小升初之?dāng)?shù)論專題

1、數(shù) 論知識要點(diǎn)小學(xué)升初考試中的數(shù)論問題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結(jié)論有：1帶余除法：若a，b是兩個整數(shù)，b0，則存在兩個整數(shù)q，r，使得a=bq+r（0rb），且q，r是唯一的。特別地，如果r=0，那么a=bq。這時，a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)。2若a|c，b|c，且a，b互質(zhì)，則ab|c。3唯一分解定理：每一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即其中p1p2pk為質(zhì)數(shù)，a1，a2，ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。（1）式稱為n的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解。4約數(shù)個數(shù)定理：設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為（1

2、），則它的正約數(shù)個數(shù)為：d（n）=（a1+1）（a2+1）（ak+1）。5整數(shù)集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式xy與xy-1是等價的。下面，我們將按數(shù)論題的內(nèi)容來分類講解。第一節(jié) 整除【專題簡析】：在數(shù)的整除中要熟記數(shù)整除的特點(diǎn)，在用整除的知識來解決相關(guān)試題的時候要注意首先確定末尾那個數(shù)字，在確定其他的數(shù)字。數(shù)整除的特征數(shù)特點(diǎn)被2整除一個整數(shù)的個位是0,2,4,6,8中的某一個被3（或者9）整除一個整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（或者9）整除被5整除一個整數(shù)的末尾不是5就是0被4(或者25)整除一個整數(shù)的末兩位能被4(或者25)整除被8(或者125)整除一個整數(shù)的末三位能被8(

3、或者125)整除被11整除一個整數(shù)的奇數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之和的差（較大數(shù)減較小數(shù)）能被11整除被7(或者11或者13)整除一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（較大數(shù)減較小數(shù)）能【例題精講】例1.老師買了72本相同價格的書，當(dāng)時沒有記住書的單價，只用鉛筆記下了用的總錢數(shù)，回到學(xué)校后其中有兩個數(shù)字已經(jīng)模糊不清了，總錢數(shù)成了13.7元，你能幫忙補(bǔ)上中數(shù)字嗎？練習(xí)1.馬虎的采購員，買了72只桶，洗衣服時將購貨發(fā)票洗爛了，只能依稀看到72只桶共 67.9元，內(nèi)的字跡已經(jīng)看不清楚，請幫他算一下一共多少錢？例2.在算式中，不同字母代表不同的數(shù)，相同的字母代表相同的數(shù)，求這個五

4、位數(shù)是多少？練習(xí)2.一個六位數(shù)，他的個位數(shù)字是6，將6移動到最前面，所得的數(shù)是原數(shù)的4倍，求這個六位數(shù)。例3.從0,3,5,7,這4個數(shù)中任選3個，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，在組成的數(shù)中能同時被2、3、5整除的數(shù)有多少個？練習(xí)3.從1、2、3、4、5中任取3個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，在這些三位數(shù)中能同時被2和9整除的數(shù)有多少個？【綜合練習(xí)】1.學(xué)校李老師一共買了28支價格相同的鋼筆，共付人民幣9. 2元，已知 處的數(shù)字相同，請問每支鉛筆多少錢？2. 已知是45的倍數(shù)，求所有滿足條件的六位數(shù)。3. 小明在一張紙上寫下了一個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，94 5，其中十位數(shù)字和千位數(shù)字都看不清楚了，但

5、已知這個數(shù)能被75整除，那么滿足上述條件的五位數(shù)中，最大的一個數(shù)是多少？4.在25 79這個數(shù)的內(nèi)填上一個數(shù)字，使這個數(shù)能被11整除，問應(yīng)填幾？5. 五位數(shù)能被3整除，它的末三個數(shù)字組成的數(shù)能被2整除，求這個五位數(shù)？6.已知六位數(shù)8919能被33整除，那么這個六位數(shù)是多少？7.一個六位數(shù)2356是88的倍數(shù)，這個數(shù)除以88商多少？8.有一個整數(shù)，用它去除70、110、160等到三個余數(shù)之和是50，求此整數(shù)。9. 有一個正整數(shù)是一個有2008位的數(shù)，且是9的倍數(shù)，數(shù)字之和是A,A的數(shù)字之和是B，B的數(shù)字之和是C,求C是多少？第二節(jié) 質(zhì)數(shù)與合數(shù)的應(yīng)用【專題簡析】 根據(jù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義，解答與質(zhì)數(shù)合

