全國(guó)普通高等學(xué)校統(tǒng)一招生考試數(shù)學(xué)

1、.2004年全國(guó)普通高等學(xué)校統(tǒng)一招生考試數(shù)學(xué)（理工類(lèi)） (上海卷)一、填空題(本大題滿(mǎn)分48分,每小題4分)1、若tg=,則tg(+)= .2、設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=1,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 .3、設(shè)集合A=5,log2(a+3),集合B=a,b.若AB=2,則AB= .4、設(shè)等比數(shù)列an(nN)的公比q=,且(a1+a3+a5+a2n-1)=,則a1= .5、設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?5,5.若當(dāng)x0,5時(shí), f(x)的圖象如右圖,則不等式f(x)0的解是 .6、已知點(diǎn)A(1, 2),若向量與=2,3同向, =2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 .7、在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(4,)到直線(xiàn)l

2、:(2cos+sin)=4的距離d= .8、圓心在直線(xiàn)2xy7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0, -4),B(0, -2),則圓C的方程為 .9、若在二項(xiàng)式(x+1)10的展開(kāi)式中任取一項(xiàng),則該項(xiàng)的系數(shù)為奇數(shù)的概率是 . (結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)10、若函數(shù)f(x)=a在0,+)上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a、b的取值范圍 是 .11、教材中“坐標(biāo)平面上的直線(xiàn)”與“圓錐曲線(xiàn)”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是 .12、若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱(chēng)為該數(shù)列的“基本量”.設(shè)an是公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列,下列an的四組量中,一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第 組.(寫(xiě)出所有符合要求的組號(hào)) S1與S2; a2與S3;

3、a1與an; q與an. 其中n為大于1的整數(shù), Sn為an的前n項(xiàng)和.二、選擇題(本大題滿(mǎn)分16分,每小題4分)13、在下列關(guān)于直線(xiàn)l、m與平面、的命題中,真命題是( ) (A)若l且,則l. (B) 若l且,則l.(C) 若l且,則l. (D) 若=m且lm,則l.14、三角方程2sin(-x)=1的解集為( ) (A)xx=2k+,kZ. (B) xx=2k+,kZ.(C) xx=2k,kZ. (D) xx=k+(-1)K,kZ.15、若函數(shù)y=f(x)的圖象可由函數(shù)y=lg(x+1)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,則 f(x)=( ) (A) 10-x-1. (B) 10x-1. (

4、C) 1-10-x. (D) 1-10x.16、某地2004年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個(gè)行業(yè)的情況列表如下行業(yè)名稱(chēng)計(jì)算機(jī)機(jī)械營(yíng)銷(xiāo)物流貿(mào)易應(yīng)聘人數(shù)2158302002501546767457065280 行業(yè)名稱(chēng)計(jì)算機(jī)營(yíng)銷(xiāo)機(jī)械建筑化工招聘人數(shù)124620102935891157651670436 若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來(lái)衡量該行業(yè)的就業(yè)情況,則根據(jù)表中數(shù)據(jù),就業(yè)形勢(shì)一定是( ) (A)計(jì)算機(jī)行業(yè)好于化工行業(yè). (B) 建筑行業(yè)好于物流行業(yè).(C) 機(jī)械行業(yè)最緊張. (D) 營(yíng)銷(xiāo)行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張.三、解答題(本大題滿(mǎn)分86分)17、(本題滿(mǎn)分12分) 已知復(fù)數(shù)z1滿(mǎn)足

5、(1+i)z1=1+5i, z2=a2i, 其中i為虛數(shù)單位,aR, 若,求a的取值范圍.18、(本題滿(mǎn)分12分)某單位用木料制作如圖所示的框架, 框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x、y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架?chē)傻目偯娣e8cm2. 問(wèn)x、y分別為多少(精確到0.001m) 時(shí)用料最省?19、(本題滿(mǎn)分14分) 第1小題滿(mǎn)分6分, 第2小題滿(mǎn)分8分 記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a3時(shí),關(guān)于x的方程f(x)= f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.21、(本題滿(mǎn)分16分) 第1小題滿(mǎn)分4分, 第2小題滿(mǎn)分6分, 第3小題滿(mǎn)分6分 如圖,P-ABC是底面邊

6、長(zhǎng)為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長(zhǎng)PA、PB、PC上的點(diǎn), 截面DEF底面ABC, 且棱臺(tái)DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長(zhǎng)和相等.(棱長(zhǎng)和是指多面體中所有棱的長(zhǎng)度之和)(1) 證明：P-ABC為正四面體；(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大??；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)(3) 設(shè)棱臺(tái)DEF-ABC的體積為V, 是否存在體積為V且各棱長(zhǎng)均相等的直平行六面體,使得它與棱臺(tái)DEF-ABC有相同的棱長(zhǎng)和? 若存在,請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體,并給出證明；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.22、(本題滿(mǎn)分18分) 第1小題滿(mǎn)分6分, 第2小題滿(mǎn)分4分, 第3小題滿(mǎn)分8分 設(shè)P1(x1,y

