幾何概型和概率的公理化定義

1、一、幾何概型一、幾何概型三、小結(jié)三、小結(jié)1.4 幾何概型和概率的公理化定義二、概率的公理化定義二、概率的公理化定義 把有限個(gè)樣本點(diǎn)推廣到無(wú)限個(gè)樣本點(diǎn)把有限個(gè)樣本點(diǎn)推廣到無(wú)限個(gè)樣本點(diǎn)的場(chǎng)合的場(chǎng)合,人們引入了人們引入了幾何概型幾何概型. 由此形成了由此形成了確定概率的另一方法確定概率的另一方法 幾何方法幾何方法. 概率的古典定義具有可計(jì)算性的優(yōu)點(diǎn)概率的古典定義具有可計(jì)算性的優(yōu)點(diǎn), ,但但它也有明顯的局限性它也有明顯的局限性. .要求樣本要求樣本點(diǎn)有限點(diǎn)有限,如果樣如果樣本空間中的樣本點(diǎn)有無(wú)限個(gè)本空間中的樣本點(diǎn)有無(wú)限個(gè), 概率的古典定義概率的古典定義就不適用了就不適用了. .一、幾何概率定義定義,0

2、( ),.m 若對(duì)于一隨機(jī)試驗(yàn) 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)是等可能的樣本空間 所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為無(wú)窮多個(gè) 且具有非零的有限的幾何度量 即則稱這一隨機(jī)試驗(yàn)是一幾何概型的定義定義1.5 當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并并且任意一點(diǎn)落在度量且任意一點(diǎn)落在度量 (長(zhǎng)度長(zhǎng)度, 面積面積, 體積體積) 相同的子相同的子區(qū)域是等可能的區(qū)域是等可能的,則事件則事件 A 的概率可定義為的概率可定義為)()()(mAmAP 說(shuō)明說(shuō)明 當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無(wú)窮多個(gè)時(shí)當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無(wú)窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概率就歸結(jié)為幾何概率.)(,)(幾幾何何概概率率規(guī)規(guī)定定的的概概率率稱稱為為

3、量量來(lái)來(lái)合合理理這這樣樣借借助助于于幾幾何何上上的的度度的的子子區(qū)區(qū)域域的的度度量量是是構(gòu)構(gòu)成成事事件件是是樣樣本本空空間間的的度度量量其其中中AAmm 幾何概型的概率的性質(zhì)幾何概型的概率的性質(zhì)0()1;p A(1) 對(duì)任一事件對(duì)任一事件A ,有有210PP( )(),();)()()(,)3(212121APAPAAPAA個(gè)事件個(gè)事件對(duì)于兩兩互斥的可列多對(duì)于兩兩互斥的可列多 那末那末.0,0TyTx 兩人會(huì)面的充要條件為兩人會(huì)面的充要條件為, tyx 例例1 甲、乙兩人相約在甲、乙兩人相約在 0 到到 T 這段時(shí)間內(nèi)這段時(shí)間內(nèi), 在預(yù)在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面定地點(diǎn)會(huì)面. 先到的人等候另一個(gè)人先到的人等

4、候另一個(gè)人, 經(jīng)過(guò)時(shí)間經(jīng)過(guò)時(shí)間 t( t0)的一些平行直的一些平行直線線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長(zhǎng)為現(xiàn)向此平面任意投擲一根長(zhǎng)為b( a )的針的針,試求試求針與任一平行直線相交的概率針與任一平行直線相交的概率.解解,直線的距離直線的距離到最近的一條平行到最近的一條平行針的中點(diǎn)針的中點(diǎn)表示針投到平面上時(shí)表示針投到平面上時(shí)以以Mxax M.夾夾角角表表示示針針與與該該平平行行直直線線的的 .),(完完全全確確定定置置可可由由那那么么針針落落在在平平面面上上的的位位 x蒲豐資料蒲豐資料ax M由投擲的任意性可知由投擲的任意性可知,這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題.0 ,sin20 bx.,|