6、數(shù)有關(guān)的問題，學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，首先要記住20以內(nèi)、100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，有利于順利解題?！纠}精講】例1分別判斷251，539是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？ 例2 A是一個質(zhì)數(shù)，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是質(zhì)數(shù)，試求出滿足要求的最小質(zhì)數(shù)A。例3如圖，四個小三角形頂點(diǎn)處有6個圓圈，如果在這些圓圈中分別填上6個質(zhì)數(shù)，它們的和是20。而且每個小三角形頂點(diǎn)圓圈的數(shù)之和相等，問這6個質(zhì)數(shù)的積是多少？【基礎(chǔ)練習(xí)】1試判斷507，619，667是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？2（1）如果兩個質(zhì)數(shù)的和是1999，那么這兩個質(zhì)數(shù)的積是多少？（2）如果三個質(zhì)數(shù)和是130，那么這三個質(zhì)數(shù)的積最大是多少？3寫出50以內(nèi)5個連續(xù)自然數(shù)，要

7、求每個數(shù)都是合數(shù)。4.A是一個質(zhì)數(shù)，且A+4，A+6，A+10都是質(zhì)數(shù)，試求出滿足要求的最小質(zhì)數(shù)A。5把一個一位數(shù)的質(zhì)數(shù)A，寫在另一個兩位質(zhì)數(shù)B的后面，得到一個三位數(shù)，這個三位數(shù)是A的119倍，求A和B。6把一個兩位質(zhì)數(shù)寫在另一個兩位質(zhì)數(shù)后面，得到一個四位數(shù)，它能被這兩個質(zhì)數(shù)之和的一半整除，試求出所有這樣的質(zhì)數(shù)對。7填出下面加法算式中的6個質(zhì)數(shù)。 8 質(zhì) 9 + 質(zhì) 6 質(zhì) 1 質(zhì) 質(zhì) 質(zhì)【拓展提高】1（1）寫出5個質(zhì)數(shù)，按從大到小的順序排列，每相鄰兩數(shù)差是12。（2）寫出7個連續(xù)自然數(shù)，要求每個數(shù)都是合數(shù)。2判斷數(shù)6666667111111是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？3判斷數(shù)11111211111是質(zhì)數(shù)

8、還是合數(shù)。 1998個1 1998個14.判斷200320032003是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。5.a,b,c都是質(zhì)數(shù)，c是一位數(shù)，且a×bc=1993，那么abc的和是多少？6一個長方體，它的正面和上面面積之和是299平方厘米，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少？7有標(biāo)號是19數(shù)字的9張卡片，甲、乙、丙三人每人拿了3張卡片，甲的3張卡片數(shù)的積是48，乙的3張卡片上數(shù)的和是15，丙的3張卡片上數(shù)的積是63，問甲、乙、丙各拿了哪3張卡片？8把110這10個數(shù)字圍成一個圓圈，使每相鄰兩個數(shù)的和都是質(zhì)數(shù)。9有一個數(shù)，如果它的數(shù)字倒排以后，所得的數(shù)仍是這個數(shù)，這個數(shù)稱為回?cái)?shù)，如19

9、91就是這樣的年份，回?cái)?shù)具有如下兩個性質(zhì)：（1）1991是一個回?cái)?shù)；（2）1991是一個兩位質(zhì)數(shù)回?cái)?shù)和一個三位質(zhì)數(shù)回?cái)?shù)的積。在1000年到2000年之間的1000年中，除了1991外，具有性質(zhì)（1）（2）的年份有哪些？10有四個相同的瓶子里分別裝有不同重量的酒，每瓶與其他各瓶分別合稱一次，重量分別是8，9，10，11，12，13千克。已知4只空瓶重量之和及酒的重量之和均是質(zhì)數(shù)，最重的兩瓶內(nèi)共有多少酒？第三節(jié) 分解質(zhì)因數(shù)【專題簡析】分解質(zhì)因數(shù)常常運(yùn)用在實(shí)際生活中，在許多競賽題中初看起來很難，但他都與乘積有關(guān)，對于這類題目我們可以用分解質(zhì)因數(shù)的方法來解答，因此掌握并靈活應(yīng)用分解質(zhì)因數(shù)的的知識能解答

