[理學(xué)]2011張量ppt課件

1、張量分析張量分析 Tensor第 2 課vzyx能源與動力工程學(xué)院2指標(biāo)一致性法則指標(biāo)一致性法則 表達(dá)式中各項(xiàng)（指標(biāo)項(xiàng)）的自由標(biāo)個(gè)數(shù)(為表達(dá)式展開的個(gè)數(shù))、指標(biāo)符號必須一致，各項(xiàng)指標(biāo)的符號可同時(shí)替換。各項(xiàng)中啞標(biāo)必須成對出現(xiàn)（不能有兩個(gè)以上相同的啞標(biāo)符號），符號可任換，各項(xiàng)的展開項(xiàng)數(shù)由啞標(biāo)數(shù)決定。在指標(biāo)符號不變的情況下指標(biāo)式的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則與常規(guī)代數(shù)式運(yùn)算規(guī)則 相同(這是由代數(shù)運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律等代數(shù)運(yùn)算規(guī)則所保證的。).3i i332211aaaa,iii333222111aaaa伴隨標(biāo)伴隨標(biāo)隨其余指標(biāo)隨其余指標(biāo)變化，但不參加求變化，但不參加求和運(yùn)算和運(yùn)算指標(biāo)一致性法則指標(biāo)一致性法則k

2、iijjkxxxxjjikix xx xkiijjikixxxxkijjikix xx xijkijkixxx x問題問題2 2？4例例1 1已知，自然基下已知，自然基下,j123jai另有任意標(biāo)準(zhǔn)正另有任意標(biāo)準(zhǔn)正交基交基eieieiei11112131k k22122232k kjjk k33132333k keeeeeeeeeeeeeaaeiiijj有有試證試證aiijijea e1.2 點(diǎn)積與歐氏空間e1e2e3x3x2x1i1i3i25證：證： 又又eiiijmjk kmjkjmeeekmeijjk keeijkjkeaaamiimjjmijm jmjm jeea eeeieimaae

3、iiijjaiijijea eaa e ea e ea e ea e eii1122331.2 點(diǎn)積與歐氏空間6aiijjeaaa111112213311121312211222233212223233113223333132332eeeeeeeeeeeeeeeeee a e1.2 點(diǎn)積與歐氏空間7第一章第一章 向量與坐標(biāo)向量與坐標(biāo)1.1 1.1 向量與向量空向量與向量空間間1.2 1.2 點(diǎn)積與歐氏空間點(diǎn)積與歐氏空間1.3 1.3 叉積與軸向量叉積與軸向量1.4 1.4 混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向1.5 1.5 并積與向量誘導(dǎo)空間并積與向量誘導(dǎo)空間1.6 1.6 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換坐

4、標(biāo)系與坐標(biāo)變換1.3 叉積與軸向量8叉積與軸向量叉積與軸向量roPflmnsin( ,)rfr fr fnl m 標(biāo)準(zhǔn)正交基（右手系）標(biāo)準(zhǔn)正交基（右手系） 軸向量：方向與向量組轉(zhuǎn)向有關(guān)（力矩、角轉(zhuǎn)速,等） 極向量：方向直接由物理意義確定（力、速度等）由向量代數(shù)知，叉積有如下運(yùn)算法則成立由向量代數(shù)知，叉積有如下運(yùn)算法則成立(下一頁下一頁)1.3 叉積與軸向量9 babaabbacbcacbajjiibagg ba 332211332211bbbaaaggggggjijibagg 由此 任意基向量任意基向量 為標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí)( )可引入可引入 置換符號置換符號 簡化簡化 igbakjk

5、jbaee 適用右手系適用右手系 ieikjijkbae321321321ikjkj,i,ijkbbbaaaba1-eeee iijkkjeee適用直適用直角系角系1.3 叉積與軸向量10置換符號置換符號ijke1e2e3ijk 的偶排列 123 ,231, 312 正循環(huán)排列ijk 的奇排列 132 ,321, 213 逆循環(huán)排列ijk 的重復(fù)排列011ijk不重復(fù)排列逆序數(shù)不重復(fù)排列逆序數(shù)等價(jià)于等價(jià)于kj,i,1對于右手系對于右手系 iijkkjeee133232223112332eeeeee133322232113223eeeeee033222222112222eeeee1.4 混合積與

6、坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向11混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向bcaba321321321cccbbbaaacbacba,kkjjiicbaeeekjikjicbaeeekmmijkjicbaeemkmijkjicbakjiijkcbacba,iijkkjeee右手系右手系利用置換特性得利用置換特性得混合積可用來表示行列混合積可用來表示行列式以及式以及判斷坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向判斷坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向1.4 混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向12坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向e1e2e3e2e1e3 右手系右手系 左左手系手系,gggGV12300VG1g2g3g21gg ,VeeeE12311 右手系右手系 左左手系手系1.4 混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向13

7、直角坐標(biāo)系（左右手）直角坐標(biāo)系（左右手）e1e2e3e2e1e3iabeEj kVa bijk, ,a b cEijkVab cijk,eeeeee i1i2i31m1n1ijkmnj1j2j3m2n2k1k2k3m3n3eeeeeeeeeeeeeeeeeeijklmn1.4 混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向14 與與 的關(guān)系的關(guān)系ijkijiijkkjeee由 右手系右手系設(shè)由矩陣乘法的行列式性質(zhì)由矩陣乘法的行列式性質(zhì),i1i2i3eeeeieeeeejkmijkimijkimmjkjkm,eeeijkijke ee ee eeeeeeeeeeeeeirrir mrir nriiminjrrjr mrjr

8、 nrjjmjnkrrkr mrkr nrkkmkne ee ee ee ee ee ee ee ee e iimikijklmkjjmjkkkijmimjkkmkkjkikmimkikkmjkjmijmimjijmimjijmimj1.4 混合積與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)向153按第三列展開按第三列展開 iiminijkmnjjmjnkkmkn ijklmkijmimj16例例2 2證明證： ab ca c ba b cab c jmmmjmijmjjiiab ca b ca b ca c ba b cijkkijkkijmimj ab cea cea beiiiiiibc ab ca c ba b c問題

9、問題4 4？17例例3 3j3jj2jj1jBABABA3k32k21k1BABABA333232131323222121313212111BABABABABABA BABABA jkjBA展開jkjBA18練習(xí)一練習(xí)一j ji ii ii ij ji ijjuuuftxxijijS SijijklklC 1.1 將指標(biāo)式展開為分量式1.2 將分量式寫為指標(biāo)式321321333231232221131211bbbxxxaaaaaaaaa19dzzudyyudxxududzzudyyudxxududzzudyyudxxuduzzzzyyyyxxxx201.3 利用 特性簡化下式j(luò)A Bijik jkB C Ailjkiij ijij ijikjk ijkkij21cabacba1.5利用點(diǎn)積基本特性（見公理化定義）證明： baba baba 1.4利用指標(biāo)法證明 a bc da cb da db c221.6利用向量基本特性（見公理化定義）及叉積基本運(yùn)算特性:kjkjbagg bacabacba證明： babaabbacbcacbababa baba 1.1 向量與向量空間23問題問題1e1e2e3x3x2i1i3i2若基向量為非自然基若基向量為非自然基，向量能否寫為，向量能否寫為? ?,aeee1 12233123aaaaaax12 2 判