采樣點幅值保持至下一個采樣瞬時，把采可以將采樣點幅值保持至下一個采樣瞬時，把采樣信號變?yōu)殡A梯信號樣信號變?yōu)殡A梯信號 ：第8章第22頁EXIT2022年5月4日零階保持器的頻率特性零階保持器的頻率特性)/(2/2/2/)/()/(sin22)(21)(sssssjsssjTjTjTjThejeee

16、jejGssT/2ss3s2)(jGhT零階保持器的特性：零階保持器的特性：（1）低通特性）低通特性（2）相角遲后特性（）相角遲后特性（P295圖圖7-18）（3）時間遲后特性）時間遲后特性 （平均遲后時間（平均遲后時間 TS/2)p295圖圖7-17第8章第23頁EXIT 在前面的分析中已經(jīng)指出，為了使采樣信號不在前面的分析中已經(jīng)指出，為了使采樣信號不失真地復現(xiàn)原連續(xù)信號，應該滿足兩個條件：失真地復現(xiàn)原連續(xù)信號，應該滿足兩個條件：采樣頻率滿足香農(nóng)采樣定理；采樣頻率滿足香農(nóng)采樣定理；（WsWs=Wh）采樣信號應該通過低通濾波器濾掉采樣引起的高采樣信號應該通過低通濾波器濾掉采樣引起的高頻分量，頻

17、分量，其其物理意義是采樣開關(guān)后接的連續(xù)環(huán)節(jié)物理意義是采樣開關(guān)后接的連續(xù)環(huán)節(jié)應該具有較好的低通濾波特性，則采樣后的信號應該具有較好的低通濾波特性，則采樣后的信號可以恢復為原信號?？梢曰謴蜑樵盘?。2022年5月4日第8章第24頁EXIT2022年5月4日第8章第25頁EXIT2022年5月4日0( )()()ssnftf nTtnT0( )( )()snT ssnFsL ftf nT esT szezTssln10( )( )()nsnF zZ ftf nT z7.3.1 Z變換的定義變換的定義(單邊單邊Z變換變換)連續(xù)信號連續(xù)信號：f（t）其理想采樣信號其理想采樣信號： z為變換算子，是一個復

18、變量為變換算子，是一個復變量 F（z）定義為采樣信號）定義為采樣信號f*（t）的）的Z變換。變換。其其拉氏變換拉氏變換：第8章第26頁EXIT2022年5月4日說明：說明： F（z）實際上是理想采樣信號實際上是理想采樣信號f*（t）的拉氏變換；的拉氏變換；從定義上看從定義上看,F（z）只考慮了采樣時刻的信號值只考慮了采樣時刻的信號值f（nTs）。因此。因此F（z）是采樣信號是采樣信號f*（t）的的Z變換，并非變換，并非是連續(xù)信號是連續(xù)信號f（t）的的z變換。變換。 0( )( ) ( )()nsnF zftf tf nT z 第8章第27頁EXIT z變換是變換是s變換的變形，只適用于離散信號

19、，變換的變形，只適用于離散信號，只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性，與采樣時刻只表征連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性，與采樣時刻之間的特性無關(guān)。之間的特性無關(guān)。2022年5月4日12( )(0)()(2)ssF zff TzfTz是一個開放形式的級數(shù)。是一個開放形式的級數(shù)。第8章第28頁EXIT2022年5月4日1.級數(shù)求和法級數(shù)求和法已已知連續(xù)函數(shù)知連續(xù)函數(shù)f (t) 的采樣值的采樣值f（nTs） 0( )( )()nsnF zftf nT z 7.3.2 Z變換的求法變換的求法寫成閉合式。寫成閉合式。 一般，一般，函數(shù)的函數(shù)的Z Z變換的級數(shù)形式都是收斂的，變換的級數(shù)形式都是收斂的，可以寫可以寫成閉合

20、形式。成閉合形式。第8章第29頁EXIT2022年5月4日例例7-1 試求單位階躍信號的試求單位階躍信號的Z變換。變換。 解：單位階躍函數(shù)解：單位階躍函數(shù)1(t)1(t)在任何采樣時刻的值均為在任何采樣時刻的值均為1 1。即。即()1()1(0,1,2,)ssf nTnTn0120( )1( )1( )111nnF zttzzzz 11z11( )1( )11zF ztzz 可寫成閉合形式可寫成閉合形式若若1z是一個等比級數(shù)，公比是一個等比級數(shù)，公比第8章第30頁EXIT2022年5月4日 Z變換的無窮級數(shù)形式的物理含義：變換的無窮級數(shù)形式的物理含義： 變量變量z-n的系數(shù)代表了連續(xù)時間函數(shù)在

21、各采樣的系數(shù)代表了連續(xù)時間函數(shù)在各采樣時刻的采樣值時刻的采樣值。通過級數(shù)求和法求取通過級數(shù)求和法求取Z變換的缺點：變換的缺點： 需要將無窮級數(shù)寫成閉合形式。需要將無窮級數(shù)寫成閉合形式。第8章第31頁EXIT2022年5月4日2.部分分式法部分分式法已知已知連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)f（t）的的拉氏變換拉氏變換1( )( )( )kiiiAM sF sN sss1( )i skisTiAzF zzetsiieA對應對應Z變換變換iiAssi sisTAzze第8章第32頁EXIT2022年5月4日例例7-2 7-2 求求拉氏變換為拉氏變換為 的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的的Z Z變換變換 。 1 (1)s s解：解：111( )(1)1F ss sss02( )1(1)(1)ssssssTTTTTTz