第四章點和直線的投影

1、HVXOZYW 三投影面體系由三投影面體系由V、H、W三個投影面構(gòu)成。三個投影面構(gòu)成。 H、V、W面將空間分成八個分角，處在前、上、左側(cè)的那個分角稱面將空間分成八個分角，處在前、上、左側(cè)的那個分角稱為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。 HVXZYWOA 點的三面投影圖是將空間點向三個投影面作正投影后，將三點的三面投影圖是將空間點向三個投影面作正投影后，將三個投影面展開在同一個面后得到的。展開時，規(guī)定個投影面展開在同一個面后得到的。展開時，規(guī)定V面不動，面不動，H面向下旋轉(zhuǎn)面向下旋轉(zhuǎn)90 ，W面向右旋轉(zhuǎn)面向右旋轉(zhuǎn)90 。a aa Ha

2、aa VWXOZYWYHa aa XOZYWYH通常不畫出投影面的范圍通常不畫出投影面的范圍HVXZYWOayaxazxyza aa Ha aa VWXOZYWYHaxayazay3. 點的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系點的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系 若把三個投影面當(dāng)作空間直角坐標(biāo)面，投影軸當(dāng)作直角坐標(biāo)軸，若把三個投影面當(dāng)作空間直角坐標(biāo)面，投影軸當(dāng)作直角坐標(biāo)軸，則點的空間位置可用其（則點的空間位置可用其（X、Y、Z）三個坐標(biāo)來確定，點的投影）三個坐標(biāo)來確定，點的投影就反映了點的坐標(biāo)值，其投影與坐標(biāo)值之間存在著對應(yīng)關(guān)系。就反映了點的坐標(biāo)值，其投影與坐標(biāo)值之間存在著對應(yīng)關(guān)系。yAxAzAHVXZYWOay

3、axazxyza aa a aa XOZYWYHaxayazay 點的點的V面投影與面投影與H面投影之間的連線垂直于面投影之間的連線垂直于0X軸，即軸，即aa0X ；點的點的V面投影與面投影與W面投影之間的連線垂直面投影之間的連線垂直0Z軸，即軸，即a a“0Z；點；點的的H面投影到面投影到0X軸的距離及點的軸的距離及點的W面投影到面投影到0Z 軸的距離兩者相等軸的距離兩者相等，都反映點到，都反映點到V面的距離。面的距離。 長對正長對正 高平齊高平齊 寬相等寬相等OXb bc cHVOXCcca bBb Aaa a 投影面上的點 投影軸上的點 與原點重合的點ZYHXYWOa a aXOZYa

4、a ab b bBA 兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距離遠(yuǎn)近（或坐標(biāo)大?。﹣泶_定的。X坐標(biāo)值大的點在左；Y坐標(biāo)值大的點在前；Z坐標(biāo)值大的點在上。 XZYWYHOa a ab bb cc(d)da(b)abAB 若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。XYHZYWOc(d)ba(b)acda b c d 判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。a a aXZYWYHOb bb 121064.2 直線的投影直線的投影OXZY1 1 直線的三面投影直線的三面

5、投影ABbb a b aa ZXa b aOYYa bb 空間任何一直線可由直線上任意兩點所確定，直線在某一投影面的投影可由該直線上某兩點的同面投影所確定。2 2 直線對投影面的相對位置直線對投影面的相對位置 1.1.投影面平行線投影面平行線 平行于某一投影面，與另外兩個投影面傾斜的直線平行于某一投影面，與另外兩個投影面傾斜的直線 (1)(1) 水平線水平線 (2)(2) 正平線正平線 (3)(3) 側(cè)平線側(cè)平線 2.2.投影面垂直線投影面垂直線 垂直于某一投影面的直線垂直于某一投影面的直線 (1)(1) 鉛垂線鉛垂線 (2)(2) 正垂線正垂線 (3)(3) 側(cè)垂線側(cè)垂線 3.3.一般位置直

6、線一般位置直線 與三個投影面都傾斜的直線與三個投影面都傾斜的直線 水平線水平線 平行于水平投影面的直線平行于水平投影面的直線XZYOaababb Xa b ab OzYHYWbaAB投影特性：1. ab OX ; ab OYW 2. ab=AB 3. 反映、 角的真實大小XZYO正平線 平行于正面投影面的直線Xabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b =AB 3、反映、反映 、 角的真實大小角的真實大小aababbXZYO側(cè)平線 平行于側(cè)面投影面的直線XZOYHYWa b babaAB投影特性：投影特性： 1、a b OZ ; ab O