5、 ),(中中的的所所有有點(diǎn)點(diǎn)一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)與與矩矩形形區(qū)區(qū)域域果果投投針針試試驗(yàn)驗(yàn)的的所所有有可可能能結(jié)結(jié) 020axx中中的的點(diǎn)點(diǎn)滿滿足足發(fā)發(fā)生生的的充充分分必必要要條條件件為為針針與與任任一一平平行行直直線線相相交交所所關(guān)關(guān)心心的的事事件件 A的面積的面積GmGmAP )()()(2dsin20 ab .ab2ab 2蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義2)(abAP 那那么么的的近近似似值值代代入入上上式式作作為為即即可可則則頻頻率率值值的的次次數(shù)數(shù)算算出出針針與與平平行行直直線線相相交交很很大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)投投針針試試驗(yàn)驗(yàn)次次數(shù)數(shù)根根據(jù)據(jù)頻頻率率的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性,)(,APn

6、mmn,2abnm .2ambn . 的近似值的近似值利用上式可計(jì)算圓周率利用上式可計(jì)算圓周率歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離直線距離a=1) 3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.1596253250000.81850Wolf相交次數(shù)相交次數(shù)投擲次數(shù)投擲次數(shù)針長(zhǎng)針長(zhǎng)時(shí)間時(shí)間試驗(yàn)者試驗(yàn)者的近似值的近似值 1933年年

7、, 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛱岢隽烁盘K聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛱岢隽烁怕收摰墓砘Y(jié)構(gòu)率論的公理化結(jié)構(gòu) ,給出了概率的嚴(yán)格定義給出了概率的嚴(yán)格定義 ,使概使概率論有了迅速的發(fā)展率論有了迅速的發(fā)展.二、概率的公理化定義與性質(zhì)柯?tīng)柲缏宸蛸Y料柯?tīng)柲缏宸蛸Y料; 1)(0,:(1) APA 有有對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)事事件件有有界界性性;)(,:(2)1 P 有有對(duì)對(duì)于于必必然然事事件件規(guī)規(guī)范范性性則則有有即即對(duì)對(duì)于于事事件件是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的設(shè)設(shè), 2, 1,: (3)21 jiAAjiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率

8、的定義概率的定義1.71.7:)(.),(,.,滿滿足足下下列列條條件件如如果果集集合合函函數(shù)數(shù)的的概概率率稱稱為為事事件件記記為為賦賦予予一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)每每一一事事件件的的對(duì)對(duì)于于是是它它得得樣樣本本空空間間是是隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)設(shè)設(shè) PAAPAEE. 0)()1( P證明證明 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 )()()()()(PPPPP0)( P. 0)( P2. 性質(zhì)性質(zhì)概率的有限可加性概率的有限可加性證明證明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).

9、()()(21nAPAPAP 則則有有是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ),()().()()(,)3(BPAPAPBPABPBABA 則則且且為為兩兩個(gè)個(gè)事事件件設(shè)設(shè)證明證明BA,BA 因因?yàn)闉?.(ABAB 所以所以,)( AAB又又)()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于于是是).(1)(,)4(APA PAA 則則的的對(duì)對(duì)立立事事件件是是設(shè)設(shè),)(,1 PAAAA因因?yàn)闉?.(1)(APAP 證明證明)()(AAPP 1所以所以)(

10、)(APAP ).()()()(,)()5(ABPBPAPBAPBA 有有對(duì)對(duì)于于任任意意兩兩事事件件加加法法公公式式證明證明AB由圖可得由圖可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性質(zhì)又由性質(zhì) 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 推廣推廣 - 三個(gè)事件和的情況三個(gè)事件和的情況)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 個(gè)事件和的情況個(gè)事件和的情況)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1(

