空間直角坐標(biāo)系和空間向量典型例題

1、空間直角坐標(biāo)系與空間向量一、建立空間直角坐標(biāo)系的幾種方法構(gòu)建原則：遵循對稱性，盡可能多的讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上作法：充分利用圖形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來建立空間直角坐標(biāo)系類型舉例如下：一)用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系例1已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA=2，底面ABCD是直角梯形，ZA為直角，ABHCD,AB=4,AD=2,DC=1,求異面直線BC1與DC所成角的余弦值.解析：如圖1,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則q(0,1,2)、B(2,4,0),uuuuruuur.Bq=(-2,-3,2),CD二(0,-1,0).

2、uuuuruuruuuuuruuur3117設(shè)BC1與CD所成的角為0,BCgCDouruurBCCDi二)利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例2如圖2,在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB丄側(cè)面BBCC,E為棱CC1上異于C、C1的一點(diǎn)，EA丄EB1.已知AB=訂2,BB=2,BC=1,BCC=3求二面角A-EB1-A1的平面角的正切值.解析：如圖2,以B為原點(diǎn)，分別以BB、BA所在直線為y軸、z軸，過B點(diǎn)垂直于平面AB1的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于BC=1,BB=2,AB=邁,ZBCq=.在三棱柱ABC-A1B1C1中，有B(0,0,0)、A(0,0,伍)、B(0,2,0)、C，-2，

3、、C1律,3,0設(shè)E竺,a,。22J<2丿由EA丄EB,13且2<a<Yuuuruuur得EAgEB=0,a,2f8-巫,2a,02丿k2丿即f1f3gak2丿2丿=0,33=+a(a2)=a22a+=0,44uuuruuuruuuuruuur由已知有EA丄EBi,BA丄EB1,即a=2或a=3（舍去）故E篙,0.uuuuruur故二面角AEBA】的平面角0的大小為向量牛A1與EA的夾角umruuruur(因BA=BA=(0X),2),EA=ii故cos0=uuuruuuurEAgBAuurtuiur列BiAx'22=73，即tan0=T（三）利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角

4、坐標(biāo)系例3如圖3,在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD丄底面ABCD.（1）證明AB丄平面VAD；Xry2）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.解析：（1）取AD的中點(diǎn)0為原點(diǎn)，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AD=2，貝IA(1,0,0)、D(-1,0，0）、B（1，2，0）、V（0，0，;，3),uuurAB=0，2，uur0),VA=(1,0，uuruur由ABgVA=(0,2,0)8(10,v3)=0，得AB丄VA.又AB丄AD,從而AB與平面VAD內(nèi)兩條相交直線VA、AD都垂直,AB丄平面VAD；E(-1,0,，322丿uuurEA=

5、:3，'衛(wèi)uuur,EB=f3，旦22222)設(shè)E為DV的中點(diǎn)，則uuur-DV二(10,3).uuuruuurEBgDV=f32屈,2,22kgio,3)二o,:.EBLDV.又EA丄DV-因此ZAEB是所求二面角的平面角.uuuruuurEAgEBuuruorEAEB故所求二面角的余弦值為四)利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標(biāo)系例4已知正四棱錐V-ABCD中，E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長為2a-高為h.(1) 求ZDEB的余弦值；(2) 若BELVC,求ZDEB的余弦值.解析：(1)如圖4,以V在平面AC的射影0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其中0)、V(0,0,h)、Ox

6、BC,OyAB，貝U由AB2a,0Vh,有B(a,a,0)>C(-a,a,0)、D(-a,-a,uuurBE=uuurDE=fa3h),a,22丿,uuruuir,cos：BE,DE=uuuruuurBEgDEuurmrBEDE-6a2+h210a2+h2即cosZDEB=-6a2+h210a2+h2(2)因?yàn)镋是VC的中點(diǎn)，又BELVC,uuuruuur所以BEg/C=0，即a,ga,a,h)=0,這時cos：'BEDE1：=6a2+h2=1，即cos/DEB=-/10a2+h233引入空間向量坐標(biāo)運(yùn)算,使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進(jìn)行繁瑣的空間分析,只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)

7、行向量運(yùn)算,而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一下面以高考考題為例,剖析建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑(五)利用圖形中的對稱關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒有明顯交于一點(diǎn)的三條直線,但有一定對稱關(guān)系(如正三棱柱、正四棱柱等),利用自身對稱性可建立空間直角坐標(biāo)系例5已知兩個正四棱錐PABCD與Q-ABCD的高都為2,AB=4.(1) 證明：PQ丄平面ABCD；(2) 求異面直線AQ與PB所成的角；(3) 求點(diǎn)P到面QAD的距離.簡解：(1)略;(2)由題設(shè)知，ABCD是正方形，且AC丄BD.由(1),PQ丄平面ABCD，故可分別以直線CA，DB,QP為x,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖1