10、許多一般方法不能解答的問題。要注意的是在分解質(zhì)因數(shù)的過程中“2”是很特別的，他是質(zhì)數(shù)中唯一一個偶數(shù)，而且還經(jīng)常結(jié)合數(shù)的奇偶性來考。注意特例（1001=7×11×13）【例題精講】例1.將12個蘋果平均分成若干份，共有多少種分法？練習(xí)1.有60個同學(xué)分成人數(shù)相等的小組去慰問解放軍叔叔，每組不少于6人，不多于15人，那么共有多少種分法？例2.五個連續(xù)自然數(shù)的乘積是15120.那么這五個自然數(shù)的和是多少？練習(xí).有4個小孩，恰好一個比一個大一歲，4人的年齡積是3024，問這4個孩子中最大的有多少歲？例3.在下面的算式里， 里的數(shù)字各不相同，求這四個數(shù)字的和。× =1995

11、 練習(xí)3.下面四張小紙片各蓋上了一個數(shù)字，如果這四個數(shù)字是連續(xù)的偶數(shù)，請完整下面的算式。×=5760例4.一個兩位數(shù)除310余37，這個數(shù)可以是多少？練習(xí)4. 237除以一個兩位數(shù)，所得的余數(shù)是6，滿足這個條件的兩位數(shù)有哪些？例5.（質(zhì)數(shù)與合數(shù)）兩個質(zhì)數(shù)的和是39，求這兩個質(zhì)數(shù)的積。練習(xí)5.兩個質(zhì)數(shù)的和是99，求這兩個數(shù)的積。例6.有4個人他們都屬虎，年齡之積是27664，求這4個人的年齡分別是多少？練習(xí)6.有6個人，他們都屬龍，年齡之積是17597125，那么他們的年齡之和是多少？ 例7.十個非零且不相等的自然數(shù)的和是2002，那么這十個非零自然數(shù)的公約數(shù)最大是多少？例8.一個正整

12、數(shù)能分成3個不同質(zhì)數(shù)的積，如果這3個質(zhì)數(shù)的平方和是150，求這個正整數(shù)？練習(xí)8：一個正整數(shù)能分成3個不同質(zhì)數(shù)的積，如果這3個質(zhì)數(shù)的平方和是1710，求這個正整數(shù)？例9.有三個數(shù)字能組成6個不同的三位數(shù)，這6個數(shù)的和是2886，求這6個三位數(shù)中最小的一個是多少？練習(xí)9：有3個數(shù)字能組成6個不同的3位數(shù)，這6個數(shù)的和是1776，求這6個三位數(shù)中最小的一個是多少？【綜合練習(xí)】1、 甲數(shù)比乙數(shù)大9，兩個數(shù)的積是792，求甲乙兩數(shù)分別是多少？2、 四個連續(xù)奇數(shù)的積是19305，求這四個奇數(shù)的和。3、在下面算式框內(nèi)各填上一個數(shù)字，使算式成立。 × =19954. 5100除以一個三位數(shù)，余數(shù)是9

13、5，這個三位數(shù)最大是多少？5.三個質(zhì)數(shù)的和是80，求這三個質(zhì)數(shù)的積。6.已知三個質(zhì)數(shù)的平方和是7950，求這三個質(zhì)數(shù)的積。7.已知兩個數(shù)的和是60，最小公倍數(shù)是273，求此兩數(shù)分別是多少？8.今有三個質(zhì)數(shù)，他們的平方和是7950，求這三個質(zhì)數(shù)的積。9.有四個數(shù)字能組成6個不同的四位數(shù)，這6個數(shù)的和是39996，求這6個三位數(shù)中最小的一個是多少10.主人對客人說：“院子里有三個小孩，他們的年齡之積等于72，年齡之和恰恰是我家的樓號，樓號你是知道的，你能求出這些孩子的年齡嗎？”客人想了一下說：“我還不能確定答案！”他站起來，走到窗前，看了看樓下的孩子，說：“有兩個很小的孩子，我知道他們的年齡了！”

14、請問，主人家的樓號是多少？三個孩子的年齡分別是多少？第四節(jié) 余數(shù)問題【專題簡析】在整數(shù)除法中，當(dāng)不能整除時，就產(chǎn)生余數(shù)。a÷b=cd(0<d<b)是帶余除法的基本形式。 如果兩個自然數(shù)a,b同除以自然數(shù)m，所得余數(shù)相同，稱作a與b對于模m同余，記作ab（mod m）。如17與32被5除，余數(shù)都是2，即1732（mod 5）。【例題精講】例1被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和是1100，已知余數(shù)是9，商是18，求被除數(shù)和除數(shù)。例2寫出除109后余4的全部兩位數(shù)。例3有一個不等于1的整數(shù)，它除967，1000，2001得到相同的余數(shù)，那么這個整數(shù)是多少？例4在1與3000之間同時被3