11、)(2111nnnkjikjiAAAPAAAP v定義 :對(duì)于F上的集合函數(shù)P，若對(duì)于F中的任一單調(diào)不減集合序列An,有l(wèi)im()(lim)nnnnPAPA 則稱集合函數(shù)則稱集合函數(shù)P P在在F F上是下連續(xù)的，其中上是下連續(xù)的，其中1l i mnnnnAAU定理定理: 若若P是是F上的非負(fù)規(guī)范的集函數(shù)，則上的非負(fù)規(guī)范的集函數(shù)，則P具具有可列可加性的充要條件是（有可列可加性的充要條件是（1)P是有限可加是有限可加的；的；(2)P是是F上是下連續(xù)的。上是下連續(xù)的。解解( ),iAP B令=第i張封信恰好裝進(jìn)第i個(gè)信封11(),()1niiiP AP Anni=1則所求概率為P(),易知U1111

12、(),;()2(1)(1)2!ijijij nnP AAijP AAn nn n nnnn (匹配問(wèn)題）某人一次寫(xiě)了 封信，又寫(xiě)了 個(gè)信封，如果他任意地將 張信紙裝入 個(gè)信封中，問(wèn)至少有一封信的信紙和信封是一致的概率是多少？例例 1 1v同理可得11211()3(1)(2)3!.1(.),!ijKijknnnP A A An nnnP A AAnn 1.( 1)n nii=1由概率的一般加法公式得到：111 P(A )=1-2!3!n!U解解),()()1(BPABP 由由圖圖示示得得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由圖示得由圖示得.613121 .81)()3

13、(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互互斥斥與與的的值值三三種種情情況況下下求求在在下下列列和和的的概概率率分分別別為為設(shè)設(shè)事事件件BAAB例例2 2,)3(ABABA 由由圖圖示示得得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP )()()(ABPBPABP 因因而而.838121 , ABA且且 ABAB354,42?例從 雙不同的鞋子中任取 只 求 只鞋子中至少有 只鞋子配成一雙的概率是多少成成一一雙雙只只鞋鞋子子中中至至少少有有兩兩只只配配設(shè)設(shè)解解4A一雙一雙只鞋子中恰有兩只配成只鞋子中恰有兩只配成41A雙雙只只鞋鞋子子恰恰好好

14、配配成成 242A2121AAA且,AA于是)()()()(2121APAPAAPAP則則41025410224152CCCCC2113只只鞋鞋子子都都不不能能配配成成雙雙設(shè)設(shè)另另解解4A4104452)(CCAP 218)(1)(APAP則則21132181例例4 在在12000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問(wèn)取到問(wèn)取到的整數(shù)既不能被的整數(shù)既不能被6整除整除, 又不能被又不能被8整除的概率是整除的概率是多少多少 ? 設(shè)設(shè) A 為事件為事件“取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被6整除整除”,B為事件為事件“取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被8整除整除”則所求概率為則所求概率為).(BAP)()(BA

15、PBAP )(1BAP ).()()(1ABPBPAP 解解,33462000333 因因?yàn)闉?2000333)( AP所所以以,8424200083 由由于于.200083)( ABP得得于是所求概率為于是所求概率為)(BAP 200083200025020003331)()()(1ABPBPAP .43 .2000250)( BP故得故得,25082000 由于由于2. 最簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象最簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象古典概型古典概型 古典概率古典概率三、小結(jié)1. 頻率頻率 (波動(dòng)波動(dòng)) 概率概率(穩(wěn)定穩(wěn)定). n中中的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)總總數(shù)數(shù)中中包包含含的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)AnmAP )( 幾何概型幾何概型 )()()( mAmAP幾何概率幾何概率(無(wú)限等可能情形無(wú)限等可能情形).()()(),()(,)5(BPAPBAPBPAPBABA 則則且且為兩個(gè)事件為兩個(gè)事件設(shè)設(shè)4. 概率的主要性概率的主要性質(zhì)質(zhì), 1)(0) 1 ( AP;)(,)(01 PP);(1)()2(APAP );()()()(,)4();()()()()3(ABPAPABAPBAPBAABPBPAPBAP 為為兩兩個(gè)個(gè)任任意意事事件件，則則