幾何概型和概率的公理化定義

1、一、幾何概型一、幾何概型三、小結(jié)三、小結(jié)1.4 幾何概型和概率的公理化定義二、概率的公理化定義二、概率的公理化定義 把有限個樣本點推廣到無限個樣本點把有限個樣本點推廣到無限個樣本點的場合的場合,人們引入了人們引入了幾何概型幾何概型. 由此形成了由此形成了確定概率的另一方法確定概率的另一方法 幾何方法幾何方法. 概率的古典定義具有可計算性的優(yōu)點概率的古典定義具有可計算性的優(yōu)點, ,但但它也有明顯的局限性它也有明顯的局限性. .要求樣本要求樣本點有限點有限,如果樣如果樣本空間中的樣本點有無限個本空間中的樣本點有無限個, 概率的古典定義概率的古典定義就不適用了就不適用了. .一、幾何概率定義定義,0

2、( ),.m 若對于一隨機(jī)試驗 每個樣本點出現(xiàn)是等可能的樣本空間 所含的樣本點個數(shù)為無窮多個 且具有非零的有限的幾何度量 即則稱這一隨機(jī)試驗是一幾何概型的定義定義1.5 當(dāng)隨機(jī)試驗的樣本空間是某個區(qū)域當(dāng)隨機(jī)試驗的樣本空間是某個區(qū)域,并并且任意一點落在度量且任意一點落在度量 (長度長度, 面積面積, 體積體積) 相同的子相同的子區(qū)域是等可能的區(qū)域是等可能的,則事件則事件 A 的概率可定義為的概率可定義為)()()(mAmAP 說明說明 當(dāng)古典概型的試驗結(jié)果為連續(xù)無窮多個時當(dāng)古典概型的試驗結(jié)果為連續(xù)無窮多個時,就歸結(jié)為幾何概率就歸結(jié)為幾何概率.)(,)(幾幾何何概概率率規(guī)規(guī)定定的的概概率率稱稱為為

3、量量來來合合理理這這樣樣借借助助于于幾幾何何上上的的度度的的子子區(qū)區(qū)域域的的度度量量是是構(gòu)構(gòu)成成事事件件是是樣樣本本空空間間的的度度量量其其中中AAmm 幾何概型的概率的性質(zhì)幾何概型的概率的性質(zhì)0()1;p A(1) 對任一事件對任一事件A ,有有210PP( )(),();)()()(,)3(212121APAPAAPAA個事件個事件對于兩兩互斥的可列多對于兩兩互斥的可列多 那末那末.0,0TyTx 兩人會面的充要條件為兩人會面的充要條件為, tyx 例例1 甲、乙兩人相約在甲、乙兩人相約在 0 到到 T 這段時間內(nèi)這段時間內(nèi), 在預(yù)在預(yù)定地點會面定地點會面. 先到的人等候另一個人先到的人等

4、候另一個人, 經(jīng)過時間經(jīng)過時間 t( t0)的一些平行直的一些平行直線線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b( a )的針的針,試求試求針與任一平行直線相交的概率針與任一平行直線相交的概率.解解,直線的距離直線的距離到最近的一條平行到最近的一條平行針的中點針的中點表示針投到平面上時表示針投到平面上時以以Mxax M.夾夾角角表表示示針針與與該該平平行行直直線線的的 .),(完完全全確確定定置置可可由由那那么么針針落落在在平平面面上上的的位位 x蒲豐資料蒲豐資料ax M由投擲的任意性可知由投擲的任意性可知,這是一個幾何概型問題這是一個幾何概型問題.0 ,sin20 bx.,|

5、 ),(中中的的所所有有點點一一一一對對應(yīng)應(yīng)與與矩矩形形區(qū)區(qū)域域果果投投針針試試驗驗的的所所有有可可能能結(jié)結(jié) 020axx中中的的點點滿滿足足發(fā)發(fā)生生的的充充分分必必要要條條件件為為針針與與任任一一平平行行直直線線相相交交所所關(guān)關(guān)心心的的事事件件 A的面積的面積GmGmAP )()()(2dsin20 ab .ab2ab 2蒲豐投針試驗的應(yīng)用及意義蒲豐投針試驗的應(yīng)用及意義2)(abAP 那那么么的的近近似似值值代代入入上上式式作作為為即即可可則則頻頻率率值值的的次次數(shù)數(shù)算算出出針針與與平平行行直直線線相相交交很很大大時時當(dāng)當(dāng)投投針針試試驗驗次次數(shù)數(shù)根根據(jù)據(jù)頻頻率率的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性,)(,APn

6、mmn,2abnm .2ambn . 的近似值的近似值利用上式可計算圓周率利用上式可計算圓周率歷史上一些學(xué)者的計算結(jié)果歷史上一些學(xué)者的計算結(jié)果(直線距離直線距離a=1) 3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.1596253250000.81850Wolf相交次數(shù)相交次數(shù)投擲次數(shù)投擲次數(shù)針長針長時間時間試驗者試驗者的近似值的近似值 1933年年

7、, 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)率論的公理化結(jié)構(gòu) ,給出了概率的嚴(yán)格定義給出了概率的嚴(yán)格定義 ,使概使概率論有了迅速的發(fā)展率論有了迅速的發(fā)展.二、概率的公理化定義與性質(zhì)柯爾莫哥洛夫資料柯爾莫哥洛夫資料; 1)(0,:(1) APA 有有對對于于每每一一個個事事件件有有界界性性;)(,:(2)1 P 有有對對于于必必然然事事件件規(guī)規(guī)范范性性則則有有即即對對于于事事件件是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的設(shè)設(shè), 2, 1,: (3)21 jiAAjiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率

8、的定義概率的定義1.71.7:)(.),(,.,滿滿足足下下列列條條件件如如果果集集合合函函數(shù)數(shù)的的概概率率稱稱為為事事件件記記為為賦賦予予一一個個實實數(shù)數(shù)每每一一事事件件的的對對于于是是它它得得樣樣本本空空間間是是隨隨機(jī)機(jī)試試驗驗設(shè)設(shè) PAAPAEE. 0)()1( P證明證明 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 )()()()()(PPPPP0)( P. 0)( P2. 性質(zhì)性質(zhì)概率的有限可加性概率的有限可加性證明證明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).