7、YH 2、a b =AB 3 、反映、反映 、 角的真實大小角的真實大小aa b a bbOXZYZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：投影特性：1、a b 積聚積聚 成一點成一點 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB鉛垂線 垂直于水平投影面的直線ABb a(b)a ab正垂線 垂直于正面投影面的直線OXZY投影特性：投影特性： 1、 a b 積聚積聚 成一點成一點 2 、 ab OX ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABABzXab baOYHYWabbababa側(cè)垂線 垂直于側(cè)面投影面的直線OXZYAB投影特性：投影特性： 1、a b

8、積聚積聚 成一點成一點 2 、 ab OYH ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABbaababZXabbaOYHYWabOXZY 一般位置直線ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：投影特性：1、a b、 a b 、a b 均小于實長均小于實長 2 、a b、a b 、a b 均傾斜于投影軸均傾斜于投影軸 3 、 不反映不反映 、 、 實角實角直線上的點具有兩個特性： 1 從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。 2 定比性 屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即A C: C B = a

9、 c : c b= ac : cb = ac : c b 利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點或判斷已知點是否在側(cè)平線上。 3 3 直線上的點直線上的點ABbbaaXOccCcb Xa abcc 例例3 已知線段已知線段AB的投影圖，試將的投影圖，試將AB分成分成1：2兩段，求分點兩段，求分點C的投影。的投影。O 一般位置線段在投影圖上反映不出線段的實長及對投一般位置線段在投影圖上反映不出線段的實長及對投影面的傾角。影面的傾角。 1.幾何分析幾何分析 2.作圖要領(lǐng)作圖要領(lǐng) 用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩

10、端點相對于該投影面的坐標(biāo)差作為另一條直角以線段的兩端點相對于該投影面的坐標(biāo)差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。 3.直角三角形直角三角形的四個要素的四個要素 實長、投影長、坐標(biāo)差及直線對投影面的傾角實長、投影長、坐標(biāo)差及直線對投影面的傾角。已知。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。4 一般位置線段的實長及對投影面的傾角一般位置線段的實長及對投影面的傾角|zA-zB |ABABbbaaCXO|zA-zB

11、|XaabbABab|zA-zB|OaXa bAOBb0bb0bb0b b XbaadbbccABCDXbaabdcdc1. 兩直線平行OO 空間兩直線平行，則其各空間兩直線平行，則其各同同面投影面投影必相互平行，反之亦然。必相互平行，反之亦然。abcdc a b d 例例1：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。 對于一般位置直對于一般位置直線，只要有兩個同名線，只要有兩個同名投影互相平行，空間投影互相平行，空間兩直線就平行。兩直線就平行。AB/CDxb d c a cbadd b a c 對于特殊位置直線，對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相只有兩個同名投影互相平行，空間

12、直線不一定平行，空間直線不一定平行。平行。求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)面投影后可知：AB與與CD不平行。不平行。例例2：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影如何判斷？如何判斷？bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkkOO 若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。cabb a c d k kd例例3：過：過C點點作水平線作水平線CD與與AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影ox思考：如果給出CD的長度，解題過程有何變化？d b a

13、 abcdc1 (2 )3(4 ) 兩直線交叉兩直線交叉投影特性投影特性： 同面投影可能相交，同面投影可能相交，但但 “交點交點”不符合空間不符合空間一個點的投影規(guī)律一個點的投影規(guī)律。 “交點交點”是兩直線上是兩直線上的一的一 對對重影點的投影重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線用其可幫助判斷兩直線的空間位置。的空間位置。、是面的重影點，是面的重影點，、是是H面的重影點。面的重影點。為什么？為什么？123 4 兩直線相交嗎？兩直線相交嗎？XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)43341 2 12 判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點投影可見，反之

14、不可見，不可見點的投影加括號表示。bbcddcXaa3(4)34121(2)例例7 7 判斷兩直線重影點的可見性判斷兩直線重影點的可見性O(shè)AHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面平行線時，則兩直線在投影面上的投影必定互相平行。平行線時，則兩直線在投影面上的投影必定互相平行。 反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其中一條直線平行于該投影面時，則空間兩直線一定平行。中一條直線平行于該投影面時，則空間兩直線一定平行。ObbaaOfeefX例例8 8 過點過點A A

15、作作EF EF 線段的垂線線段的垂線ABAB。求點求點E E 到水平線到水平線ABAB的距離。的距離。XOababeeddyD-yE所求距離例例10 作三角形作三角形ABC， ABC為直角，使為直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3。bbcABab|yA-yB|bc=BCcnmaaXmnO 1.1.熟練掌握點在第一分角中的投影規(guī)律及點熟練掌握點在第一分角中的投影規(guī)律及點的投影與該點直角坐標(biāo)的關(guān)系；掌握兩點的相的投影與該點直角坐標(biāo)的關(guān)系；掌握兩點的相對位置及重影點可見性的判別。對位置及重影點可見性的判別。 2.2.熟練掌握各種位置直線的投影特性和作熟練掌握各種位置直線的投影特性和作圖方法；掌握直線上的點的投