15、，5，7除都余2的數(shù)有多少個？例5自然數(shù)16510，14893和14167除以m的余數(shù)相同，求m的最大值。【基礎(chǔ)練習(xí)】1用一個兩位數(shù)除961，余數(shù)為36，求這個兩位數(shù)。2 719除以一個兩位數(shù)，余數(shù)4，問這樣的兩位數(shù)有多少個？3兩個數(shù)相除，商為8，余數(shù)為16，被除數(shù)、除數(shù)與商的和是555，除數(shù)是幾？4.求11111被13除的余數(shù)。 2001個15.求2579×3673325×1303255×853除以11的余數(shù)。6.自然數(shù)a（a1）除124，200，352后得到相同的余數(shù)，這個自然數(shù)最大是幾？7.在11000之間同時被2，3，7除都余1的數(shù)有多少個？8.自然數(shù)a除

16、以4余1，自然數(shù)b除以4余2，那么a+b的和除以4余幾？【拓展提高】1用47去除某數(shù)余13，被除數(shù)與商之和為8605，求被除數(shù)。2小紅在計(jì)算一道除法題時，把被除數(shù)211錯寫成121，結(jié)果商少了10，而余數(shù)相同，求該除法題中的除數(shù)。3 1363除以一個數(shù)，商59，且除數(shù)比余數(shù)大17，求除數(shù)和余數(shù)。4有一個整數(shù)分別去除721，271，127，都有余數(shù)，三個余數(shù)之和是44，求這個數(shù)。5一個十幾歲的女孩，把母親的年齡寫在自己年齡之前組成一個四位數(shù)，在這個數(shù)上加上母女兩人歲數(shù)之和是3658，問女孩和母親各多少歲？6. 寫出5個大于零的不同自然數(shù)，使其中任意三個自然數(shù)的和能被3整除，這5個自然數(shù)的和最小是

17、多少？7. 437×437××43740除以23的余數(shù)是多少？ 1994個4378.把310粒糖果分給五（1）班的同學(xué)，如果每個同學(xué)分得相同數(shù)量的糖果后還余下37粒且不夠繼續(xù)分，那么全班有多少人？9求323264648888被4除的余數(shù)。10分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后面第8888位上的數(shù)字是幾？11.今天是星期天，再過19591999天是星期幾？12求1151278803320除以11的余數(shù)。13用棄九法檢驗(yàn)下面運(yùn)算是事正確。（1）12567×89345=1122798645（2）3684×667=245722814.計(jì)算13332×1

18、3333×13331333×1333被7除的余數(shù)。15如果一個101位數(shù)3333N5555，這個數(shù)能被7整除，那么N等于多少？ 50個3 50個5第五節(jié) 數(shù)論常見考題分析【?？碱}型1：奇偶性及應(yīng)用】模擬題1：有一本500頁的書，從中任意撕下20張紙，這20張紙上的所有面碼之和能否是1999？模擬題2：試找出兩個整數(shù)，使大數(shù)與小數(shù)之和加上大數(shù)與小數(shù)之差，再加上1000等于1999如果找得出來，請寫出這兩個數(shù)，如果找不出來，請說明理由 模擬題3：桌子上有11個開口向上的杯子，現(xiàn)在允許每次同時翻動其中的6個，問能否經(jīng)過若干次翻動，使得11個杯子的開口全都向下？模擬題4：甲，乙，丙

19、三名選手參加長跑比賽起跑后甲處在第一的位置，在整個比賽過程中，甲與乙，甲與丙的位置次序共交換13次比賽結(jié)果甲是第幾名？【常考題型2：整數(shù)的整除】模擬題1：已知自然數(shù)A的各個數(shù)位上的數(shù)碼之和與3 A的各個數(shù)位上的數(shù)碼之和相等，證明A必能被9整除。模擬題2：兩個四位數(shù)A275和275B的乘積能被72整除，求A和B。 模擬題3：是一個三位數(shù)。它的百位數(shù)字是4，+9能被7整除，-7能被9整除，那么是多少？模擬題4：要使六位數(shù)能被36整除，而且所得的商最小，那么A=_，B=_C=_【常考題型3：質(zhì)數(shù)、合數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)】模擬題1：一個5位數(shù)，它的各位數(shù)字和為43，且能被11整除，求所有滿足條件的5位數(shù)？模