9、()()(21nAPAPAP 則則有有是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ),()().()()(,)3(BPAPAPBPABPBABA 則則且且為為兩兩個個事事件件設(shè)設(shè)證明證明BA,BA 因因為為).(ABAB 所以所以,)( AAB又又)()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于于是是).(1)(,)4(APA PAA 則則的的對對立立事事件件是是設(shè)設(shè),)(,1 PAAAA因因為為).(1)(APAP 證明證明)()(AAPP 1所以所以)(

10、)(APAP ).()()()(,)()5(ABPBPAPBAPBA 有有對對于于任任意意兩兩事事件件加加法法公公式式證明證明AB由圖可得由圖可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性質(zhì)又由性質(zhì) 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 推廣推廣 - 三個事件和的情況三個事件和的情況)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 個事件和的情況個事件和的情況)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1(

11、)(2111nnnkjikjiAAAPAAAP v定義 :對于F上的集合函數(shù)P，若對于F中的任一單調(diào)不減集合序列An,有l(wèi)im()(lim)nnnnPAPA 則稱集合函數(shù)則稱集合函數(shù)P P在在F F上是下連續(xù)的，其中上是下連續(xù)的，其中1l i mnnnnAAU定理定理: 若若P是是F上的非負(fù)規(guī)范的集函數(shù)，則上的非負(fù)規(guī)范的集函數(shù)，則P具具有可列可加性的充要條件是（有可列可加性的充要條件是（1)P是有限可加是有限可加的；的；(2)P是是F上是下連續(xù)的。上是下連續(xù)的。解解( ),iAP B令=第i張封信恰好裝進(jìn)第i個信封11(),()1niiiP AP Anni=1則所求概率為P(),易知U1111

12、(),;()2(1)(1)2!ijijij nnP AAijP AAn nn n nnnn (匹配問題）某人一次寫了 封信，又寫了 個信封，如果他任意地將 張信紙裝入 個信封中，問至少有一封信的信紙和信封是一致的概率是多少？例例 1 1v同理可得11211()3(1)(2)3!.1(.),!ijKijknnnP A A An nnnP A AAnn 1.( 1)n nii=1由概率的一般加法公式得到：111 P(A )=1-2!3!n!U解解),()()1(BPABP 由由圖圖示示得得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由圖示得由圖示得.613121 .81)()3

13、(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互互斥斥與與的的值值三三種種情情況況下下求求在在下下列列和和的的概概率率分分別別為為設(shè)設(shè)事事件件BAAB例例2 2,)3(ABABA 由由圖圖示示得得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP )()()(ABPBPABP 因因而而.838121 , ABA且且 ABAB354,42?例從 雙不同的鞋子中任取 只 求 只鞋子中至少有 只鞋子配成一雙的概率是多少成成一一雙雙只只鞋鞋子子中中至至少少有有兩兩只只配配設(shè)設(shè)解解4A一雙一雙只鞋子中恰有兩只配成只鞋子中恰有兩只配成41A雙雙只只鞋鞋子子恰恰好好

14、配配成成 242A2121AAA且,AA于是)()()()(2121APAPAAPAP則則41025410224152CCCCC2113只只鞋鞋子子都都不不能能配配成成雙雙設(shè)設(shè)另另解解4A4104452)(CCAP 218)(1)(APAP則則21132181例例4 在在12000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個數(shù)的整數(shù)中隨機(jī)地取一個數(shù),問取到問取到的整數(shù)既不能被的整數(shù)既不能被6整除整除, 又不能被又不能被8整除的概率是整除的概率是多少多少 ? 設(shè)設(shè) A 為事件為事件“取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被6整除整除”,B為事件為事件“取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被8整除整除”則所求概率為則所求概率為).(BAP)()(BA

15、PBAP )(1BAP ).()()(1ABPBPAP 解解,33462000333 因因為為,2000333)( AP所所以以,8424200083 由由于于.200083)( ABP得得于是所求概率為于是所求概率為)(BAP 200083200025020003331)()()(1ABPBPAP .43 .2000250)( BP故得故得,25082000 由于由于2. 最簡單的隨機(jī)現(xiàn)象最簡單的隨機(jī)現(xiàn)象古典概型古典概型 古典概率古典概率三、小結(jié)1. 頻率頻率 (波動波動) 概率概率(穩(wěn)定穩(wěn)定). n中中的的樣樣本本點點總總數(shù)數(shù)中中包包含含的的樣樣本本點點數(shù)數(shù)AnmAP )( 幾何概型幾何概型 )()()( mAmAP幾何概率幾何概率(無限等可能情形無限等可能情形).()()(),()(,)5(BPAPBAPBPAPBABA 則則且且為兩個事件為兩個事件設(shè)設(shè)4. 概率的主要性概率的主要性質(zhì)質(zhì), 1)(0) 1 ( AP;)(,)(01 PP);(1)()2(APAP );()()()(,)4();()()()()3(ABPAPABAPBAPBAABPBPAPBAP 為為兩兩個個任任意意事事件件，則則