7、1), P1(x2,y2), Pn(xn,yn)(n3,nN) 是二次曲線(xiàn)C上的點(diǎn), 且a1=2, a2=2, , an=2構(gòu)成了一個(gè)公差為d(d0) 的等差數(shù)列, 其中O是坐標(biāo)原點(diǎn). 記Sn=a1+a2+an.(1) 若C的方程為=1,n=3. 點(diǎn)P1(3,0) 及S3=255, 求點(diǎn)P3的坐標(biāo)； (只需寫(xiě)出一個(gè))(2)若C的方程為(ab0). 點(diǎn)P1(a,0), 對(duì)于給定的自然數(shù)n, 當(dāng)公差d變化時(shí), 求Sn的最小值；. (3)請(qǐng)選定一條除橢圓外的二次曲線(xiàn)C及C上的一點(diǎn)P1,對(duì)于給定的自然數(shù)n,寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P1, P2,Pn存在的充要條件,并說(shuō)明理由. 符號(hào)意義本試卷所用符號(hào)等同于實(shí)驗(yàn)

8、教材符號(hào)向量坐標(biāo)=x,y=(x,y)正切tgtan2004年全國(guó)普通高等學(xué)校統(tǒng)一招生考試數(shù)學(xué)（文史類(lèi)）參考答案 (上海卷)一、填空題(本大題滿(mǎn)分48分,每小題4分)1、3 2、(5,0) 3、1,2,5 4、2 5、(2,0)(2,5 6、(5,4)7、 8、(x2)2+(y+3)2=5 9、 10、a0且b0 11、用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì) 12、二、選擇題(本大題滿(mǎn)分16分,每小題4分)13、B 14、C 15、A 16、B三、解答題(本大題滿(mǎn)分86分)17、【解】由題意得 z1=2+3i, 于是=,=. ,得a28a+70,1a7.18、【解】由題意得 xy+x2=8,y=(0x4

9、). 于定, 框架用料長(zhǎng)度為 l=2x+2y+2()=(+)x+4. 當(dāng)(+)x=,即x=84時(shí)等號(hào)成立. 此時(shí), x2.343,y=22.828. 故當(dāng)x為2.343m,y為2.828m時(shí), 用料最省.19、【解】(1)20, 得0, x0, 得(xa1)(x2a)0.a2a, B=(2a,a+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a1,a0),它的圖象與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)分別為 A(,)B(,) 由=8,得k=8,. f2(x)=.故f(x)=x2+. (2) 【證法一】f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即=x2+a2+. 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2(x)=和f3(x)= x2

10、+a2+ 的大致圖象,其中f2(x)的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線(xiàn),且位于第一、三象限的雙曲線(xiàn), f3(x)與的圖象是以(0, a2+)為頂點(diǎn),開(kāi)口向下的拋物線(xiàn). 因此, f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn), 即f(x)=f(a)有一個(gè)負(fù)數(shù)解. 又f2(2)=4, f3(2)= 4+a2+ 當(dāng)a3時(shí),. f3(2)f2(2)= a2+80, 當(dāng)a3時(shí),在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(diǎn)(2,f(2)在f2(x)圖象的上方. f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn),即f(x)=f(a)有兩個(gè)正數(shù)解. 因此,方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解. 【證法二】由f(x)=f(a),

11、得x2+=a2+, 即(xa)(x+a)=0,得方程的一個(gè)解x1=a. 方程x+a=0化為ax2+a2x8=0, 由a3,=a4+32a0,得 x2=, x3=, x20, x1 x2,且x2 x3. 若x1= x3,即a=,則3a2=, a4=4a, 得a=0或a=,這與a3矛盾, x1 x3. 故原方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.21、【證明】(1) 棱臺(tái)DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長(zhǎng)和相等, DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又截面DEF底面ABC, DE=EF=FD=PD=OE=PF,DPE=EPF=FPD=60, P-ABC是正四面體. 【解】(2)取BC的中點(diǎn)M,連拉

12、PM,DM.AM. BCPM,BCAM, BC平面PAM,BCDM, 則DMA為二面角D-BC-A的平面角. 由(1)知,P-ABC的各棱長(zhǎng)均為1, PM=AM=,由D是PA的中點(diǎn),得 sinDMA=,DMA=arcsin.(3)存在滿(mǎn)足條件的直平行六面體. 棱臺(tái)DEF-ABC的棱長(zhǎng)和為定值6,體積為V. 設(shè)直平行六面體的棱長(zhǎng)均為,底面相鄰兩邊夾角為, 則該六面體棱長(zhǎng)和為6, 體積為sin=V. 正四面體P-ABC的體積是,0V,08Vb0)上各點(diǎn)的最小距離為b,最大距離為a. a1=2=a2, d0,且an=2=a2+(n1)db2, d0 Sn=na2+d在,0)上遞增, 故Sn的最小值為na2+=. 【解法二】對(duì)每個(gè)自然數(shù)k(2kn), 由x+y=a2+(k1)d,解得y=+=1 0 yb2,得d0 d0. 原點(diǎn)O到雙曲線(xiàn)