20、擬題2：將4個不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個不同的四位數(shù)（4×3×2×1=24）。將這24個四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個與第二十個的差在3000-4000之間。請求出這24個四位數(shù)中最大的一個。（7543）模擬題3：已知×××=，其中、分別表示不同的數(shù)字，那么四位數(shù)是多少？（7132）模擬題4：A、B兩數(shù)都只含有質(zhì)因數(shù)3和2，它們的最大公約數(shù)是36已知A有12個約數(shù)，B有8個約數(shù)，那么A+B=_.【?？碱}型4：約數(shù)與倍數(shù)】模擬題1：在一根長

21、木棍上，有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種刻度線把木棍分成12等份，第三種刻度線把木棍分成15等份，如果沿每條刻度線把木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？模擬題2：已知37×24是891的倍數(shù)，其中、各代表一個不同的數(shù)字，那么三位數(shù)代表的是多少？模擬題3：甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90，乙、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是105，甲、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是126，那么甲數(shù)是多少? 模擬題4：李老師帶領(lǐng)一班學(xué)生去種樹,學(xué)生恰好被平均分成四個小組,總共種樹667棵,如果師生每人種的棵數(shù)一樣多,那么這個班共有學(xué)生_人.【?？碱}型5：余數(shù)問題】模擬題1：有一個自然數(shù)，用它分別去除63，90，1

22、30都有余數(shù)，3個余數(shù)的和是25.這3個余數(shù)中最大的一個是多少？模擬題2：一個自然數(shù)在1000和1200之間，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合條件的數(shù)。模擬題3：一個大于1的自然數(shù)去除300，243，205時，得到相同的余數(shù)，則這個自然數(shù)是_模擬題4：一個大于10的自然數(shù)，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么滿足條件的自然數(shù)最小為多少【?？碱}型6：位值原理】模擬題1：將一個三位數(shù)的數(shù)字重新排列，在所得到的三位數(shù)中，用最大的減去最小的，正好等于原來的三位數(shù)，求原來的三位數(shù)。模擬題2：一個三位數(shù)，它等于抹去它的首位數(shù)字之后剩下的兩位數(shù)的4倍于25之差，求這個數(shù)模擬題3：a，b，c分

23、別是09中不同的數(shù)碼，用a，b，c共可組成六個三位數(shù)字，如果其中五個數(shù)字之和是2234，那么另一個數(shù)字是幾？模擬題4：有一個三位數(shù)，如果把數(shù)碼6加寫在它的前面，則可得到一個四位數(shù)，如果把6加寫在它的后面，則也可以得到一個四位數(shù)，且這兩個四位數(shù)之和是9999，求原來的三位數(shù)。【?？碱}型7：完全平方數(shù)】模擬題1：一個自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。模擬題2：求證：四個連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個奇數(shù)的平方模擬題3：求證：11,111,1111,這串?dāng)?shù)中沒有完全平方數(shù)模擬題4：甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十

24、元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應(yīng)該補(bǔ)給乙多少元？【綜合練習(xí)】1、小明爺爺釣魚回來，小明問：“爺爺您今天釣了多少魚呀?”爺爺說：“我今天甩出魚桿和提起魚桿共100次，可是有17次提起魚桿時沒釣著魚，其余每提一次就釣了一條魚，你說我今天釣了多少魚呀? 2、有12張卡片，其中有三張上面寫著1，三張寫著3，三張寫著5，三張寫著7問：能否從中選出五張，使它們上面的數(shù)字之和為20？為什么？ 3、有些四位數(shù)是7的倍數(shù)，且將它從中間劃分成前后兩個兩位數(shù)時，前面的數(shù)能被3整除，后面的數(shù)能被5整除，那么所有這樣的數(shù)中最小的一個是多少？4、三位數(shù)的百位、十位和個位的數(shù)字分別是5，和，將它連續(xù)重復(fù)寫99次成為：。如果此數(shù)能被91整除，那么這個三位數(shù)是多少？5、從左向右編號為1至1991號的1991名同學(xué)排成一行從左向右1至11報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為11的同學(xué)原地不動，其余同學(xué)出列；然后留下的同學(xué)再從左向右1至