1.2齊次方程ppt課件

1、1.1.定義定義)(xyfdxdy 形形如如的微分方程稱為齊次方程的微分方程稱為齊次方程. .2.解法解法 作變量代換作變量代換,xyu ,xuy 即即,dxduxudxdy 代入原式代入原式),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分離變量的方程可分離變量的方程齊次型方程齊次型方程一、齊次型方程一、齊次型方程,0)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入將將xyu ,)(xyCex 得得通通解解,0u 若若, 0)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解則則uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齊次方

2、程的解得齊次方程的解例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx解解，令令xyu ，則則udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu 微分方程的解為微分方程的解為.lnsinCxxy 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程.2222xyydyyxyxdx 解解2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 則則,1222uuuuuxu ,1122)121(21xdxduuuuu ,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(

3、123Cxuuu 微分方程的解為微分方程的解為.)2()(32xyCyxy 例例 3 3 拋物線的光學(xué)性質(zhì)拋物線的光學(xué)性質(zhì)實(shí)例實(shí)例: : 車燈的反射鏡面車燈的反射鏡面-旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面解解如圖如圖軸軸設(shè)旋轉(zhuǎn)軸設(shè)旋轉(zhuǎn)軸 ox),0 , 0(光源在光源在)(:xyyL 為上任一點(diǎn)，為上任一點(diǎn)，設(shè)設(shè)),(yxM,yMT 斜斜率率為為為為切切線線,1,yMN 斜斜率率為為為為法法線線,NMROMN xyoMTNRL,tantanNMROMN xyoMTNRL由夾由夾角正角正切公切公式得式得 yNMRyxyxyyOMN1tan11tan得微分方程得微分方程, 022 yyxyy. 1)(2 yxyx

4、y即即，令令xyu ,112uudxduxu 得得分離變量分離變量,1)1(22xdxuuudu ，令令221tu ,)1(xdxtttdt 積分得積分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即平方化簡得平方化簡得,2222xCxCu 得得代代回回,xyu )2(22CxCy 拋物線拋物線軸的旋轉(zhuǎn)拋物面方程為軸的旋轉(zhuǎn)拋物面方程為所求旋轉(zhuǎn)軸為所求旋轉(zhuǎn)軸為 ox).2(222CxCzy yxyxdxdy 解解xyxydxdy 11令令xyu 那那么么dxduxudxdy 代入化簡代入化簡 并分離變量并分離變量dxxduuu1112 兩邊積分兩邊積分cxuulnln)1ln(21arctan2 換

5、回原變量換回原變量cxxyxylnln)1ln(21arctan22 或或22arctanyxcexy 例例4二、可化為齊次型的方程二、可化為齊次型的方程1.1.定義定義的的微微分分方方程程形形如如)(111cybxacbyaxfdxdy ,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) cc為齊次型方程為齊次型方程. . 否則為非齊次型方程否則為非齊次型方程2.解法解法，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常數(shù)）是待定的常數(shù)）dYdydXdx ,)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一組解有唯一一組解.)(11YbXab

6、YaXfdXdY 得通解代回得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) b.1中必至少有一個(gè)為零中必至少有一個(gè)為零與與ba, 0 b若若可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程., 0, 01 ab若若,byaxz 令令),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) b,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方方程程可可化化為為,byaxz 令令，則則dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb 可分離變量可分離變量.315

7、的的通通解解求求例例 yxyxdxdy解解, 021111 , 0301khkh方程組方程組, 2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令代入原方程得代入原方程得,YXYXdXdY ，令令XYu 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?11uudXduXu 分離變量法得分離變量法得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代代回回，將將2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或利用變量代換求微分方程的解利用變量代換求微分方程的解.)(62的通解的通解求求例例yxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程2

8、1udxdy ,arctanCxu 解解得得得得代代回回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解為原方程的通解為.)tan(xCxy 三、小結(jié)三、小結(jié)齊次方程齊次方程).(xydxdy 齊次方程的解法齊次方程的解法.xyu 令令可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程.,kYyhXx 令令思考題思考題方程方程 )()()(2022xxydttyttyx 是否為齊次方程是否為齊次方程?思考題解答思考題解答方程兩邊同時(shí)對(duì)方程兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo):x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程是齊次方程原方程是齊次方程.練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 求下列齊次方程的通解求下列齊次方程的通解: : 1 1、0)(22 xydydxyx； 2 2、0)1(2)21( dyyxedxeyxyx. .二、二、 求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、1, 02)3(022 xyxydxdyxy； 2 2、,0)2()2(2222 dyxxyydxyxyx 11 xy . .三、化下列方程為齊次方程三、化下列方程為齊次方程, ,并求出通解并求出通解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0)642()352( dyyxdxyx.