8、),易得uuuruuurumruunrAQ=(2f'20,2),PB=(0,2<2,2),cos所求異面直線所成的角是arccosg.uuur向量,則ngAQ二0,uuur得ngAD二0,取x=1，得n=(11v'2)點(diǎn)P到平面QAD的距離n點(diǎn)評：利用圖形所具備的對稱性，建立空間直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)與向量的坐標(biāo)應(yīng)容易得出第（3）問也可用“等體積法”求距離二、向量法解立體幾何（一）知識點(diǎn)向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算0Pa,b是兩個非零向量，它們的夾角為0，則數(shù)IaI-1bI-cos9叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作fc-fc-畤*a-b，即a-b=IaI丨bI-cos0.其幾何

9、意義是a的長度與b在a的方向上的投影的乘積.其坐標(biāo)運(yùn)算是:若a=(x,y,z),b=(x,y,z)，則111222b=xx+yy+zz；121212ftt«j 丨aI=、：x2+y2+z2,1bI=x2+y2+z2；1117222' b=xx+yy+zz121212xx+yy+zzcos<a,b>=i2i2=x2+y2+z2x2+y2+z2111222二）例題講解題型:求角度相關(guān)1. 異面直線m,n所成的角分別在直線m,n上取定向量b,則異面直線m,n所成的角0等于向量&b所成的角或其補(bǔ)角（如圖1所示），則COS0=臨圖2. 直線L與平面a所成的角在L上取

10、定AB，求平面a的法向量n（如圖2所示），再求COS0=則卩=0為所求的角.3二面角圖3甲方法一：構(gòu)造二面角a-1一卩的兩個半平面a、卩的法向量件、役（都取向上的方向，如圖3所示），則若二面角a-1-卩是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量n、1212n-n的夾角，即cos0二1InI-1nI12題型：求距離相關(guān)分別在直線m、上取定向量a,b,求與向量a、b都垂直的向量n，分別在1.異面直線m、的距離m、上各取一個定點(diǎn)A、B，則異面直線m、的距離d等于AB在n上的,iAb-ni射影長，即d=.InIP證明：設(shè)CD為公垂線段，取CA二a,DBCD=CA+AB+bD1CD-n=(CA+

11、AB+BD)-n.CD-nI=IAB-nI.d=ICDI=IAB-nIInI設(shè)直線m,n所成的角為0，顯然cosOIa.bpIaI-1bI2.平面外一點(diǎn)P到平面a的距離求平面a的法向量n,在面內(nèi)任取一定點(diǎn)A，點(diǎn)p到平面Q的距離d等于AP在n上的射影長，即P*IAP-nIInI圖5三、法向量例題解析題型：求空間角1、運(yùn)用法向量求直線和平面所成角r設(shè)平面a的法向量為n=(x,y,1),則直線AB和平面a所成的角0的正弦值為兀2、運(yùn)用法向量求二面角uruururuururuur設(shè)二面角的兩個面的法向量為n,n，貝肱n,n或"-n,n是所求角。這時要借助圖形來判斷所求角為121212uruu

12、ruruur銳角還是鈍角，來決定n,n是所求，還是n-n,n是所求角。1212題型：求空間距離1、求兩條異面直線間的距離r設(shè)異面直線a、b的公共法向量為n=(x,y,z)，在a、b上任取一點(diǎn)A、B,則uuurr|ABn|a，為過F與a平行的直線,在a、b上任取一點(diǎn)A、B，過A作AA，/EF,交a，于A，,uuuurr則AAr/n,uuurr所以ZBAA，=<BA,n>(或其補(bǔ)角)uuurr|ABn|r_|n|r其中,nrruuuruuurr的坐標(biāo)可利用a、b上的任一向量a,b(或圖中的AE,BF)，及n的定義得a、.異面直線a、b的距離d=ABcosZBAA，=rrna二0nb二0rrn丄a<rr<rrn丄br解方程組可得n。2、求點(diǎn)到面的距離r求A點(diǎn)到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為n=(x,y,1),在a內(nèi)任取一點(diǎn)B,則A點(diǎn)到平面a的距離:uuurr|ABn|n|rrn的坐標(biāo)由n與平面a內(nèi)的兩個不共線向量的垂直關(guān)系，得到方程組(類似于前面所述，若方程組無解，則r法向量與xoy平面平行，此時可改設(shè)n=(1y,0)，下同)。3、求直線到與直線平行的平面的距離r求直線a到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為n=(x,y,1)，在直線a上任取一點(diǎn)A,在平面a內(nèi)任取一點(diǎn)B,則直線a到平面a的距離: